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数列与不等式的放缩法(教师版)


数列与不等式的放缩法
放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。在证明过程中,适 当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握, 常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩 目标尤为重要。要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。掌握放缩 技巧,真正做到弄懂弄通,并

且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能 把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的后三题中,是历年高考命题的热点,这类问 题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.求解途径一般有两条:一 是先求和再放缩,二是先放缩再求和. 一.先求和后放缩
2 ? 满足 4Sn ? an (1) 证明:a2 ? ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

例 1. (本小题满分 14 分) (2013 广东文数)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

数列 ?an ? 的通项公式;(3) 证明:对一切正整数 n ,有
2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

4a1 ? 5 ;(2) 求 1 1 ? ? . an an ?1 2

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? a ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4

an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 n

2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. 1 1 1 1 1 1 (3) ? ? ? ? ? ? ? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.
?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2 点拔:一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和,
则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比 数列(这里所谓的差比数列,即指数列 {an } 满足条件 an?1 ? an ? f ?n?)求和或者利用 分组、裂项、倒序相加等方法来求和. 练习 1、 (本小题满分 14 分) (2014 汕头金山中学)已知数列 (1)求证:数列 { (n ? N ? ) . (2)设

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an 2an ? 1

1 } 为等差数列; an

3 2 1 ? ? 1 ,数列 {bn bn?2 } 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? . 4 bn an

-1-

解: (1)由 an ?1 ? 所以数列 ?

an 1 1 1 得: ? ? 2 且 ? 1 , …………2 分 k$s#5u an?1 an 2an ? 1 a1

?1? ? 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, …………3 分 ? an ?

1 1 ; ------------5 分 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, 得:an ? an 2n ? 1 2 1 2 1 由 , ------------7 分 ? ? 1 得: ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n,? bn ? bn n bn an 1 1 1 1 从而: bn bn ? 2 ? ------------9 分 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 则 Tn ?b1 b3 ? b2 b4 ? ? ? bn bn?2 1 1 1 1 1 1 )] = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? --------12 分 2 3 2 4 n n?2 1 1 1 1 3 1 1 1 3 ? )? ? ( ? )? = (1 ? ? ------14 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2 4 练习 2、正数数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ,满足 2 S n ? a n ? 1,试求: (1)数列 ?an ? 的通项
(2)由(1)得: 公式; (2)设 bn ?

1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 2 a n a n ?1

解: (1)由已知平方去根号得 4S n ? (an ? 1) 2 , n ? 2 时, 4S n?1 ? (an?1 ? 1) 2 ,
2 2 作差得: 4an ? an ? 2an ? an ?1 ? 2an?1 ,所以 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,

又因为 ?an ? 为正数数列,所以 an ? an?1 ? 2 ,即 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, 由 2 S1 ? a1 ? 1,得 a1 ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1 (2) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,所以 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ? ? (减项放缩法) 2 2 (2n ? 1) 2 练习 3、已知函数 f ( x) ? ( x ?1)2 , g ( x) ? 4( x ?1) ,数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,

Bn ?

且 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 . (1)试探究数列 {an ?1} 是否是等比数列?(2)试证明 解: (1)由 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 得

?a
i ?1

n

i

? 1? n .

4(an?1 ? an )(an ?1) ? (an ?1)2 ? 0 ,即 (an ?1)(4an?1 ? 4an ? an ?1) ? 0 ∴ an ?1 ? 0 或 4an?1 ? 4an ? an ?1 ? 0 ∵ a1 ? 2 ,∴ an ?1 ? 0 不合舍去.
由 4an?1 ? 4an ? an ?1 ? 0 得 4an?1 ? 3an ? 1, an ?
3 1 an ?1 ? ? 1 a ? 1 3 4 ∴ n ? 4 ? , an ?1 ? 1 an ?1 ? 1 4

3 1 (n ? 2 ) an ?1 ? , 4 4

∴数列 {an ?1} 是首项为 a1 ? 1 ? 1 , 公比为

3 的 4

等比数列.
-2-

(2)证明:由(1)知数列 {an ?1} 是首项为 a1 ? 1 ? 1 ,公比为 ∴ an ? 1 ? ( ) n ?1 ,∴ an ? ( )

