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高中数学必修1函数试卷


高中数学必修 1 函数试卷
一.选择题(共 12 小题) 1.已知 f(x )=lgx,则 f(2)=(
5

)A.lg2 B.lg32 C.
lgx

D. )

2.下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10 A.y=x B.y=lgx C.y=2 D.y=
x

>
的定义域和值域相同的是(

3.若 a>b>0,0<c<1,则( ) A.logac<logbc B.logca<logcb C.a <b 2 4.函数 f(x)=log0.5(x ﹣2x﹣3)的单调递增区间是( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣∞,1) C. (1,+∞) D. (3,+∞)
﹣1

c.

c

D.c >c

a

b

5.若 x∈(e ,1) ,a=lnx,b=(0.5)lnx,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为( A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c
x

lnx



6.若函数 f(x)=2 +b﹣1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有( ) A.b≥1 B.b≤1 C.b≥0 D.b≤0 x 7.已知函数 f(x)=a ,其中 a>0,且 a≠1,如果以 P(x1,f(x1) ) ,Q(x2,f(x2) )为端点的线 2 段的中点在 y 轴上,那么 f(x1)?f(x2)等于( )A.1 B.a C.2 D .a 8.设全集 U=R,集合 A={x| A.[﹣1,3) B. (0,2] },B={x|1<2 <8},则(CUA)∩B 等于( C. (1,2]
x

x



D. (2,3)
2

9.已知全集 U=R,集合 A={x|(0.5) ≤1,B={x|x ﹣6x+8≤0}, 则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0<x≤2 或 x≥4} D.{x|0≤x<2 或 x>4} 10.函数 f(x)= 11.已知函数 A.﹣2 B.﹣1 C.0 12.f(x)= D.2 则 f[f( )]=( )A.﹣2 B.﹣3 C.9
b a

的定义域是(

)A.[0,+∞)B.[1,+∞)C. (﹣∞,0] D. (﹣∞,1] )

,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b﹣2)=0,则 a+b=(

D.

二.填空题(共 4 小题)13.已知 a>b>1,若 logab+logba= ,a =b ,则 a=______,b=______. 14.函数 y=2 +log2x 在区间[1,4]上的最大值是______. |x﹣a| 15.若函数 f(x)=2 (a∈R)满足 f(2+x)=f(2﹣x) ,且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实 数 m 的最小值为______. 16.若函数 f(x)=2 |(a∈R)满足 f(1﹣x)=f(1+x),f(x)在区间[m,n]上的最大值记为 f(x)max,最小值记 为 f(x)min,若 f(x)max﹣f(x)min=3,则 n﹣m 的取值范围是______. 三.解答题(共 7 小题)17.已知 a>0,b>0,记 A= + ,B=a+b. (1)求 A﹣B 的最大值; (2)若 ab=4,是否存在 a,b,使得 A+B=6?并说明理由.
|x+a x

18.已知实数 x 满足 3

2x﹣4



+9≤0 且 f(x)=log2
第 1 页(共 5 页)



(1)求实数 x 的取值范围; (2)求 f(x)的最大值和最小值,并求此时 x 的值.

19. (1)已知 0<x1<x2,求证:



(2)已知 f(x)=lg(x+1)﹣ log3x,求证:f(x)在定义域内是单调递减函数; (3)在(2)的条件下,求集合 M={n|f(n ﹣214n﹣1998)≥0,n∈Z}的子集个数.
2

20.已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣a) . (Ⅰ)当 a=7 时,求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R,求实数 a 的最大值.

21.已知函数 f(x)=ln(e +a+1) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数. (1)求实数 a 的值; (2)若 关于 x 的方程 有且只有一个实数根,求 m 的值.

x

22.已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m) . (1)当 m=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围.

