物理奥赛复赛模拟试题(五)与答案

物理奥赛复赛模拟试题(五)与答案
题 1:如图 1 所示,四个质量均为 m 的质点,用同样长度且不可伸长的轻 绳联结成菱 : 形 ABCD.静止放在水平光滑的桌面上.若突然给质点 A 一个历时极短沿 CA 方向的冲击. 当冲击结束的时刻, 质点 A 的速度为 v, 其它质点也获得一定速度. ∠BAD=2a(a<π/4). 求: 此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量. 分析与解答:解题时应把握"对称性"这一特征,应用动 量定理求解,注意动量的矢量性. 由对称性知,C 点的速度必定沿 CA 方向,设大小为 vc .D 的 速度可以分解为平行于 和垂直于 分速度,其大小分别为 图1

v D1 和 v D 2 , 同样, 的速度也类似地分解为平行和垂直于 B
两个分速度,其大小设为 v B1 和 v B 2 ,如图 1(1)所示.根据 对称性,必有

v B1 = v D1 vB 2 = vD2

(1) (2) 图 1(1)

由于绳子不可伸长, 沿 DA 的分速度和 D 沿 DA 的分速度 A 一定相等,C 沿 CD 的分速度和 D 沿 CD 的分速度也相等, 即: (3) (4) 另一方面, 设绳子 AD 给质点 D 的冲量的大小为 注意到绳子 DC 给质点 D 的冲量的大小同样也为

, 绳子 DC 给质点 C 的冲量的大小为

.

(各冲量的方向均沿绳子的方向).由 ,绳子 BC 给质点 B 和 C 的冲 方向以及质点 C

对称性还可以判定,绳子 AB 给质点 B 的冲量的大小也是 量的大小都是 平行于

. 根据动量定理, 可分别列出关于质点 D 平行和垂直于

方向的关系式如下: (5) (6) (7)

由(3)—(7)五式可解出所需的

和

:

1

(8)

(9)

(10) 由此结果与(1),(2)两式,得此系统的总动量为

,方向沿 CA. 此系统的总动能为

题 2:有一块透明光学材料,由折射率略有不同的许多相互平行的,厚度 d=0.1mm 的 : 薄层紧密连接构成,图 2 表示各薄层互相垂直的一个截面,若最下面一层的折射率为 n0, 从它往上数第 K 层的折射率为 nK=n0-Kv,其中 n0=1.4,v=0.025,今有一光线以入射角 i=60° 射向 O 点,求此光线在这块材料内能达到的最大深度? 分析与解答: 设光线进入材料后的折射角为 r,则根据折射定律有 ,此光线从最下面一

层进入向上数第一层时, 入射角为

, 折射角为

, 同样根据折射定律有

, 也即 光线从第一层进入第二层时,同样可得

图2

综合以上分析可得:

2

因为

,所以

随着 K 的增大而增大,

则随着 K 的增大而 最

减小, 即光线在顺序变化的介质中传播时将偏向折射率变大的方向. 满足上式又当

接近 1 的 K 值即为光线能进入的最深薄层的序号,光线在这个薄层上将发生全反射,然后 又逐层返回下面最后射出透明材料. 因此求出能满足下式的 K 的最大值

因为 代入上式得:

