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2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案


WW w  zh o ng s h uc a n. c oi n  

中学 数 学 教 学 参 考 

2   0   1   5 年 全 国 高 中 数 学 联 赛  陕 西 赛 区 
陕西 省数 学竞赛 委员 会 
( 2 0 1 5年 4月 1 9 日上 午 8 : 3 0 —1 1 : 0 0 )  

>
及 

第一 试 
填 空题 ( 每 小题 5分 , 共5 O分 )   本题共有 1 O小题 。 要 求直 接 将 答 案填 在 题 中 的  横线上。   1 . 已知 集 合 A一 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } , B一 { 2 , 4 , 6 , 8 ,   1 O ) , 若 集合 C= = = { zI z =a +b , n ∈A, b ∈B) , 则集合 C   中元素 的个 数是  。  

l 0 . 设单 调 递 增 数列 { 口   } 的各项均为正整数 , 且  口 7 —1 2 0 , 口  z :n   +口   + 1 (  ∈N +) , 贝 0   a 8 一  。  

第二 试 




( 本题 满分 1 5分 )  

设 等 比数 列 { 口   ) 的前  项 和 为 S   , 且 n   一2 S  
1  

+÷ ( n ∈N+ ) 。  

2 . 已 知 函 数 厂 ( z ) 一 {   :  : : 则 , ( , (   ) )  
一 。 
— —

( I) 求 数列 { 口   ) 的通项 公式 ;   ( Ⅱ) 在 口  与 倪   +   之 间插 入 扎个 实数 , 使 这 + 2  

3 . 已知 s i n   a +√ 3 s i n卢 一1 , C O S   a +√ 3 C O S  一√ 3 ,  
则 c o s ( a -p )的值为  。   。  
y  

个 数 依 次 组 成 公 差 为 d ” 的 等 差 数 列 。 设 数 列 { 麦 j 的  
1 [ 

前  项 和 为 T   , 求证 :   <  l _ O ,  ∈N+。  
二 、 ( 本 题 满分 1 5分 )  

4 . 在三 棱锥 S - AB C中, AB: = = AC, S B—S C, 则 直  线 S A 与 BC所成 角 的大小 为  5 . 如图 1 , 以双 曲线  一   = = =  
“ 

设 △AB C 的 内角 A、 B、 C的对 边 分 别 为 口、 b 、 C ,  
且 满足 s i n   A+ s i n   B一 ( C O S   A+ C O S   B) s i n   C 。  

1 ( a >0 , 6 >O ) 上 一 点 M 为 圆 心 的 

\L ,/  

( 工) 求证 : △AB C为直角 三角 形 ;  

圆与 X轴恰 好 相切 于双 曲线 的 一  个 焦点 F, 且 与 Y轴 交 于 P、 Q 两  图1   点 。若 △MP Q 为 正 三 角形 , 则 该  双 曲线 的离 心率是  。   6 . 设 0 ̄ j / K AB C的外 心 , 且 满足  +  一  ,  

/ o ’  

( 1 I ) 若 口 +b +C 一1 +√ 2 , 求 △AB C 面 积 的 最 
大值 。  
三 、 ( 本题 满分 1 5分 )  

如图 2 , 设 H 为 锐 角 
△ AB C 的垂 心 , 过点 H 且垂 

则  AC B=  

。  

直 于 BH 的直线 交 AB 于点  D, 过点 H 且垂直于 C H 的 

7 . / k ABC 中 , t a n   +t a n   一1 , 则 t a n   的  最 小值 为  。   8 . 某人抛 掷 一枚硬 币 , 出现 正 面 向上 和反 面 向上 

直 线 交 AC 于 点 E, 过点 c  
且 垂 直 于 BC 的 直 线 交 直 线 

DE 于 点 F。 求 证 :FH 


图 2  

的概率都是寺。构造数列{ n   ) , 使 
f 1 , 第  次 正面 向上 ,   I 一1 , 第  次 反 面 向上 。  
记 S   =a   +a 2 + …+a   , 则 S 2 ≠ o且 S 8 — 2的 概 