3 的等比数列 4

3 4

3 4

n ?1

?1,
3

3 3 ∴ ? ai ? 1 ? ? ( ) 2 ? 4 4 i ?1
∵对 ?n ? N ? 有 (

n

[1 ? ( ) n ] 3 n ?1 3 4 ?( ) ?n= ? n ? 4[1 ? ( ) n ] ? n 4 3 4 1? 4

3 n 3 1 3 n 3 ) ? ,∴ 1 ? ( ) ? 1 ? ? 4 4 4 4 4
n i ?1

∴ 4[1 ? ( ) ] ? n ? 1 ? n ,即 ? ai ? 1 ? n
n

3 4

二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列,再求和
2 例 2.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

an 2 ? an ?12 S S ?1 (1) 求证: Sn ? ;(2) 求证: n ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? n ?1 4 2 2 2 解: (1)在条件中,令 n ? 1 ,得 a1 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,? a1 ? 0 ? a1 ? 1 ,
2 又由条件 an ? an ? 2S n 有 an?1

2

? an?1 ? 2Sn?1 , 上述两式相减, 注意到 an?1 ? S n?1 ? S n

得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 1) ? 0

? an ? 0 ? an?1 ? an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 1 n(n ? 1) 所以, an ? 1 ? 1? (n ? 1) ? n , S n ? 2 2 2 2 2 a ? a n?1 a 2 ? b2 n(n ? 1) 1 n ? (n ? 1) 所以 S n ? (基本不等式 ab ? 放缩法) ? ? ? n 2 2 2 2 4 2 2 n(n ? 1) n 2 ? n 2n 2 ? 2n ? 1 n 2 ? (n ? 1) 2 a n ? an?1 法二: S n ? (添项放大) ? ? ? ? 2 2 4 4 4 n n(n ? 1) n ? 1 (2)因为 n ? n(n ? 1) ? n ? 1 , (不等式性质放缩法)所以 , ? ? 2 2 2
所以 S1 ? S2 ?

? Sn ?
??? n ?1 2

1? 2 2?3 ? ? 2 2

?

n ? (n ? 1) 2
;(放缩后成等差数列)

?

2 2

?

3 2

?

n 2 ? 3n 2 2

?

S n?1 ? 1 2

1 2 n n(n ? 1) Sn ? ? ? ? ? (放缩后成等差数列) 2 2 2 2 2 2 Sn S ?1 ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? n ?1 综上, 2 2

S1 ? S2 ?

? Sn ?

2.放缩后成等比数列,再求和 例 3. (本小题满分 14 分)(2012 广东高考理) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2
n?1

?1(n ? N * ) ,且 a1 ,a2 ?5, a3 成等差

数列。 (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式。 (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? an 2

-3-

【解析】 (1) 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, 2Sn?1 ? an?2 ? 2n?2 ? 1 相减得: an?2 ? 3an?1 ? 2n?1

2S1 ? a2 ? 3 ? a2 ? 2a1 ? 3, a3 ? 3a2 ? 4 ? 6a1 ? 13 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列 ? a1 ? a3 ? 2(a2 ? 5) ? a1 ? 1
(2) a1 ? 1, a2 ? 5 得 an?1 ? 3an ? 2n 对 ?n ? N 均成立
*

an?1 ? 3an ? 2n ? an?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
得: an ? 2n ? 3(an?1 ? 2n?1 ) ? 32 (an?2 ? 2n?2 ) ? (3)法一、当 n ? 1 时,

? 3n?1 (a1 ? 2) ? an ? 3n ? 2n

练习 4、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? 2an ? (?1)n (n ? 1) ⑴写出数列 ?an ? 的前三 项; ⑵求数列 ?an ? 的通项; ⑶证明:对任意整数 m ? 4 ,有 解:⑴ a1 ? 1, a2 ? 0, a3 ? 2, ⑵ an ?

1 3 ?1? a1 2 3 n 3 2 1 1 n n n 当 n ? 2 时, ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ? ? n 2 2 an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? 1? 2 ? 3 ? ? n ? 1? ? n ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 由上式得:对一切正整数 n ,有 ? ? ? ? a1 a2 an 2 1 1 法二、 an ? 3n ? 2n ? 3 3n?1 ? 2n ? 3n?1 ? 2(3n?1 ? 2n?1 ) ? 3n?1 ∴ ? n?1 an 3 1 1? n 1 1 1 1 1 1 3 ?3 ∴ ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? 1 2 a1 a2 an 3 3 3 1? 3 1 1 1 法三、∵ an?1 ? 3n?1 ? 2n?1 ? 2 3n ? 2 2n ? 2an ∴ ? an ?1 2 an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, , , …… ? ? ? ? a3 2 a2 a4 2 a3 a5 2 a4 an 2 an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 3 1 1 1 累乘得 ∴ ? ? ( )n?2 ? ? ? 1? ? ? ? ( )n?2 ? ? a1 a2 an 5 2 5 2 5 5 2 an 2 a2 1 1 ? ? a4 a5 ? 1 7 ? am 8

