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2013广东省中山一中高考模拟数学理试题


2013 年高考模拟考试理科数学试卷
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足 z ? A. 1 ? 3i

2?i , 则 z 等于( 1? i
B. 3 ? i

) C.

3 1 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2


2.若集合 M ? ?x ? N*| x ? 6? , N ? ?x || x ?1|? 2? ,则 M ? (?R N ) ? ( A. (??, ?1) B. [1,3) C. (3, 6)

D. {4,5} )

2 3.命题“ ?x ? R, x ?ax ? 4a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的(

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ②若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.①② C.③④ D.②③ 5.按照如图的程序框图执行,若输出结果为 31,则 M 处的条件 为( ) A. k ? 32 B. k ? 16 C. k ? 32 D. k ? 16 6.△ ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 ,
开始

k=1 S=0


M


S=S+k
k ? 2? k

输出 S 结束

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等于(
A.



3 2

B. 3 D. 2 3

C. 3

7.如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形, 则该几何体的体积是( )

2 1 C.1 D. 3 2 8.对于定义域和值域均为 [0,1] 的函数 f ( x ) ,定义 f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,…,
A. B.
1

5 6

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ,n=1,2,3,….满足 fn ( x) ? x 的点 x ? [0,1] 称为 f 的 n 阶周期点.设
1 ? 0? x? , ? 2 x, ? 2 f ( x) ? ? 则 f 的 n 阶周期点的个数是( ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2 n A. 2n B. 2(2n ? 1) C. 2


D. 2n 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 4 ? 3 ? x ? 2 的解集为 . y

2

10.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取 自阴影部分的概率为 .

?x ? 1 ? 11.实数 x,y 满足 ? y ? a ( a ? 1) ,若函数 z=x+y 取得最大值 4,则实数 ?x ? y ? 0 ?
a 的值为
2

O

A

x



12.若 ( x ? ) 的展开式中含 x 的项为第 6 项,设 (1 ? 3x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ,
n

1 x

则 a1 ? a2 ? ? ? an 的值为

.ks5u

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an * ( n?N ) ,则 a3 的值为 1 ? an



a1 ? a2 ? a3 ??? a2013 的值为

.ks5u

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知 P 是曲线 M: ? 参数)上的点, Q 是曲线 L : ?

? x ? 1 ? 2cos ? (? 为 ? y ? 2 ? 2sin ?
P N O B

? x ? 4t ? 5 (t 为参数)上的点,则 | PQ | 的 ? y ? 3t ? 1

最小值为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6, 则 MP· NP= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤 或证明过程. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 b ? c ? a ? bc . (Ⅰ)求角 A 的大小;
2 2 2

(Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状.

3 x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f (B ) 取最大值 时,判断△ABC 2 2 2 2

2

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量, 这个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 空气质量类别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 150~250 五级 重度污染

? 250
六级 严重污染

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测, 获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示: (Ⅰ根据你所学的统计知识估计甲、 ) 乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好? 注: ( 不需说明理由) (Ⅱ )在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类 别均为优或良的概率; (III) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气 质量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 甲城市 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8 P 乙城市 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯 形,AD / / BC ,?ADC ? 90 , 平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 ,
?

M D Q C B

BC ?

试确定 t 的值.

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (I) 若点 M 是棱 PC 的中点, 求证:PA //平面 BMQ ; (Ⅱ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (III)若二面角 M ? BQ ? C 为 30°,设 PM ? tMC , A

19. (本小题满分 14 分)

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点. a 2 b2 3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4, (1) 设椭圆 C 上的点 ( 3, 求椭圆 C 的方程和焦点坐 2 标; (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直
设 F1 , F2 分别是椭圆 C: 线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 kPM , K PN 试探究 k PM 有关,并证明你的结论.
3

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L

ks5u

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n+1 = 3S n + 2 ? n ? 1,2,3?? . (I)求证:数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ )设 bn ?

{

}

an ,求证: b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 . 2 Sn

21. (本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2 (1)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; 1 1 (2) a ? ? 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 若 求实 2 2 数 b 的取值范围; (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N *. 求证: an ? 2 n ? 1
已知函数 f ( x) ? ln x ?

2013 年高考模拟考试理科数学试卷参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: (一)必做题(9~13 题) 9. { x | 1 C 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 C

5 9 ? x ? }; 2 2

10.

1 ; 3

11.2;

12.255;

13. ?

1 ,2 2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
4

14.

6 ; 5

15.

25 . 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,因为 b ? c ? a ? bc ,由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 可得
2 2 2 2 2 2

3 x x x 3 sin cos ? cos 2 ,当 f (B ) 取最大值 时,判断△ABC 2 2 2 2

cos A ?

