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嘉定区2014届高三数学一模试卷(理科


上海市嘉定区 2013—2014 学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(理科)
2014 年 1 月 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上的解 答一律无效. 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚,并在规定的区域内贴上 条形码.答题纸不能折叠. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一. 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是_____________. 2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z ? (1 ? 3i ) ? 1 ,则 | z |? _______. 3.已知函数 y ? f (x) 存在反函数 y ? f 是___________. 4.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n ( n ? N ) ,则 a 8 的值是__________.
2

?1

( x) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像经过点 (3 , 1) ,则 f ?1 (1) 的值
*

5.已知圆锥的母线长为 5 cm ,侧面积为 20? cm ,则此圆锥的体积为________ cm .
2 3

4 ?? ? ,则 tan?? ? ? ? ____________. 4? 5 ? 2 2 a 1 x y 2 ?0, 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) 满足 且双曲线的右焦点与抛物线 y ? 4 3 x b 2 a b
6.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? 的焦点重合,则该双曲线的方程为______________. 8.分别从集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4} 和集合 B ? {5 , 6 , 7 , 8} 中各取一个数,则这两数之积为偶数的概率是 _________. 9.在平面直角坐标系中,△ ABC 的顶点坐标分别为 A(1 , 2) , B(?7 , 3) ,点 C 在直线 y ? 4 上运动, O 为坐标原点, G 为△ ABC 的重心,则 OG ? OC 的最小值为__________. 10.若 lim ?

? r ? ? 存在,则实数 r 的取值范围是_____________. n ?? 2r ? 1 ? ?

n

11.在平面直角坐标系中,动点 P 到两条直线 3x ? y ? 0 与 x ? 3 y ? 0 的距离之和等于 4 ,则 P 到原点距 离的最小值为_________.
2 2 2 2 12.设集合 A ? {( x , y ) ( x ? 4) ? y ? 1 } , B ? {( x , y ) ( x ? t ) ? ( y ? at ? 2) ? 1 } ,若存在实数 t ,

使得 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________.

?ax 2 ? 2 x ? 1 , x ? 0 , ? 13.已知函数 f ( x ) ? ? 是偶函数,直线 y ? t 与函数 f (x) 的图像自左至右依次交于 ?? x 2 ? bx ? c , x ? 0 ? 四个不同点 A 、 B 、 C 、 D ,若 | AB |?| BC | ,则实数 t 的值为________.
1/4

14.某种平面分形图如下图所示,一级分形图是一个边长为1 的等边三角形(图(1);二级分形图是将一 ) 级分形图的每条线段三等分, 并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形, 然后去掉底边 (2); (图 ) 将二级分形图的每条线段三等边,重复上述的作图方法,得到三级分形图(图(3);?;重复上述作图 ) 方法,依次得到四级、五级、?、 n 级分形图.则 n 级分形图的周长为__________.

??

图(1)

图(2)

图(3)

二. 选择题(本大题共有 4 题, 满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设向量 a ? ( x ? 1 , 1) , b ? (3 , x ? 1) ,则“ a ∥ b ”是“ x ? 2 ”的??????() A.充分非必要条件 C.充分必要条件
n

?

?

?

?

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2 ? ? 16.若 ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是() x ? ? A. 180 B. 120 C. 90 D. 45 17.将函数 y ? sin 2 x ( x ? R )的图像分别向左平移 m ( m ? 0 )个单位,向右平移 n ( n ? 0 )个单
位,所得到的两个图像都与函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像重合,则 m ? n 的最小值为????() 6?
D.

A.

2? 3

B.

5? 6

C. ?

4? 3

18.设函数 f (x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f (x) 满足:① f (x) 在 [a , b] 上是 单调函数;② f (x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] ,则称区间 [a , b] 是函数 f (x) 的“和谐区间” .下列结 论错误的是???????????????() A.函数 f ( x) ? x ( x ? 0 )存在“和谐区间”
2

B.函数 f ( x) ? e ( x ? R )不存在“和谐区间”
x

4x ( x ? 0 )存在“和谐区间” x ?1 ? x 1? D.函数 f ( x) ? log a ? a ? ? ( a ? 0 , a ? 1 )不存在“和谐区间” 8? ?
C.函数 f ( x) ?
2

A 三. 解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,正三棱锥 A ? BCD 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , E 为棱 BC 的中点. (1)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求该三棱锥的体积 V . B E
2/4

D C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos x ? 3 , x ? R .
2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f ( A) ? 1 , AB ? AC ?

2 ,求△ ABC 的面积.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,且点 ?1 , (1)求椭圆 C 的方程; (2) P 是椭圆 C 长轴上的一个动点, P 作方向向量 d ? (2 , 1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、B 两点, 设 过 求证: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

? ? ?

3? ? 在椭圆 C 上. 2 ? ?