⑶证明:当 m 为偶数( m ? 4 )时,

2 n?2 [2 ? (?1) n ] 3

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?( ? )? ( ? ) a4 a5 am a4 a5 a6 am?1 am 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? m ? 2 ) ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 8 当 m 为奇数( m ? 4 )时, m ? 1 为偶数, 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a4 a5 am a4 a5 am am?1 8 1 1 1 7 所以对任意整数 m ? 4 ,有 ? ? ? ? a4 a5 am 8
-4-

练习 5、设 a,n∈N*,a≥2,证明: a 2n ? (?a) n ? (a ? 1) ? a n ;

a 1 (2) 等比数列{an}中, 前 n 项的和为 An, 且 A7, A9, A8 成等差数列. 设 bn ? n , a1 ? ? , 2 1 ? an
数列{bn}前 n 项的和为 Bn,证明:Bn< . 解: (1)当 n 为奇数时,因为 a≥2,所以有 a ? a ,
n

2

1 3

于是, a 2n ? (?a) n ? a n (a n ? 1) ? (a ? 1) ? a n . 当 n 为偶数时,a-1≥1,且 an≥a2,于是

a 2n ? (?a) n ? a n (a n ? 1) ? (a 2 ? 1) ? a n ? (a ? 1)(a ? 1) ? a n ? (a ? 1) ? a n .
(2)∵ A9 ? A7 ? a8 ? a9 , A8 ? A9 ? ?a9 , a8 ? a9 ? ?a9 ,∴ 公比 q ?
a9 1 ?? . a8 2

1 a n ? (? ) n . bn ? ∴ 2

1 4n 1 1 ? (? ) n 2

?

1 1 . (利用第一问) ? n 4 ? (?2) 3 ? 2n
n

1 1 (1 ? 2 ) 1 1 1 1 2 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 . ∴ Bn ? b1 ? b2 ? ?bn ? ? ??? ? ?2 2 n 1 3? 2 3? 2 3 3 3 3? 2 2n 1? 2
练习 6、 (2006 福建,本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)略 (III)证明: (I)解:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。? an ? 1 ? 2n.


an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

an ? 22 ?1(n ? N * ).

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 an a1 a2 n ? ? ? ... ? ? . a2 a3 an?1 2
(II)略(III)证明:

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
3.放缩后为差比数列,再求和 例 4.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a n ?1 ? (1 ? 求证: a n ?1 ? a n ? 3 ?

n ?1 2 n ?1
-5-

n )a n (n ? 1,2,3?) . 2n

证明:因为 a n ?1 ? (1 ? 即 a n ?1 ? a n ?

n )a n ,所以 a n?1 与 an 同号,又因为 a1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? 0 , 2n

n a n ? 0 ,即 an?1 ? an . 2n n n an ? n , n 2 2

所以数列 {an } 为递增数列,所以 an ? a1 ? 1,即 a n ?1 ? a n ?

n ? 2 时, an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 n ?1 n ? 2 2 1 ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ? ? 1 2 2 2 2 1 2 n ?1 1 1 2 n ?1 令 S n ? ? 2 ? ? ? n ?1 ,所以 S n ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ?1 两式相减得: S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 n ?1 n ?1 n ?1 所以 S n ? 2 ? n ?1 ,所以 a n ? 3 ? n ?1 ,故得 a n ?1 ? a n ? 3 ? n ?1 . 2 2 2
4.放缩后裂项迭加求和 例 5 . ( 本小题满分 14 分 ) ( 2013 广东高考理)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . 已知

a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* .(Ⅰ) 求 a2 的值; n 3 3

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 【解析】(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 3 2 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 S n ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 an ?1 an a2 a1 ? ? 1 ,又 ? ? 1 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 n 2 1 a a ? ? 故数列 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n? a 所以 n ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4 1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 当 n ? 3 时, an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ? 1 1 1 7 1 7 1 1 1 7 ? 1? ? ? ? ? ? 综上,对一切正整数 n ,有 ? ? ? ? . 4 2 n 4 n 4 a1 a2 an 4
-6-

点拔:本题是放缩后迭加,放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩方法,放缩 后裂项相消求和。值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前二项不娈,第三项 开始放大,命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。 练习 7、. 在数列 ?an ? 中,已知 an ? 2n ?1, n ? N ? ,求证: 证明:

1 1 ? 2? 2 a1 a2

?