1 . (余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分) 2

………………… 3 分 ……………………4 分 ……………………5 分

∵ 0 ? A ? ? , (或写成 A 是三角形内角) ∴A?

?
3



(Ⅱ) f ( x) ?

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2

………………7 分

? 1 ? sin( x ? ) ? , 6 2
∵A?

……………………9 分 (没讨论,扣 1 分) ………10 分 …………………11 分 ………………12 分

? 3

∴ B ? (0,

2? ) 3



? ? 5? ? B? ? 6 6 6

∴当 B ? 又∵ A ?

? ? ? 3 ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 2 6 2 3 ? , 3
∴C ?

? 3

∴ ?ABC 为等边三角形.

17. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,
3

这个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 空气质量类别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 150~250 五级 重度污染

? 250
六级 严重污染

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测, 获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示:

5

(Ⅰ根据你所学的统计知识估计甲、 ) 乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好? 注: ( 不需说明理由) (Ⅱ )在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类 别均为优或良的概率; (III) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气 质量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 解: )甲城市空气质量总体较好.…………………2 分 (Ⅰ (Ⅱ 甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天, ) 任取 1 天,空气质量类别为优或良的概率为 甲城市 3 4 6 7 8 9 0224 896 151 8 230 8 乙城市 3 204 5 5 6 4 7 697 8 807 9 1809

10 2 ? , 15 3

…………………3 分

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优或 良的概率为

5 1 ? , 15 3

…………………4 分

在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

2 1 2 ? ? . 3 3 9
……………………6 分 (III) X 的取值为 0,1,2 , ……………………7 分

P( X ? 0) ?

2 C50 C10 3 C 2C 0 C 1C 1 10 2 ? , P( X ? 1) ? 5 2 10 ? , P( X ? 0) ? 5 2 10 ? 2 C15 21 7 21 C15 C15

X 的分布列为: X P

0
3 7

1

2

10 21

2 21
…………………10 分

数学期望 EX ? 0 ?

3 10 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 7 21 21 3

…………………12 分

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC ,?ADC ? 90 ,
?

平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点,

P

PA ? PD ? 2 , BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2
M D
6

(I)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA //平面 BMQ ;

Q A

C B

(Ⅱ)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (III)若二面角 M ? BQ ? C 为 30°,设 PM ? tMC ,试确定 t 的值. (I)证明:连接 AC ,交 BQ 于 N ,连接 MN . ……………1 分 ∵ AD / / BC 且 BC ?

1 AD ,即 BC / / AQ . 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 是棱 PC 的中点, ∴ MN / / PA ……………………2 分

∵ MN ? 平面 BMQ , PA ? 平面 BMQ , …………3 分 ∴ PA / / 平面 BMQ . (II)证明:∵ AD / / BC , BC ? ……………………4 分

1 AD , Q 为 AD 的中点, 2
……………………5 分

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD / / BQ . ∵ ?ADC ? 90? ,∴ ?AQB ? 90? ,即 BQ ? AD .

又∵平面 PAD ⊥底面 ABCD 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,…………6 分 ∴ BQ ? 平面 PAD . ∵ BQ ? 平面 PQB , ∴平面 PQB ? 平面 PAD . 另证: AD / / BC , BC ? …………………8 分 ……………………7 分

1 AD , Q 为 AD 的中点, ∴ BC / / DQ 且 BC ? DQ , 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD / / BQ . ∵ ?ADC ? 90? , ∴ ?AQB ? 90? ,即 QB ? AD . ∵ PA ? PD ,∴ PQ ? AD . ∵ PQ ? BQ ? Q ,∴ AD ? 平面 PBQ . ∵ AD ? 平面 PAD , ∴平面 PQB ? 平面 PAD . (III)解:∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点,∴ PQ ? AD . ∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , ∴ PQ ? 平面 ABCD . (不证明 PQ ? 平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点,直线 QA 、 QB 、 QP 分别为 x 、 y 、 z 轴建立 D
7

…………………5 分 …………………6 分 …………………7 分

……………………8 分

z P M

……………9 分

Q A x N B y

C

空间直角坐标系,则 Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .……10 分 于是平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ; 设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) , ∵ PM ? tMC ,

?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)
t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t

……………………11 分

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? 设平面 MBQ 法向量为 m ? ( x, y, z) , 由 m ? QB ? 3 y ? 0 ? y ? 0 ,

??? ?

???? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

??

??

??? ?

?? ???? ? t 3t 3 m ? QM ? ? x? y? z ? 0 ,不妨令 x ? 3 ,则得: z ? t 1? t 1? t 1? t ?? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ……………………12 分
? ?? n?m ∵ 二面角 M ? BQ ? C 为 30°, ? cos 30 ? ? ?? ? n m
?

t 3? 0?t
2

?