解得: 取小于 21.76 的最大整数,得 K=21,即在 n0 上面第 21 层下表面就是光线能到达的最深处, 所以光线在这块透明材料内能达到的最大深度是

题 3:设法使边长为 L 的正方形环在任何情况下均以匀速度 v 沿着它的 AB 边的方向运 : 动,在其运动的空间区域内有一匀强电场,场强 E 垂直于环的运动速度.运动期间各环始 终都在同一平面上,电场 E 相对于环平面的倾角为θ.设环上串有大量小球,这些小球象 珠子串在项链上那样被串在环上.小球的大小可忽略,各个球都带有电量 q.今在相对于环 不动的参照系中设法让这些小球均以匀速 u 沿环边运动,各边上相邻两球的间距均为 a,且 L 远大于 a(参见图 3),环是用不导电的线制作的,在相对于环不动的参照系中它有均匀 的电荷线密度,正好把全部小球的电荷完全抵消掉. 考虑相对论效应,在一个从其上看环的运动速度为 v 的惯性参照系上计算以下各量: 1,环路各边上相邻两个小球之间的距离 aAB,aBC,aCD 和 aDA; 2,环路各边净电量(各边上线电荷与小球电荷之和)QAB,QBC,QCD 和 QDA; 3,使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量 M; 4,环与小球系统和电场之间相互作用的电势能 W. 所有解答均需用题中给定的量来描述. 注意:物体的电荷量与测量参照系的选择无关. 图 3 只画出了各矢量之间的相对方向. 略去电磁辐射. 有关的相对论公式如下: (1)设惯性参照系 以匀速度 v 相对另一参照系 S 运动.两参照系对应的坐标轴彼

3

此平行,t=0 时坐标原点重合,速度 v 沿 x 轴正方向. 若在 系测得一个质点以速度 沿 轴运动,那么在 S 系测得该质点的速度应为

其方向沿 x 轴正方向(相对论速度求和公式). (2)如果一个物体的静止长度为 时,那么该观察者测得此物体长度 L 为 ,当它以速度 v 沿其长度方向相对某观察者运动

分析与解答: 1,令 S 为观察到环路以速度 v 运动的实验 室参照系, v 同向, 为环路参照系( 沿着 DA 边的方向, 系的 x 轴与 轴则垂直于 系各对应 图3

环路所在平面).S 系各轴平行于 轴,S 与

系的坐标原点在 t=0 时重合. ,它的各坐标轴与 S, 系

(1)AB 边建立与 AB 边上的小球一起运动的参照系 的坐标轴平行. 相对 具有速度 u.

据洛仑兹收缩,

测得的 AB 边上相邻两个小球之间的距离

为

, (只要

(1)

是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距,上式对任何一条边均成

立.) 据相对论速度求和公式,S 系中的观察者认为 AB 边上诸球具有的速度为

(2) 再据洛仑兹收缩,此观察者将测得 AB 边上相邻两球的间距为

4

,

(3)

将(1),(2)式代入到(3)式,可得:

.

(4)

(2)CD 边对 S 系中的观察者而言,CD 边上小球的速度为

, 再据洛仑兹收缩有

(5)

,

(6)

将(1),(5)式代入到(6)式,便得

(7) (3)DA 边在 系中,令 DA 边上的某一小球在 , , 时刻位于 处. 处.

在同一时刻邻近的一个小球应位于

各球相对于 S 系的空—时坐标可由洛仑兹变换式给出

, , , (8)

. 据此,第一个小球在 S 系中有

,

5

,

,

(9)

. 第二个小球则为

, , , (10)

. 由于 ,S 系中这两个小球之间的距离便为 , 即得 . (12) (11)

(4)BC 边重复上述相似的讨论,可得 (13) (其实,由于 DA,BC 边与 v 垂直,无洛仑兹收缩,故 2,在环路参照系 中,每一条边线上的电荷量为 .)

(14) 在此已考虑到 L/a 为各边上的小球数.由于电荷是运动不变量,在实验室参照系 S 中测 得的各边线电荷量也为此值. (1)AB 边在实验室参照系中,AB 边上各球电荷量之和为

(15) 此式系由 AB 边上小球数乘以每一小球电荷量(运动不变量)来获得.(15)式右边第 一项中的分子为 S 系中观察者测得的运动收缩边长,分母则为相邻小球的间距. 将(4)式代入到(15)式中,可得:

6

(16) 将(14)式和(16)式相加,便得 AB 边上总电荷量

.