1 7 ? 2 an 6

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ? 2 ? ? 2 3 5 (2n ? 1)2 a1 a1 an 1 1 1 1 1 ∵ ? ? ( ? ) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴1 ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) 2 3 5 (2n ? 1) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 7 ? 1? ( ? ) ? 1? ? ? 2 3 2n ? 1 2 3 6 1 1 1 7 ∴ 2? 2? ? 2 ? a1 a2 an 6 1 1 1 5 练习 8、.在数列 ?an ? 中,已知 an ? n2 ,求证: ? ? ? ? a1 a2 an 3 1 1 1 1 1 1 证明: ? ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? 2 2 3 n a1 a2 an 1 4 4 1 1 ? 2 ? 2( ? ) ∵ 2 ? 2 n 4n 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] ∴ 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ? ( 2 3 n 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 5 ? 1 ? 2( ? ) ? 1? 2? ? 3 2n ? 1 3 3 1 1 1 5 ∴ ? ? ? ? a1 a2 an 3
练习 9、已知数列 ?an ? 满足: an ? ( ?1) 证明: S2 n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? 2 3 4 1 1 ? 令 bn ? , ?b ? 的前 n 项和为 Tn ,则 2n ? 1 2n n 1 1 1 1 ? ( ? ) 当 n ? 2 时, bn ? 2n(2n ? 2) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ∴ S2 n ? Tn ? ? 2 12 30 4 3 4 4 5 n ?1 n 1 1 1 1 1 1 7 1 7 2 ? ? ? ? ( ? )? ? ? ? 2 12 30 4 3 n 10 4n 10 2 练习 10、 .在数列 ?an ? 、 ?bn ? 中,已知 an ? (n ? 1)(n ? 2) , bn ? (n ? 1)2
.证明:

1 2 ,其前 n 项和为 Sn ,求证: S2 n ? n 2 1 1 ? ? 2n ? 1 2n
n ?1

1 1 1 1 7 . ? ? ? ??? ? ? a1 ? b1 a2 ? b2 a3 ? b3 an ? bn 20

-7-

证明:.因为

1 1 1 7 ? ? ? a1 ? b1 6 ? 4 10 20

当 n ? 2 时,由 an ? bn ? (n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)2 ? (n ? 1)(2n ? 3) ? 2n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? bn 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ( ? ? ? ? ??? ? ? ) a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 10 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 1 1 7 ? ? ( ? )? ? ? 10 2 2 n ? 1 10 4 20 练习 11、 数列 {an } 的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和, 对于任意的 n ? N * , 总有 an , Sn , an2
成等差数列。 (1)求 a1 ;(2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

1 ,求证:对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 an 2

解: (1)由已知:对于任意的 n ? N * ,总有 an , Sn , an2 成等差数列

?2Sn =an ? an2 a1 =1 …………………………2 分
令 n ? 1 ,? 2S1 =a1 ? a12 即 2a1 =a1 ? a12 又因为数列 {an } 的各项均为正数,所以 a1 =1 ……………………4 分 (2)

2Sn =an ? an2
2

① ②………………………5 分
2 2

?2Sn-1 =an-1 ? an -1 (n ? 2)
2 2

由①-②得: 2Sn ? 2Sn-1 =an ? an-1 ? an ? an -1 即 2an =an ? an-1 ? an ? an -1 ?an ? an-1 = an ? an -1 即 an ? an-1 =(an ? an-1 )(an ? an -1 )
2 2

an , an -1 均为正数? an ? an-1 = 1(n ? 2) ………………………………………7 分
∴数列 {an } 是公差为 1 的等差数列

? an = a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? n …………………………9 分 1 1 1 1 1 1 (3) bn ? 2 ? 2 ? ? ? ? (n ? 2) ………………………10 分 an n n ? n n ? (n ? 1) n ? 1 n 1 1 当 n=1 时, Tn ? b1 = 2 ? 2 =1 ? 2 …………………………………11 分 a1 1 n?2 当 时 1 1 1 1 1 ? 2?? 2 ? ? ? ? Tn ? b1 ? b ? b ? ? bn ? 2 2 3 1 n 1 2 ? ? n? n 1 32 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2 ……13 分 1 2 2 3 n ?1 n n 所以对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 ………………………14 分
练习 12、已知正数数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 满足 2 Sn ? an ? 1



2

1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , an an?1 1 1 1 1 7 1 求证: Tn ? ;⑶求证: 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 a1 a2 an 6 2 ? 2n ? 1?
⑴求数列 ?an ? 的通项公式;⑵设 bn ?