3 , ……13 分 2

解得 t ? ?3 .又 t ? 0 ,故 t ? 3

…………………………14 分

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点. a 2 b2

(1) 设椭圆 C 上的点 ( 3, 标;

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4, 求椭圆 C 的方程和焦点坐 2

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直

8

线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 kPM , K PN 试探究 k PM 有关,并证明你的结论.
2

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L

解: (1)由于点 ( 3,

3 ( 3) ) 在椭圆上, ? 2 a2
又 2 a =4,

(

3 2 ) 2 ?1 b2

…………………1 分 …………………2 分 …………………3 分 …………………4 分 …………………6 分

? 椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1, 4 3

焦点坐标分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ; (2)设 KF1 的中点为 B ( x, y ) ,则点 K (2 x ? 1,2 y) 把 K 的坐标代入椭圆

x2 y2 (2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ? 1 中,得 ? ? 1 …………………7 分 4 3 4 3
…………………8 分

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? ?1; ? 3 2 4
设 M ( x0 , y0 ), N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y) ,且 x ? ? x0

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称, …………………9 分

M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 1, 2 ? 2 ? 1 …………………10 分 a2 b a b
…………………11 分

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 x ? x0

k PM

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? ? 2 ? K PN = 2 =? 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0 a
? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关.

…………………13 分 …………………14 分

故: k PM

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n+1 = 3S n + 2 ? n ? 1,2,3?? . (I)求证:数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ )设 bn ?

{

}

an ,求证: b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 . 2 Sn
……………2 分

证明: )? S n+1 = 3S n + 2 ,∴ S n+1 + 1 = 3(S n + 1) , (Ⅰ

9

又? S1 + 1 = 3 ,

……………3 分

∴{S n + 1}是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列,且 Sn ? 3n ?1, n ? N* .……………4 分
(Ⅱ )当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 , ……………5 分
n ?1

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 3n?1 (3 ? 1) ? 2 ? 3



………………7 分 故 an ? 2 ? 3n?1, n ? N* . ………………8 分

? bn ?

2 ? 3n?1 2 ? 3n?1 1 1 ? n?1 ? n?1 ? n , ? n ? 2 ? n 2 n (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1

………………11 分

? b1 ? b2 ? ... ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? n ) 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
………………12 分

?

1 1 1 ? ? n ? 1. 2 2 3 ?1

………………14 分

21. (本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2 (1)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? ln x ? (2) a ? ? 若

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 求实 2 2

数 b 的取值范围; (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N *. 求证: an ? 2 n ? 1 解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). x
2

………………1 分

依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立. 则a ?

1? 2x 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立, 2 x x 1 ? 1) 2 ? 1) min ( x ? 0) x 1 x
2

即 a ? ((

………………2 分 ………………3 分

当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ?1

10

∴ 的取值范围是 (??, ?1] a (2) a ? ? 设 g ( x) ? 列表:

………………4 分

1 1 1 3 , f ( x) ? ? x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. 2 2 4 2

( x ? 2)( x ? 1) 1 2 3 . ………………5 分 x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x) ? 2x 4 2

x
g ?( x) g ( x)

(0,1)

1

(1, 2)
0

2
0
极小值

(2, 4)

?
?

?
?

?
?

极大值

g ∴ ( x) 极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g ( x) 极大值 ? g (1) ? ?b ?
又 g (4) ? 2ln 2 ? b ? 2

5 , 4
………………6 分

? 方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
? g (1) ? 0 ? 则 ? g (2) ? 0 , ? g (4) ? 0 ?
得 ln 2 ? 2 ? b ? ?

………………7 分

5 4 1 ?1 ? 0 x

………………8 分

(3)设 h( x) ? ln x ? x ?1, x ? ?1, ?? ? ,则 h?( x ) ?

? h( x) 在 ?1, ?? ? 为减函数,且

h( x)max ? h(1) ? 0, 故当 x ? 1 时有 ln x ? x ? 1 .
① n ? 1 时, a1 ? 1 ? 1 成立; 当 ② 假设 ak ? 1 ,对任意 n ? N * 均成立, 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 , 所以当 n ? k ? 1 时也成立, 由①得 an ? 1 , ?n ? N * 成立, ② 从而 an?1 ? ln an ? an ? 2 ? 2an ? 1.

………………10 分

………………12 分

?1 ? an?1 ? 2(1 ? an ) ? ?? ? 2n (1 ? a1 ).
即 1 ? an ? 2 ,∴ n ? 2 ?1 a
n n

………………13 分 ………………14 分

11

12


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