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等差等比数列知识点及习题总结


一、等差数列及其前 n 项和
等差数列的常用性质:如果等差数列{an}的首相时 a1 ,公差为 d,那么 (1)通项公式: an =_____________________=___________________; (2)前 n 项和 Sn =__________________=_______________________; (3) an ? am ? _______________;若 k ? l ? m ? n ,则________________________; (4)若{an}是等差数列,公差为 d,则{kan}也是等差数列,公差为__________; ?a2 n ?也 是等差数列,公差为___________; (5)若{an},{bn}是等差数列,公差分别为 d1 , d 2 则{an+bn}也是等差数列,公差为 _______________; (6)在等差数列{an}中,若 a1 ? 0, d ? 0 ,则 Sn 存在最______ 值,若 a1 ? 0, d ? 0 ,则 Sn 存在最_____ 值。 (7)公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 仍成等差数 列,其公差为__________。 (8)若{an}是等差数列, 前 n 项的和为 Sn , 则? 题型一 等差数列的基本运算 1. 在等差数列{an}中, a1 ? 1, a3 ? ?3 。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 S k ? ?35 ,求 k 的值。

? Sn ? 公差为____________。 ? 也是等差数列, ?n?

跟踪训练(1) 等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 a1=1, ak+a4=0, 则 k=________。 ( 2 ) 已 知 S n 为 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , a2 ? a5 ? 4, , S7 ? 21 , 则 a 7 的 值 为 _________________。 (3) 等差数列{an}中, 若 bn ? a2n , 则数列 ?bn ?的前 5 项和为___________。 a2 ? 6, a5 ? 15, 题型二 等差数列的性质及应用 1. 设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,若 S3 ? 9, S6 ? 36, 则 a7 ? a8 ? a9 =________________。 2. 在等差数列 {an } 中 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? ___________。

3.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列的项数为________。

, 4. 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 的 和 为 Sn , 若 a1 ? ?2014
=_______________。

S 2014 S 2008 ? ? 6, 则 S2013 2014 2008

5. 已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,且 S10 ? 10, S20 ? 30 ,则 S30 ? _____________。 题型三 等差数列的前 n 项和及其最值 (1)等差数列{an}中,已知 a1 ? 20,前 n 项的和为 Sn ,且 S10 ? S15 ,求当 n 取何值时, Sn 取得最大值,并求出它的最大值。 (2)已知数列{an}的通项公式是 an ? 4n ? 25 ,求数列 an 的前 n 项和 Sn 。

? ?

跟踪训练 (1)设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6, 则当 Sn 取最 小值时,n 等于___________。 (2)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________。 (3)等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn , 已知 a5 ? a7 ? 4, a6 ? a8 ? ?2 , 则当 Sn 取最大值时, n 等于__________。 (4) 设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,前 n 项的和为 Sn ,若 S6 ? 5a1 ? 10d ,则当 Sn 取 最大值时,n 等于________。

二、等比数列及其前 n 项和
等比数列的常用性质:如果等差数列{an}的首相时 a1 ,公比为 q,那么 (1)通项公式: an =_________________________;前 n 项和

(q ? 1) ?__________ Sn ? ? ? __________ (q ? 1) ?_________
(2) an ? am ? _______________;若 k ? l ? m ? n ,则________________________ (3)若_____________,那么 G 为 a,b 的等比中项。 (4)若{an},{bn}是等比数列,公比分别为 q1 , q2 (q1 ? 0, q2 ? 0) ,则

??an ?(? ? 0),

?a ? 1 2 , an , ?an ? bn ?, n 仍是等比数列,其公比分别为_______,_______, ?an ? ?bn ?

? ?

_________,_______,_________。 (5) 公比不为-1 的等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn , 则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 仍成等比数列, 其公比为_______。 题型一 等比数列的基本运算 1. 在等比数列 {an } 中,若 a4 ? a2 ? 6, a5 ? a1 ? 15 ,则 a3 ? ______________。 2. 在等比数列 {an } 中, 公比为 q, 且 q ? 1, 若 am ? a1a2 a3a4 a5 , 则 m=__________。 a1 ? 1 , 3. 等比数列{an}的前 n 项的和为 Sn , 已知 3S3 ? a4 ? 2,3S2 ? a3 ? 2 , 则公比 q 为__________。 4. 已知数列 {an } 是首项为 1 的等比数列,前 n 项的和为 Sn ,且 9S3 ? S6 则数列 ? 5 项和为________。 题型二 等比数列的性质及应用 1. 等比数列 {an } 中,各项均为正值,且 a6a10 ? a3a5 ? 41 , a4a8 ? 5 ,则 a4 ? a8 =______________。 2. 等比数列 {an } 的首项 a1 ? ?1 , 前 n 项的和为 Sn , 若

?1? ? 的前 ? an ?

S10 31 , 则公比 q=______________。 ? S 5 32

3. 等比数列 {an } 中, 各项均为正值, 则 a4 a5 a6 =_______________。 a1a2 a3 ? 5 , a7 a8a9 ? 10 , 4. 记等比数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,已知 am?1 ? am?1 ? 2am ? 0, T2m?1 ? 128则 m 的值为 _______________。

5. 等比数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,且 S3 ? 8, S6 ? 7 ,则 a4 ? a5 ? ? ? ? ? a9 =_____________。
题型三 等比数列的判定 1. 已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,数列 ?bn ?中, b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2) ,且

an ? Sn ? n
(1)设 cn ? an ? 1,求证: ?cn ?是等比数列; (2)求数列 ?bn ?的通项公式。

2. 设数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn?1 ? an?1 ? 2an ,证明数列 ?bn ?是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式。


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