FC 。  

四、 ( 本题 满分 1 5分 )  

如图 3 , 在直 角坐标系 x O y   中, 圆 0: z   +y 。 一4与 X轴 的正  半 轴交 于 点 A, 以 A 为 圆心 的 圆  A: ( z一2 ) 。 +y   一  ( r >0 ) 与 圆  0交 于 B、 C两点 。   ( I) 求  ?   的最 小值 ;  

y l   l  

率 为 

。( 用最简 分数 作答 )  
:5 。 4 。 , 则 

9 . 若 正 整 数  、   满 足  m! ?   的值 为  。  

图3  

中 学 数 学 教学 参 考 

w 


z ho ng s hu c a n. c o n  r

( Ⅱ) 设 P 是 圆 0 上 异 于 B、 C的任一 点 , 直 线  PB、 PC与 z轴 分 别 交 于 点 M 、 N, 求 s △ 删 ? s △ P 0 Ⅳ   的最大值 。  
五、 ( 本题 满 分 2 O分 )  

由c =   .   , 得2 a c = G(   z 一。 z ) 。   n 
解 得  一  , 即双 曲线 的离 心率 为√ 3 。  
答案 :   。   6 . 解: 由   +   :   知, 四边 形 O AC B 为平 行  四边形 。又 1   O A   l —l   O B   l 一1   O C1 , 所 以四边形 O AC B  

已知 函数 f(  ) 一x l n   z, g( z )一 一 z   +。 z一 
3, 口∈ R 。  

( I) 若 对 任 意 z∈ ( 0 , +。 。 ) , 不 等 式 f( . z ) ≥ 

_ 击 - g ( z ) 恒成立, 求 n的取值范围;  
( Ⅱ) 证 明: 对 任 意 z∈ ( 0 , +C X D ) , 有 i n   z> 
一  

为 菱 形 , R  ̄ O A C 一  0 B c 一 号 。 故   A C B 一 等 。  

答 案 : 警 。  
7 . 解: 因为 t a n   +t a n   B 一 1 所 以 


e  

ex 。  

六、 ( 本题 满分 2 O分 )  

设[ z ] 表示不 超过 实数  的最 大整 数 。 已知  一  

十   + 南 + . . . +   和  (  + [   +   ] ) 。  
k= l

, k = l ' 2 , … ’ 求  

t a n

导 = = c O t  一   n — —   一  n 一  兰    十   n  
 



_ 『 t 生 a n  ̄ - +   t a n   1 。  


参 考答 案 
第 一试 
填 空题 ( 每小 题 5分 , 共 5 0分 )  



 



( 丢 )  
上 式等 号成 立 。  



旦 

1 . 解: 因为 n为奇数 , b为偶 数 , 所 以集 合 c 中的  元 素都是 奇数 。又 a +b的最 小值 为 3 , 最 大值 为 1 9 ,   且 3与 1 9之 间的奇 数都 可 以取 到 , 所 以集 合 C 中的  元 素共 有 9个 。   答案 : 9 。   2 . 解: 因 为 对 任 意 z∈ R, 都 有 f( z) ≥0 , 所 以  
( f ( z   一1 。  

当且仅 当 t a n   A—t a n   B一   1时

故t a n   的最小值 为  。   答案 :   3
。 

答案 : 1 。  

3 . 解: 已知两式平 方相加 , 得 4+2√ 3 ( s i n   a?  
s i n   I 8 +C O S   O t C O S 卢 ) 一4 。所 以 c o s (  ̄ -p ) 一0 。   答案: 0 。   4 . 解: 如图 4 , 取 BC 的  中点 M , 联 结 AM 、 S M 。 因 

8 . 解: 由S   4 : 0知 , 前 两 次 都 是 正 面 向上 或 都 是  反 面 向上 。   当前 两次 都是 正 面 向上 时 , 由S s 一 2知 , 后 6次  中必有 3次 正面 向 上 、 3次 反 面 向上 , 其概率为 P   一  