?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? x ?

m ? 2 ( m 为实常数) . x

(1)若函数 y ? f (x) 图像上动点 P 到定点 Q(0 , 2) 的距离的最小值为 2 ,求实数 m 的值; (2)若函数 y ? f (x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数,试用函数单调性的定义求实数 m 的取值范围; (3)设 m ? 0 ,若不等式 f ( x) ? kx 在 x ? ?

?1 ? , 1? 有解,求 k 的取值范围. ?2 ?

3/4

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 数列 {a n } 的首项为 a ( a ? 0 ) ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? t ? S n ? a ( t ? 0 ) .设 bn ? S n ? 1 ,

cn ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? R ? ) .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn |?| b3 | 恒成立,求 a 的取值范围;
*

(3)当 t ? 1时,试求三个正数 a ,t ,k 的一组值,使得 {c n } 为等比数列,且 a ,t ,k 成等差数列.

4/4

上海市嘉定区 2013—2014 学年高三年级第一次质量调研(理科)
参考答案与评分标准
一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分)

y2 1 3 1 2 ? 1 8. 9. 9 1. (2 , ? ?) 2. 3. 2 4. 15 5. 16? 6. ? 7. x ? 2 7 2 4 n ?1 7 ? 4? ? 1 ? ?4? 10. (?? , ? 1] ? ? ? , ? ? ? 11. 2 2 12. ?0 , ? 13. 14. 3 ? ? ? 4 ?3? ? 3? ? 3 ?
二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.A 17.C 18.D 三.解答题 19. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) (1)取 BD 中点 F ,连结 AF 、 EF ,因为 EF ∥ CD ,所以 ?AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角 (或其补角) .????????????????????(2 分) 在△ AEF 中, AE ? AF ? 2 2 , EF ? 1 ,????????????(1 分)

1 2 所以 cos ?AEF ? 2 ? .??????????????????(2 分) 8 2 2 2 所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小为 arccos .???????(1 分) 8 (2)作 AO ? 平面 BCD ,则 O 是正△ BCD 的中心,?????????(1 分) 3 连结 OE , OE ? ,???????????????????????(1 分) 3 23 2 2 所以 AO ? AE ? EO ? ,?????????????????(1 分) 3
所以, V ?

1 1 3 23 23 ? Sh ? ? ? 4? ? .????????????(2 分) 3 3 4 3 3

20. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分) (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 3 (2 cos x ? 1) ? sin 2 x ? 3 cos x 2 x ? 2 sin? 2 x ?
2

? ?

??

?, 3?

??????????????????(2 分) 所以,函数 f (x) 的最小正周期为 ? .??????????????????(1 分) 由 2k? ? 得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

(k ?Z ) ,???????????????(2 分)

5? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) ,????????????????(2 分) 12 12
? ? 5? ?? , k? ? ? ( k ? Z ) .?????(1 分) 12 12 ?

所以,函数 f (x) 的单调递增区间是 ?k? ? (2)由已知, f ( A) ? 2 sin? 2 A ?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 1 ,所以 sin? 2 A ? ? ? ,?????(1 分) 3? 3? 2 ?
5/4

4? ? 5? ? ,所以 2 A ? ? ,从而 A ? .?(2 分) 2 3 3 3 3 6 4 又 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ? cos A ? 2 , ,所以, | AB | ? | AC |? 2 ,??????(1 分)
因为 0 ? A ?

?

,所以

?

? 2A ?

?

?

所以,△ ABC 的面积 S ?

1 1 2 2 .????(2 分) ? | AB | ? | AC | ? sin A ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1)因为 C 的焦点在 x 轴上且长轴为 4 ,

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 故可设椭圆 C 的方程为 ,???????????(1 分) 4 b2 ? 3? ? 在椭圆 C 上,所以 1 ? 3 ? 1 ,??????????(2 分) 因为点 ?1 , ? 2 ? 4 4b 2 ? ? 2 解得 b ? 1 ,????(1 分) x2 ? y 2 ? 1 .?????????????(2 分) 所以,椭圆 C 的方程为 4 x?m (2)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ? ,??(1 分) 2 1 ? ? y ? 2 ( x ? m) , ? 由? 2 ? 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (*)?????????(2 分) ?x ? y2 ? 1 , ?4 ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 、 x 2 是方程(*)的两个根,
m2 ? 4 ,??????????????(1 分) 2 2 2 2 2 2 2 所以, | PA | ? | PB | ? ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y 2 1 1 5 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4 4 4 5 2 5 2 ? [ x1 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4 4 5 ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) .????????????(3 分) 4 2 2 所以, | PA | ? | PB | 为定值.????????????????????(1 分)
所以有, x 2 ? x 2 ? m , x1 x 2 ? (写到倒数第 2 行,最后 1 分可不扣) 22. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) (1)设 P( x , y ) ,则 y ? x ?

m ? 2, x
2

m? ? | PQ | ? x ? ( y ? 2) ? x ? ? x ? ? ????????????????(1 分) x? ?
2 2 2 2

m2 ? 2 x ? 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m ? 2 ,??????????????(1 分) x
2

当 m ? 0 时,解得 m ?