-8-

解:⑴把 2 Sn ? an ? 1 两边平方得 4 S n ? ? an ? 1?
2 ? ? 4 S n ? ? an ? 1? ∴? 2 ? ? 4 S n ?1 ? ? an ?1 ? 1?

2

① ②

2 2 ②—①得 4an?1 ? an?1 ? an ? 2an?1 ? 2an ? ? an?1 ? an ? 2?? an?1 ? an ? ? 0

∵数列 ?an ? 是正数数列 ∴ an?1 ? an ? 2 ? 0 即 an ?1 ? an ? 2 由已知得 2 S1 ? a1 ? 1 即 2 a1 ? a1 ? 1? a1 ? 0 ? ? a1 ? 1 ∴数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ⑵

?n ? N ?
?

∴ an ? 2n ? 1

bn ?
∴ Tn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ? 1 1 1 1? 1 ? 1 ? 即 Tn ? ? ?1 ? ?? ? 2 n ? ?1 2 2 ? 2n ? 1 ? 2 2? 2 1 1 1 1 1 1 ⑶由⑴知 an ? 2n ? 1 ∴ 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? a1 a2 an 1 3 5
? 1? 1 1 ? ? 3? 5 5 ? 7 ?

?

1

? 2n ?1?

2

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ?1 2n ? 1 ? ? 1 1 7 1 1?1 1 ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ? 6 2 ? 2n ? 1? 6 2 ? 2n ? 1? 2 ? 3 2n ? 1 ? 1 1 2 ? 练习 13、已知数列 a0 ? , an ? an ?1 ? 2 an ?1 ? n ? N ? 2 n n ?1 1 1 1 ? an ? n 求证:⑴ ⑵ ? ? 2 n?2 an ?1 an n 1 2 证明:⑴由 an ? an ?1 ? 2 an ?1 知 an ? an?1 ? 0 n 1 2 1 1 1 1 ∴ an ? an ?1 ? 2 an ?1 ? an ?1 ? 2 an an ?1 ? ? ? 2 n n an ?1 an n


? 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ? a0 an ? a0 a1 ? ? a1 a2 ? ? an?1 an ? 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ? ? ? 1 2 n 1? 2 2 ? 3 ? n ?1? ? n
1 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ? 1 1 1 ? 2? 又 a0 ? , an ? 0 ∴2? ? an ? n 2 an n

-9-

1 n ?1 n2 ? n ? 1 2 a ? a ? a ? an?1 n ? 1 n ?1 n ?1 n2 n2 n2 n2 1 n2 ? an ?1 ? 2 an ∴ an ? an ?1 ? 2 an ?1 ? 2 an n ? n ?1 n n ? n ?1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? 2 ? 2 ? ? an?1 an n ? n ? 1 n ? n n n ? 1
又 an?1 ? n ? 1 则 an ? an ?1 ?

? 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ? a0 an ? a0 a1 ? ? a1 a2 ? ? an?1 an ? 1 1 ? ?1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? 1? n ?1 ?1 2 ? ? 2 3 ? ? n n ?1 ? 1 1 n?2 1 1 又 a0 ? 2 ∴2? ? 1? ? 1? ? ? an n ?1 n ?1 an n ?1 n ?1 n ?1 ? an ? n 成立。 又 an ? 0 ∴ an ? 综上, n?2 n?2 练习14、设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N? ,都有 Sn ? (m ? 1) ? man ( m 为常
∴ 数, 且m ? 0) . (1) 求证: 数列 ?an ? 是等比数列; (2) 设数列 ?an ? 的公比 q ? f (m) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 2a1, bn ? f ( bn?1 ) (n ? 2, n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)在满足(2)的条件下,求证:数列 bn

? ? 的前 n 项和 T
2

n

?