23.已知指数函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)过点(﹣2,9) (1)求函数 f(x)的解析式(2)若 f(2m﹣1)﹣f(m+3)<0,求实数 m 的取值范围.

x

第 2 页(共 5 页)

参考答案与试题解析一.选择题(共 12 小题) 1 解:令 x5=2,∴得 x=20.2,∵f(x5)=lgx,∴f(2)=lg20.2=0.2lg2.故选 D. 2.解:函数 y=10lgx 的定义域和值域均为(0,+∞) ,函数 y=x 的定义域和值域均为 R,不满足要求;函数 y=lgx 的定 义域为(0,+∞) ,值域为 R,不满足要求;函数 y=2x 的定义域为 R,值域为 R(0,+∞) ,不满足要求;函数 y= 的定义域和值域均为(0,+∞) ,满足要求;故选:D 3.解:∵a>b>0,0<c<1,∴logca<logcb<0,故 B 正确;∴0>logac>logbc,故 A 错误;ac>bc,故 C 错误; ca<cb,故 D 错误;故选:B 4.解:由 x2﹣2x﹣3>0 得 x<﹣1 或 x>3,当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)=x2﹣2x﹣3 单调递减,而 0< <1,由

复合函数单调性可知 y=log0.5(x2﹣2x﹣3)在(﹣∞,﹣1)上是单调递增的,在(3,+∞)上是单调递减的.故选 A. 5.解:∵x∈(e 1,1) ,a=lnx∴a∈(﹣1,0) ,即 a<0;又 y=


为减函数,

∴b=



=

=1,即 b>1;又 c=elnx=x∈(e 1,1) ,∴b>c>a.故选 B.


6.解:因为 y=2x,当 x<0 时,y∈(0,1) .所以,函数 f(x)=2x+b﹣1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有 b﹣ 1≤﹣1,解得 b≤0.故选:D. 7.解:∵以 P(x1,f(x1) ) ,Q(x2,f(x2) )为端点的线段的中点在 y 轴上, ∴x1+x2=0,又∵f(x)=ax,∴f(x1)?f(x2)=ax1?ax2=ax1+x2=a0=1,故选:A. 8.解:因为集合 A={x| }=(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞) ,B={x|1<2x<8}=(0,3) ,

又全集 U=R,∴CUA=(﹣1,2],∴(CUA)∩B=(0,2],故选 B. 9.解由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为 A∩(CUB),∵ ={x|x≥0},B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x

≤4},∴CUB={x|x>4 或 x<2},即 A∩(CUB)={x|0≤x<2 或 x>4},故选:D. 10.解:使函数有意义,则需 2x﹣1≥0,即为 2x≥1,解得 x≥0,则定义域为[0,+∞) .故选 A. 11.解:f(x)+f(﹣x)=ln(x+ )+ln(﹣x+ )=0 ) 的导数为 f′ (x) = ? (1+ )

∵f (a) +f (b﹣2) =0, 即为 f (a) =f (2﹣b) , 由f (x) =ln (x+ >0,可得 f(x)单调递增,则 a=2﹣b,∴a+b=2 故选 D. 12.解:∵f(x)= ,∴ =

=-2.∴f[f( )]=f(﹣2)=

=9.故选:C.

二.填空题(共 4 小题)13.解设 t=logba,由 a>b>1 知 t>1,代入 logab+logba= 解得 t=2 或 t=



,即 2t2﹣5t+2=0,

舍去,所以 logba=2,a=b2,因为 ab=ba,所以 b2b=ba,则 a=2b=b2,解得 b=2,a=4,答案为 4;2.

14.解:∵y=2x 和 y=log2x 在区间[1,4]上都是增函数,∴y=2x+log2x 在区间[1,4]上为增函数,即当 x=4 时,函数 y=2x+log2x 在区间[1,4]上取得最大值 y=y=24+log24=16+2=18,答案 18 15.解:∵f(x)=2|x a|;∴f(x)关于 x=a 对称;又 f(2+x)=f(2﹣x) ;


∴f(x)关于 x=2 对称;∴a=2;∴f(x)=

;∴f(x)的单调递增区间为[2,+∞) ;

又 f(x)在[m,+∞)上单调递增;∴实数 m 的最小值为 2.故答案为:2 16.解:∵函数 f(x)=2|x+a|(a∈R)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,∴f(x)的图象关于 x=1 对称, 第 3 页(共 5 页)

∴a=﹣1,∴f(x)=2|x 1|;当 m<n≤1 或 1≤m<n 时,离对称轴越远,m、n 差越小,极限值是 0;