(17)

(2)CD 边用相同的方法可得

(18) 将(14)和(18)式相加,可得 图 3(1)

(19)

(3)BC 边和 DA 边 S 系中观察者测得这两条边的边长均为 L,相邻两球的间距也均为 a,因此

, 将(14)和(20)式相加,可得 , . (21.1) (21.2)

(20)

3,作用在 AB 边上的电场力为

, 作用在 CD 边上的电场力为

(22)

, 与

(23)

形成一力偶.据力偶的力矩表达式,可得(参见图 3(1) (24)

最后可表达成

(25) 4,令 和 分别为 AB 边上各点和 CD 边上各点的静电势(指场强为 E 的外电场的

7

电势——注),那么有 , (26)

将电势零位(U=0)选在与 E 垂直的一个平面上,此平面与 AB 边的间距为某一任意量 R(见图 3(2)),于是 (27) 但 ,故 , (28) 图 3(2)

将(17)式代入到(28)式,便得

(29) 题 4:使装着理想单原子气体的箱子骤然以速度ν运动起来,求气体温度的变化.已知 : 一个气体原子的质量为 m0,箱子的热容量和导热忽略不计. 分析与解答:设单个气体分子的质量为 ,气体的摩尔数为γ,以箱子为参照系,则

; 式中 k 为玻尔兹曼常数, , 代入后得 是阿伏伽德罗常数,且

. 说明:与机械运动地应的动能和与热运动对应的分子平均动能之间可以发生转换,同样 说明 势能与内能之间也可以发生相互转化.如国际物理奥赛中曾考过这样一题: 给定两个完全相同的球,其中一个放在水平面上,另一个用细线悬挂起来,使这两个球吸收 相同的热量,问这两个球的温度是否相同?说明你的理由(忽略各种热量损失). 球体吸热后,体积膨胀,其中放在水平面上的球的重心升高,需要克服重力做功而消耗一部 分热量,而另一个球的重心则会降低,因而对放在水平面上的球而言,用来使球的温度升高 的剩余的热量将比另一个球少一点, 结果第一个球的温度应稍低于第二个球的温度. 当然这 一差别是很小的.

题 5:如图 5 所示,水平放置的截面为矩形的容器被竖直可自由滑动的轻活塞分成左, : 右两部分,左边盛有水银,水银上方可视为真空,右边充有空气.活塞开始处于平衡位置且 将容器分成长度为 L 的两个相同部分.现在欲使右边气体的温度升高到原来的 3 倍,活塞

8

将向左移动多少距离(不计水银及容器的热膨胀,器壁光滑且无渗漏) 分析与解答:令容器的高为 a 宽为 b,开始时水银的高为 有关系式 ,由于水银的体积不变,

水银对活塞的压力

图5

当活塞平衡时,气体对活塞的压力,pab 应与 F 相等,所以有:

,

显然: 对于右边的气体: ,

,

,

由理想气体状态方程可得:

化简为 解得:

(舍去) 活塞移动的距离为

题 6:物理学家密立根 1911 年曾以著名的油滴实验推断出自然界存在基本电荷,并推 : 算出基本电荷的带电量.下面让我们追溯这个实验过程,并提出问题. 水平放置的平行板电容器两极板间的距离为 d,在上极板的中间开一小孔,使质量为 m 的带电油滴从这个小孔落到电容器中.忽略空气浮力,当电容器上没加电压时,由于空气阻 力与速度大小成正比(设比例系数为常数 k),经过一短时间,即可观察到油滴以恒定的速 率 v1 在空气中缓慢降落. (1)若在电容器上加电压 U(下极板为正),可见到油滴以恒定速率 v2 缓慢上升,试

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求油滴所带电量 q.(设重力加速度为 g,电量由 d ,U ,K, v1, v2 等已知量表示) (2)若电容器上不加电压,油滴在电容器内以恒定速率 v1 下降时,移动某一竖直距离 所需时间为 t1;加了电压 U 后,油滴以恒定速率 v2 上升同一竖直距离所需时间为 t2,则油滴