89 18

a ? S1 ? ? m ? 1? ? ma1 解: (1)证明:当 n ? 1 时, 1 , 解得 a1 ? 1
∵ m 为常数,且 m ? 0 ,∴

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? man ?1 ? man .即 ?1 ? m ? an ? man ?1

an m ? ? n ? 2? an ?1 1 ? m m ∴数列 ?an ? 是首项为1,公比为 的等比数列 1? m m (2)解:由(1)得, q ? f ?m ? ? , b1 ? 2a1 ? 2 1? m bn ?1 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1 ? n ? 2? ∵ bn ? f ? bn ?1 ? ? ∴ 1 ? bn ?1 bn bn ?1 bn bn ?1

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为1的等差数列 2 ? bn ? 1 1 2n ? 1 2 ? ? ? n ? 1? ?1 ? ∴ ,即 bn ? ( n ?N * ) bn 2 2 2n ? 1 4 2 2 (3)证明:由(2)知 bn ? ,则 bn ? 2 . ? 2n ? 1? 2n ? 1
∴?
2 2 2 2 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? L ? bn ? 4 ?

当 n ? 2 时,

4

? 2n ? 1?

2

4 4 4 ? ?L ? , 9 25 (2n ? 1) 2 4 1 1 ? ? ? , 2n ? 2n ? 2 ? n ? 1 n
- 10 -

4 4 4 4 1 1 1 1 ? ?L ? ? 4 ? ? ( ? ) ?L ? ( ? ) 2 9 25 (2n ? 1) 9 2 3 n ?1 n 40 1 1 89 ? ? ? ? 9 2 n 18 练习 15、 (2012 广州二模理数)设 an 是函数 f ( x) ? x 3 ? n 2 x ? 1(n ? N*)的零点. n 3 ? a1 ? a 2 ? ... ? a n ? (1)证明: 0 ? an ? 1 ;(2)证明: n ?1 2 2 证明(1) ∵ f ( x) ? ?1 ? 0, f (1) ? n ? 0 且 f ( x ) 在 R 上的图象在 R 上是一条连续曲线 ∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 内有零点。………………1 分 ∵ f ?( x) ? 3x2 ? n2 ? 0 ∴函数 f ( x ) 在 R 上单调递增………………2 分 ∴函数 f ( x ) 在 R 上只有一个零点且零点在 (0,1) 内, 而 an 是函数 f ( x ) 的零点 ∴ 0 ? an ? 1 n (2)先证明: a1 ? a2 ? ? an ? n ?1 3 2 ∵ an 是函数 f ( x) ? x ? n x ?1 的零点
∴ Tn ? 4 ? ∴ an3 ? n2an ?1 ? 0 ∴ an3 ? 1 ? n2an ∴ 1 ? n2 an ? an ………………4 分 由(1)知 0 ? an ? 1 , ∴ an3 ? an 所以 an ?
2

1 1 1 1 ? 2 ? ? 2 所以 a1 ? a2 ? ? an ? 2 ………6 分 n ?1 1 ?1 2 ?1 n ?1 1 n ? 以下证明: 2 n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ∵ an ? 2 ………………7 分 n ? 1 n ? n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 ) ∴ a1 ? a2 ? ? an ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? ………………9 分 n ?1 n ?1 3 下面证明: a1 ? a2 ? ? an ? 2 3 当 n ? 1 时, f ( x) ? x ? x ?1 1 1 3 1 3 3 3 3 3 11 ?0 ∵ f ( ) ? ( ) ? ( ) ?1 ? ? ? 0 , f ( ) ? ( ) ? ( ) ?1 ? 2 2 2 8 4 4 4 64 1 3 ∴ ? a1 ? ………………………10 分 2 4 1 ? an3 1 ? 2 由(1)知 0 ? an ? 1 , 且 an3 ? n2an ?1 ? 0 ∴ an ? n2 n 1 1 1 1 ? ? ∵当 n ? 2 时, 2 ? n n(n ? 1) n ? 1 n 3 1 1 1 1 1 ? ) ∴当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ? an ? ? 2 ? ( ? ) ? ? ( 4 2 2 3 n ?1 n 3 1 1 1 3 1 3 ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 n 2 n 2

- 11 -

? 所以当 n ? N 时,都有 a1 ? a2 ?

? an ?

3 2

综上所述,

n ? a1 ? a2 ? n ?1

? an ?

3 ………………………14 分 2

练习 16、(2014 佛山一模)( (本题满分 14 分) 数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、

an ?1 、 bn ?1 成等比数列, n ? 1, 2,3,
(Ⅰ)求 a2 、 b2 的值;

.

(Ⅱ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 ? ? ? a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1

?

1 2 ? . an ? 1 7

解 :(Ⅰ)由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 .
2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

…………………………1 分

a ? 36 . b1

2 2

……………………………………2 分

(Ⅱ)因为 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …①. ………………3 分
2 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 an ?1 ? bn bn ?1 ,

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an?1 ? bnbn?1 …②. 于是当 n ? 2 时, an ? bn?1bn …③.