当 m<1<n 时,函数 f(x)在区间[m,n]上的最大值与最小值的差为:f(x)max﹣f(x)min=2| 2|﹣20=3,则 n﹣m 取
±

得最大值是 2﹣(﹣2)=4;∴n﹣m 的取值范围是(0,4].故答案为: (0,4]. 三.解答题(共 7 小题)17 解: (1) a=b= >0, 时取等号.∴ =y>0,化为 A﹣B= + -a-b=﹣ +1≤1,当且仅当 ,令 =x

A﹣B 的最大值是 1.(2)假设存在 a,b,使得 A+B=6,则

,令 x+y=t>0,化为 t2+t﹣10=0,∵△=1+40=41>0,且 t1t2=﹣10<0.∴上

述方程有正实根,存在 a,b,使得 A+B=6,ab=4 同时成立. 18.解: (1)由 2≤x≤4(2)因为 ,得 32x 4﹣10?3x 2+9≤0,即(3x 2﹣1) (3x 2﹣9)≤0,∴1≤3x 2≤9,
﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣

=





,即

时, ,

当 log2x=1 或 log2x=2,即 x=2 或 x=4 时,ymax=0. ,只需证:x2(x1+1)>x1(x2+1) ,即证:x1x2+x2>x1x2+x1, . (2)解:f(x)的定义域为(0,+∞) .设 0<x1<x2,则 f(x1)

19. (1)证明:∵x2+1>0,x2>0,欲证: 只需证:x2>x1,显然 x2>x1 成立,∴

﹣f(x2)=lg(x1+1)﹣lg(x2+1)+0.5log3x2﹣ ∴0< >log < <1,∴lg ﹣log >log

log3x1=lg >log

+

log3

=lg

﹣log

.∵0<x1<x2, ﹣log

,∴f(x1)﹣f(x2)=lg

=0.∴f(x1)>f(x2) ,∴f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数.

(3)解:由(2)知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且 f(9)=0,∵f(n2﹣214n﹣1998)≥0, ∴0<n2﹣214n﹣1998≤9.∴13447<(n﹣107)2≤13456.∵115< <116, =116,n∈Z, ∴n﹣107=116 或 n﹣107=﹣116.∴集合 M 有两个元素.∴集合 M 有 4 个子集. 20.解: (Ⅰ)由题设知:|x+1|+|x﹣2|>7;①当 x>2 时,得 x+1+x﹣2>7,解得 x>4; ②当 1≤x≤2 时,得 x+1+2-x>7 无解;③当 x<-1 时,得-x-1﹣x+2>7,解得 x<-3; ∴函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞); (Ⅱ)解:不等式 f(x)≥3,即|x+1|+|x﹣2|≥a+8;∵x∈R 时,恒有 |x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)-(x-2)|=3;又不等式|x+1|+|x-2|≥a+8 解集是 R;∴a+8≤3,即 a≤-5;∴a 的最大值为-5. 21.解: (1)函数 f(x)=ln(ex+a+1) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,故 f(0)=ln(2+a)=0,∴a=﹣1,函数 f(x)=ln(ex)=x. (2)由(1)知,关于 x 的方程 f2(x)=x2-2ex+m,∵ <0,函数 f1(x)= ,即 =x2﹣2ex+m.令 f1(x)= 为增函数;当 x>e 时, ,

=

,故当 x∈(0,e]时,

≥0,函数 f1(x)=

为减函数,故当 x=e 时,f1(x)=

取得最大值为 .对于函数 f2(x)=x2﹣2ex+m,在

(0,e]上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,故当 x=e 时,函数 f2(x)=x2﹣2ex+m 取得最小值为 m﹣e2.要使关 于 x 的方程 程 有且只有一个实数根,只有 有且只有一个实数根. =m﹣e2,求得 m=e2+ ,即当 m=e2+ 时,关于 x 的方

第 4 页(共 5 页)

22.解: (1)由题设知:当 m=7 时:|x+1|+|x﹣2|>7,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:





,或

,解得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞); (2)不等式 f(x)≥2

即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,∵x∈R 时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4 解 集是 R,等价于 m+4≤3,∴m 的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 23.解: (1)将点(﹣2,9)代入到 f(x)=ax 得 a 2=9,解得 a=


,∴f(x)=

(2)∵f(2m﹣1)﹣f(m+3)<0,

∴f(2m﹣1)<f(m+3),∵f(x)=

为减函数,∴2m﹣1>m+3,解得 m>4,∴实数 m 的取值范围为(4,+∞).

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