( 丢 )   c   ( 专 )   一   5 。  
当前两 次都是 反 面 向上 时 , 由S s 一2知 , 后 6次  中必有 5 次 正面 向上 、 1次 反 面 向上 , 其 概率 为 P 。 一  

为 AB—AC, S B: = : S C, 所 以  A M上BC, S M上 B C。故 BC   j _ 平面 S AM , 则 B C上 S A。   所 以直线 S A与 B C 所 成 的 

( 专 )   c ; ( 丢 )   一 去。  
故 P( S 。 ≠ o且 s   一2 ) 一P   + P。 一   。  

角 为_ 芸 - 。   答案:   。  

图4  B  

答案 :   1 3
。 

9 . 解: 因为 

-( m+n ) ( m+7 l 一1 )… ??  

5 . 解: 因为 圆 M 与  轴 相切 于 双 曲线 的焦 点 F,  

所以f   MF   f —2 b _   点 M 到  轴 的距 离 为 f , 从而, 正 


所 以 { \   十 l   , .   ’ 解 得 ( f n 一 = 6 4 o ’  
故  ! ?   一1 4 4 。  

/ k MPQ的边 长为  , 边 P Q 上 的高为 c 。  

w ww . z h on g s h uc a n. C O I t /  

中 学 数 学 教学 参 考  
2 01 5 年 第 5期 ( 上 甸 )  

1 0 . 解: 由a   + 2 一口   +n   + 1 , 得a 7 —5 a 1 +8 a 2 , a 8 —  
8  l +1 3  2。  


= :: —
— — —

2 n+ 5
— — —
— —











 

2  

2 ?3  。  

由a 7 —1 2 0 , 得 5 n 1 +8 a 2 —1 2 0 。   因为 ( 5 , 8 ) 一1 , 且 a   、 a  均 为 正 整 数 , 所以8 l   a   ,   5 j a 2 。  

所 以  一 萼 一   等< 萼 。  
二、 解法 I : ( I) 因为 s i n   A+ s i n   B一 ( C O S   A+  

设 a 1 —8 k , d 2 —5 m, k 、 m∈N +, 则k +  一3 。  
又a 1 <n 2 , 所以k 一1 ,  = = = 2 , 从而 a 1 —8 , a 2 —1 0 。  

C O S   B) s i n   C, 所 以由正 弦 、 余 弦定理 , 得 

故 口 8 —8 a 1 +1 3 a 2 —1 9 4 。   答案 : 1 9 4 。  

a + 6 一b + c 2 - a 2   c z + a 2 - b 2 ) c ,  
化简 整理 , 得( 口 +6 ) ( a 。 +b   ) 一( 口 +6 ) c z 。  
因为 n +6 >0 , 所以n 。 +b   一C   。  

第 二 试 


故 △AB C为直 角三 角形 , 且  C一9 0 。  
( Ⅱ) 因为 a +b +C 一1 +, / 2, a   +b 。 一f  , 所以 1 + 



( I) 解法 1 : 设 等 比数 列 { a   ) 的公 比为 q , 则 


由a   +   =2 S   +  1
口 2 =2 n   +  1

得 
( q -2 ) 一  1
,  

√   一& +b + ̄ /  


≥2  ̄ /  +  ̄ /   一( 2 +   ).  

当且 仅 当 a =b时 , 上 式等 号成立 。  
。  

,  

所 以 

一 。  
从而 n   一妻。  
故 n   一   1? 3 一  。  

~ 一   一 丢 。  

消去 a   , 得 q   -3 q =0 , 解得 g —O ( 舍) , 或 g 一3 。  

故 S z x a B c —   1   专 × (   )   一   1 , I N   A A B c 面   积 的 最 大 值 为 丢 。  
解法2 : (工) 因为 s i n   A+ s i n   B一 ( c o s   A+ C O S   B)   n   c, 所 
A T- -B

c o s   i n   A + B 

= = :2 c o S   A+B






? 