…………4 分

………………………………5 分

将②、③代入①式,可得 2 bn ? bn?1 ? bn?1 ,因此数列 等差数列,
2

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的
n

所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? . ……………………………6 分 由③式,可得当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? . ……………7 分
2

当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? .………8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为 方法一:首先证明 因为

1 1 1 1 2 ? ? ?L ? 2 ? .……9 分 7 23 47 4n ? 4n ? 1 7

1 2? 1 1 ? ? ? ? ? ( n ? 2 ). 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ?
2

1 2? 1 1 ? 1 2 ? ? ? ? 2 ? 7n 2 ? 7n ? 8n 2 ? 8n ? 2 ?? 2 4n ? 4n ? 1 7 ? n n ? 1 ? 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n
2

? n2 ? n ? 2 ? 0 ? ? n ? 1?? n ? 2? ? 0 ,
所以当 n ? 2 时,

1 1 1 1 2 ?? 1 1 ? 1 ?? 1 2 1 2 ?1 ? ?L ? 2 ? ? ?? ? ? ? L ? ? ? ? ? ? ? ? ? . …12 分 7 23 4 n ? 4 n ? 1 7 7 ?? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 7 7 2 7
当 n ? 1 时,

1 2 ? . 7 7

…………………………13 分

综上所述,对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? …………14 分 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

- 12 -

方法二:

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?. 4n2 ? 4n ? 1 4n2 ? 4n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 4 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

当 n ? 3 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4n ? 1
1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 4 ?? 5 9 ? ? 7 11 ? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 3 ? ?
1 1 1?1 1? 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ………………………12 分 7 23 4 ? 5 7 ? 7 14 14 7
…………………13 分

?
?
当 n ? 1 时,

1 2 1 1 1 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7

综上所述,对一切正整数 n ,有 方法三:

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? …………14 分 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
2

当 n ? 4 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4n ? 1
?

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 47 2 ?? 7 9 ? ? 9 11 ? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 1 1 1 2 …………………12 分 ? ? ? ? ? . 7 23 47 14 7 1 2 1 1 1 1 2 当 n ? 1 时, ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? ;当 n ? 3 时, 7 7 7 23 7 7 7 1 1 1 1 1 1 2 ……13 分 ? ? ? ? ? ? . 7 23 47 7 14 14 7
综上所述,对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? …………14 分 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

练习 17. (2014 广州海珠区模拟) (本小题满分 14分)

若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an ,记 bn ? log 1 an .
2

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若 cn?1 ? cn ? bn , c1 ? 0, 求证:对任意 n ? 2, n ? N 都有
*

1 1 ? ? c2 c3

?

1 3 ? cn 4

1 . 8 1 . 6S2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ? 32 (2)由 6Sn ? 1 ? 2an ……①, 当 n ? 2 时,有 6Sn?1 ? 1 ? 2an?1 ……②, a 1 ①-②得: n ? , an ?1 4 1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 4 8
解:(1)由 6S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ?
- 13 -

…………1 分 …………3 分

…………4 分 …………5分 …………6分

1 ?1? ?1? ?1? ? an ? a1q n?1 ? ? ? ? ? ? ? , ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? ? 2n ? 1 .………8分 8 ? 4? 2 ? 2? ? ? 2 2 (3) cn?1 ? cn ? bn =2n ? 1, cn?1 ? cn?2 ? bn?2 =2 ? n ? 2? ?1 , ? cn ? cn?1 ? bn?1 =2 ? n ?1? ?1 ,
(1)+(2)+ ……+( n ? 1 )得 cn ? c1 ? bn?1 =2 ?1+2+3+ …………, c3 ? c2 ? b2 =2 ? 2 ? 1 , c2 ? c1 ? b1 =2 ?1 ? 1, ……9分

n ?1

2 n ?1

2 n ?1

+n ?1? ? n ?1=n2 ?1 ,…………10 分
………11 分 …………12 分

? cn = ? n ?1?? n ?1? , ? ?
1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, cn ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c2 c3 cn 2 ? 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1? 1 1 1 ? 3 1?1 1 ? …………13 分 = ?1+ ? ? ?? ? ? ? ?, 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 1 1 1 3 1?1 1 ? ? ? ? ? ? 对任意 n ? 2, n ? N * 均成立.……14 分 ? ? ? ?0, c2 c3 cn 4 2 ? n n ?1 ?