2 ? 1;当 m ? 0 时,解得 m ? ? 2 ? 1 .????(1 分)
6/4

所以, m ?

2 ? 1或 m ? ? 2 ? 1 .????????????????(1 分)

(只得到一个解,本小题得 3 分) (2)由题意,任取 x1 、 x2 ? [2 , ? ?) ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ?

? ? x x ?m m m ? 2 ? ? x1 ? ? 2 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? 1 2 ? 0 ,??(2 分) ? ? x2 x1 x1 x 2 ? ?

因为 x 2 ? x1 ? 0 , x1 x 2 ? 0 ,所以 x1 x2 ? m ? 0 ,即 m ? x1 x 2 ,??????(2 分) 由 x2 ? x1 ? 2 ,得 x1 x 2 ? 4 ,所以 m ? 4 . 所以, m 的取值范围是 (?? , 4] .??????????????????(2 分) (3)由 f ( x) ? kx ,得 x ?

m ? 2 ? kx , x m 2

因为 x ? ? , 1? ,所以 k ? 2 ? ? 1 ,????????????????(2 分) x x ?2 ? 令t ?

?1

?

1 2 2 2 ,则 t ? [1 , 2] ,所以 k ? mt ? 2t ? 1 ,令 g (t ) ? mt ? 2t ? 1 , t ? [1,] , x
?1 ? ? ?

2 .??(1 分) 于是,要使原不等式在 x ? ? , 1? 有解,当且仅当 k ? g (t ) min ( t ? [1,] ) 2
1 1? 1 ? 因为 m ? 0 ,所以 g (t ) ? m? t ? ? ? 1 ? 图像开口向下,对称轴为直线 t ? ? ? 0 , m m ? m?
因为 t ? [1 , 2] ,故当 0 ? ?
2

1 3 2 ? ,即 m ? ? 时, g (t )min ? g (2) ? 4m ? 5 ;?(4 分) m 2 3

当?

1 3 2 ? ,即 ? ? m ? 0 时, g (t )min ? g (1) ? m ? 3 .????????(5 分) m 2 3 2 时, k ? [4m ? 5 , ? ?) ; 3

综上,当 m ? ?

当?

2 ? m ? 0 时, k ?[m ? 3 , ? ?) .?????????????(6 分) 3

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) (1)因为 S n ?1 ? t ? S n ? a ① 当 n ? 2 时, S n ? t ? S n ?1 ? a ②, ①—②得, a n ?1 ? t ? a n ( n ? 2 ) ,??????????????????(2 分)
7/4

又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a 2 ? t ? a1 ,??????????????????(1 分) 所以, {a n } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 a n ? a ? t
n ?1

(n?N ) .??(1 分)
*

(2)当 t ? 1 时, a n ? a , S n ? na , bn ? na ? 1 ,???????????(1 分) 由 | bn |?| b3 | ,得 | na ? 1 |?| 3a ? 1 | , (n ? 3)a[(n ? 3)a ? 2] ? 0 (*)????(1 分) 当 a ? 0 时, n ? 3 时, (*)不成立; 当 a ? 0 时, (*)等价于 (n ? 3)[( n ? 3)a ? 2] ? 0 (**) (**)成立. n ? 3 时,

2 2 恒成立,所以 a ? ? . n?3 7 1 2 n ? 1时,有 4a ? 2 ? 0 , a ? ? . n ? 2 时,有 5a ? 2 ? 0 , a ? ? .???(3 分) 2 5 2? ? 2 综上, a 的取值范围是 ?? , ? ? .??????????????????(1 分) 7? ? 5

n ? 4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?

(3)当 t ? 1时, S n ?

a(1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n ?1 ? 1? ? , bn ? ,???(1 分) 1? t 1? t 1? t 1? t

an at(1 ? t n ) at n ?1 1? a ? t k (1 ? t ) 2 ? at cn ? k ? n ? ? ? ? ?n? ,???(2 分) 1? t 1? t (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2

?1 ? a ? t ?a ? t ? 1 , ? 1? t ? 0 , ? ? 所以,当 ? 时,数列 {c n } 是等比数列,所以 ? t ???(2 分) 2 k (1 ? t ) ? at k? , ? ? ?0 t ?1 ? ? (1 ? t ) 2 ?
又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ?

t , t ?1

解得 t ?

5 ?1 .?????????????????????????(1 分) 2
5 ?1 ,k ? 2

从而, a ?

5 ?3 .??????????????????(1 分) 2 5 ?3 时,数列 {c n } 为等比数列.??(1 分) 2

所以,当 a ?

5 ?1 5 ?1 ,t ? ,k ? 2 2

8/4


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