解法 2 : 因为 n   +   一2 S   +去 (  ≥1 ) , 所以 &   一  

c。s 

A ?s i n ( A+ B) 即 2 s i n   A + B  T- - B一   c。s   丁

2 S   一   +÷( ” ≥2 ) 。两式相减, 得n   +   一。   一2 ( s   一  
S   一 1 ) 一2 a   , 且 口a   + 1 —3 a   ( 7 2 ≥2 ) 。  

2 c 。s   A + B ?2 s i n   A+B


因为
2 c 。s 2   A +B
—  




c。 s  

A+B


c。 s  

。 

因为 { n   ) 是 等 比数 列 , 所 以 对 任 意  ∈N+, 有 
a   +l   3 a  。  

s i n   A+ B ≠ 0,







B ≠ 0


所 以 



又 由已知 , a z 一2 口   +  1 所以 3 口   一2 n   +   1



1 , 即c 。 s ( A+B) 一0 。  

即  又0 。 < A+ B< 1 8 0 。 , 所 以 A+ B: = : 9 0 。 。  

1一  

1  

。  

故△ABC为直 角三 角形 , 且  C 一9 0 。 。   ( 1 I ) 因为 AAB C 为直 角 三 有 形 , 且 口 +6 +C 一1   +  为定值 , 所 以 当且 仅 当AABC为 等 腰 直 角 三 角  形时, 其 面积 最大 。  

故 n   : : =   1? 3 一  。  

( I I ) 解: 由题设得 口   +   一a   +(  +1 ) d   , 所 以÷ 


丝 ±   一— n + — l  
口   +l — nn   3   一  。  


此时, n —b 一   c , f   入口 +b +c 一1 +, / g , 得f  
1。  

所 以 ,   一 2 + 詈 +   + … +  ,   则 ÷ T   一 号 +   + . . 斗  +  ,   相 减 得 号   一 2 + ÷ + 去 + … +  一   ÷ ( 卜  )   ÷   n 十 3 ”   1  
2  .  
J 


从而 n 一6 一  , 故 △AB c面 积 的最 大 值 为  ×  

(   )   一 丢 。  
三、 证 明: 如图 5 , 延长 C F、  

HE交 于点 G, 联结 AH 交 DE 于  点 M。   因为 DH 上 BH, AC_ l _ BH,  

所 以 DH/ / AC。  

中 学 数 学 教 学 参 考  
2 01 5 5 F - - 第 5期 ( 上 甸 )  

锄W W W . z h o n g s h u c a n . C O i ' / 1  

同理 , EH/ / AB。  
所 以四边形 A DHE为 平行 四边形 。  

因 为厂   ( x ) - l n   x + l , 所 以厂 ( z ) 在 ( o ,   1 ) 上 单  

则 M 为 AH 的 中点 。   因为 G C 上B C, AH上B C, 所 以 GC / / AH ,  
所 以 △ CEGc  ̄△ AEH 。  

调 递 减 , 在 (  , + 。 。 ) 上 单 调 递 增 。  

又 M 为 AH 的 中点 , 所 以 F为 C G 的 中点 。  
1  

所 以 , 当 z > 0 时 , 厂 (   ) ≥ 厂 ( { ) 一 一   1 。   ①  
令   ( z ) 一 言 一 i 2 , z > o , 则  ( z ) 一   。  

因此 , 在R t △GHC中 , 有F H 一÷GC =F C。  
厶 

四、 解: (I)由 对 称 性 , 设 B( z 。 , Y 。 ) , C( z 。 ,  
一  



) , 贝 0  : +  : 一4 。  
所 以  ?   一(  。 -2 )  一  一 ( z。 一2 )  一 ( 4 一 

所以,  ( z ) 在( O , 1 ) A s 单调递 增 , 在( 1 , +。 。 ) 上 单  调 递减 。   故  ( z ) ≤ ( 1 ) : = = 一   1
。 