练习 18. .已知等差数列{ an }满足 a1 ? 1, a1 +a 2 + (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
1

+a10 ? 100 .

an ? an?1

, 求数列 {bn } 的前项 n 和 Sn ;
11 6

(Ⅲ)设 cn ?

an , 试证明: c1 ? c2 ? c3 ? (2 ?1)(2 n ?1)
n

? cn ?

?a1 ? 1 ? 解: (Ⅰ)设等差数列{ an }的公差为 d,则 ? ,得 d=2,…3 分 10 ? 9 10a1 ? d ? 100 ? ? 2

an ? 2n ? 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? ∴ Sn ?

…………………4 分
1

an ? an?1

?

1 1 1 1 ? [ ? ], ……6 分 (2n ?1)(2 n ?1) 2 (2 n ?1) (2 n ?1)
?( 1 1 ? )] 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5 5 7 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1
n

…………………8 分
( n ? 2 ) ………10 分

(Ⅲ) cn ?

1 1 an 1 ? n ?1 ? n ?1 ? n n ?1 2 ? 2 ?1 2 (2 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? cn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 3 2 2
- 14 -

∴ c1 ? c2 ? c3 ?

?

1 2n ?1

…………12 分

1 1 (1 ? n ?2 ) 4 22 4 1 1 11 1 11 2 ? ? ? ? ? n ?1 ? ? n ?1 ? 1 3 3 2 2 16 2 16 1? 2
4.放缩后裂项迭乘求积 例 6.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ? ⑴求 a2 , a3

……14 分

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) (n ? N ? ) 16 ⑵令 bn ? 1 ? 24an ,求数列 ?bn ? 的通项公式 f ( n) ? 1 2

⑶已知 f (n) ? 6an?1 ? 3an , 求证: f (1) f (2) f (3) 解:⑴略 ⑵略

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 3 4 2 3 2 1 n ?1 1 n ?1 1 2 1 n 1 n 1 1 ∴ f (n) ? 6[ ( ) ? ( ) ? ] ? 3[ ( ) ? ( ) ? ] ? 1 ? n 3 4 2 3 3 4 2 3 4 1 1 1 2 1 1 (1 ? n )(1 ? n ?1 ) 1 ? n ? n ? 2 n ?1 1 ? n 1 4 4 4 4 4 4 ∵1 ? n ? ? ? 1 1 1 4 1 ? n ?1 1 ? n ?1 1 ? n ?1 4 4 4 1 1 1 1 1 1? 1? 2 1? 3 1? n 1? n 1 4 4 4 4 ? 4 ? ∴ f (1) f (2) f (3) f ( n) ? 1 1 1 2 1?1 1? 1? 2 1 ? n ?1 2 4 4 4
⑶由⑵得, an ? 常见的放缩有

1 1 1 1 ? ? ? , 2 n n ? n ? 1? n ? 1 n 1 1 1 1 (2) 2 ? , ? ? n n ? n ? 1? n n ? 1
(1) (3) n ? n ? n ? 1? ?

? n ? 1?

2

? n ?1 ,

(4) n2 ? 2n ? n2 ? 2n ?1 ? n ?1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? (6) 2 n ? n ?1 n ? n n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? )(n ? 2) (7) 2 (2n ? 1) 2n(2n ? 2) 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? (8) 2 n ? 1 n ? n n(n ? 1) n n ? 1 1 4 4 1 1 ? 2 ? 2( ? ) (9) 2 ? 2 n 4n 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1? 1 1 ? (10) 3 ? ? ? ? n (n ? 1) n (n ? 1) 2 ? (n ? 1) n n (n ? 1) ? ?
(5)

- 15 -

3 n 3 2 n n 2 2 (12) 3n?1 ? 2n?1 ? 2 3n ? 2 2n ? 2(3n ? 2n )
(11) ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 (13) 3 ? 2 ? 3 3
n n n ?1

? 2n ? 3n?1 ? 2(3n?1 ? 2n?1 ) ? 3n?1

(14) (15)

k ?1 ? k ?

1 1 1 ? ? ? k ? k ? 1 (k ? 2) k ?1 ? k 2 k k ? k ?1

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? 3 n (n ? 1) n (n ? 1) 2 ? (n ? 1) n n (n ? 1) ? ? 1 1 1 ? ? (n? 2) (16) n 2 ? 1 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 1 2n ?1
(17)

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
2

(18)

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