的带电量可表示为 A

.试用已知量 d,g,U,t1 及油滴质量 m 来表示 A 的表达

式. (3)若这时把加在电容器上的电压撤除,使油滴以恒定速率下降一段距离;然后向电 容器内照射 X 射线以改变油滴的带电量后,又在电容器上加上电压 U,测定该油滴匀速上

升同一竖直距离的时间 t2,依此类推,多次实验的结果表明 数倍.由此可推论:自然界中一定存在基本电荷. 已知该实验中测得的一组数据如下: , ,并取 ,

总是 0.00535s-1 的整

,

,试由此计算基本电荷的带电量(取两位有效

数字). 分析与解答:当电容器上未加电压,油滴以速率 v1 在空气中缓慢降落时,空气阻力为 ,且重力与空气阻力平衡,即

(1)当电容器两端电压 U 时,油滴受电场力 且向上匀速移动

①

根据受力平衡条件有:

②

将①式代入②式得:

③ ④

(2)由于油滴前后下降与上升为同距离,则有:

联立①④得:

⑤

联立①③⑤得:

⑥

将⑥式与题中 q=A

比较,可见:

10

(3)因为

,而式中

在实验中一定值,所以若发现

总是 0.00535s-1 的整数倍,即可推得电量 q 也必有 q=ne(其中 n 为正整数),即

为某基本电荷电量 e 的整数倍,故有:

即: 得:

题 7:在水平桌面上放置一个半径 R=0.5m 的绝缘圆槽,小球可在槽中滑动,槽的宽度 : 远小于其半径,如图 7(1)所示.设小球质量 m=1.0×10-3kg,带电荷量 q=+5.0×10-3C.空间存 在着方向竖直向下的匀强磁场,当磁感应强度的大小随时间的变化如图 43-65 乙所示时,槽 所在处产生感应电场,其电场线为逆时针方向(俯视)的闭合圆且半径为 R,电场强度的大 小 E0=E/2πR(其中 E 为感应电动势).现小 球沿电场线方向滑到 A 点时,磁感应强度 B0=0.8T,槽的内,外壁均不受压力;当小球经 0.2s 转过一圈再到 A 点时,槽外壁所受的压 力 FN=3.0×10-3N.求小球在滑行一周的过程中克服摩擦力所做的功. 分析与解答: 设小球第一次滑到 A 点时的速率 为 ,由牛顿第二定律得

设小球第二次滑到 A 点时的速率为 ,此时小球沿半径方向受到洛伦兹 力和压力的作用,由牛顿第二定律得

(1) 图7

(2)

而此时

, 由乙图知

,

设槽所在处产生的感应电动势为 E,由法拉第电磁感应定律得

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则感应电场的场强 小球运动一圈的过程中,感应电场力做功为

小球运动一圈的过程中,设摩擦力做功为 Wf,由动能定理得

解得

题 8:如图 8 所示,滑块 A 的质量为 m=0.01kg,与水平地面间的动摩擦因数 =0.2,用 : 细线悬挂的小球质量均为 m=0.01kg,沿 x 轴排列,A 与第 1 只小球及相邻两个小球间距离 均为 s=2m,线长分别为 L1,L2,L3……(图中只画出三只小球,且小球可视为质点),开 始时,滑块以速度 v0=10m/s 沿 x 轴正方向运动,设滑块与小球碰撞时不损失机械能,碰撞 后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆运动,g=10m/s2.求: (1)滑块能与几个小球碰撞? (2) 求出碰撞中第 n 个小球悬线长 Ln 表达式. 分析与解答: (1)因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能 守恒,滑块与小球相碰撞会互换速度,小球在竖 直平面内转动,机械能守恒, 设滑块滑行总距离为 ,有: 图8

得

(个) (2)滑块与第 n 个球碰撞,沿小球运动到最高点时速度为 ,由

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三式所得:

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