② 

) 一2 (  o 一1 )  一 2 。  

显然 , 不等 式① 、 ② 中的等 号不能 同 时成立 。   ?   取 

因为 一2 <z 。 <2 , 所以当 X 0 —1时 ,  
得 最小 值为 一2 。  

故 当x > 0 时 , 厂 ( z ) >   ( z ) , 即I n   z >   1 一 盖 o 。  
六、 解: 先证 明 : 对任 意 z∈R, 有 

( Ⅱ) 设 P( z   , Y 。 ) (   ≠ ±Y 。 ) , 则 z ; - 4 - y } = = = 4 , 直  线 P B、 P C的方程 分别 为 
PB :   — r
Yo -
一  

Yl


( X- - X1 ),  

z。

[ z ] + 卜 + 丢 ] _ [ 2 z ] 。   ③   当 0 ≤ z 一 [   ] < 丢 时 , 『 z +   1 ] = = = [ z ] , [ 2 z ] 一  
2 [ z ] , 贝 0 [ z ] +l   z +寺 I 一2 [   ] 一[ 2 z ] 。  
【   l  

PC.  

一 

( x- - x ̄ ) 。  

分 别 令  — o ,得 z M 一 旦 
所 以 

, z N一  



Yo’ 一 Y1  
… 一



[ z + 专 ] 一 [   ] q - 1 , [ 2 z ]   2 [ z ] + 1 , 则 [ z ] + 卜 + 丢 ] 一 2 [ z ] - t - 1 - [ 2 z ] 。  


当  1≤z一[ z ] < 1时

 

一 

综上 , 对 任 意 z∈R, ③式都 成立 。   再证明: 对任 意 k ∈N+, 有 
<n   <  2
。 

一 4。  

于是 , s △ mM ? s △   一  1   I   O M I ?I   ON  I ?   一  1   l   z M- z  I ?  2 -  } 。   ’  

④ 

易知 , 。  的表 达式 共 有 2 k + 1项 , 将 其 按前 k项 
和后 k +1项分 成两部 分 和 :  
ak   口 


因为 一2 ≤Y   ≤2 , 所以, 当Y   一2或 Y   一 一2时 ,   S △ 删 ?S △ 刚 取得 最大值 为 4 。   五、 解: ( I) 当z >O时 , 不 等式 厂 ( z ) ≥  1   g ( z ) 即 

+a k 2 。  

其 
一  

+ 

+. . 斗 

,  

z 一— k  ̄ q — - k +  十 



+. 十… . 斗 十   
k 1

_ = 二  。  
1  
,  
一  

为 l n   ≥ 丢 ( - X 2 + a x - 3 ) , 亦 即 n ≤ 2 l n   z + z + 导 。  
令  (   )一 2 1 n   z+ z - 4 -3 ( z> 0) 贝 0   n  


因为  1  一是?  
(   )?  
<一  

< a ≤ 愚?  1一  1

<a k z <( kq -1 )?  
。 <  。  

一  , 所 以 

≤[  ( z ) ] …。  
因为  ( z) 一  , z> o , 所 以, 函 数 

^ ( z ) 在( O , 1 ) 上单 调递减 , 在( 1 , +C × 3 ) 上 单调 递增 。   所 以[ ^ ( z ) ]   i   一九 ( 1 ) 一4 , 则n ≤4 。   故 n的取 值范 围为 ( 一。 。 , 4 ] 。  

故 对任 意 志 ∈N+, ④ 式都 成立 。  
由④式 , 得 k <- 2 - <k A - 4 - 1

由 ④ 式 , 得  口  

, 则 『 l L  ] 盖 口 ^   J 一 忌 。  


( Ⅱ ) 要 证1 n   z > {一 e  e . 兰 x _   , 只 须 证z 1 n   z >  一 e  _ 兰 e _   ,  

即 只 须 证 厂 (   ) > 孝 一   2 , z > 0 。  

又 由 ③ 式 , 得 [   ] + [   + 丢 ] 一 [   ] 一 忌 。   故∑  ( [   ] + [ 去 + 丢 ] ) 一   (   2 +   1 )   。  
k一 1  


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