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最新正弦函数的图像和性质.ppt


1.3.1正弦函数的图像和性质

学习目标
? 1.理解并掌握正弦函数 的图像和性质。 ? 2培养作图能力及数形 结合的数学思想。

创设情景

兴趣导入

观察钟表,如果当前的时
间是2点,那么时针走过12 个小时后,显示的时间是

多少呢?再经过12个小


后,显示的时间是多少呢?

观察

每间隔12小时,当前时间2点重复出现.
相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象,如“ 24 类似这样的周期现象还有哪些? 小时1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我们 所熟悉的周期现象。自然界中有很多周期现象,如日

出日落、月圆月缺、四季交替,等等。

动脑思考

探索新知



对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,
当x取定义域D内的每一个值时,都有x+T∈D, 并且等式f(x+T)=f(x)成立,那么,函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期.

角 函 数

正弦函数y=sinx是否是周期函数?

动脑思考

探索新知

sin(? ? 2kπ)=sin? (k ? Z), 对于正弦函数有:

正弦函数是周期函数. 周期有:2 π, 4π, 6π, … 和 -2π, -4π,-6π, … 周期中最小的正数叫做最小正周期 今后研究的函数的周期,都是指最小正周期.

正弦函数的周期是

2 π.

一.自主学习 1.先做一个周期上的图像 (多选原点附近的这一个周 期) 2.在利用周期性将图像拓展 到整个定义域上

动脑思考

探索新知

用“描点法”作函数 y ? sin x 在 ?0,2?? 上的图像
1.列表 2.描点

3.联结各点
π 6
0.5

x
y ? sin x

0 0

π 3
0.87

π 2

2π 3
0.87

5π 6

π
0

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6



1

0.5

-0.5

?0.87

?1

?0.87

?0.5

0

计算器

1.正弦函数的图像和性质

·· · · 76? 43? 32? 53? 116? 2? · · · · · 2? 5? ? o ? ? ? x 6 3 3 6 ·· ·· 2 · -1 y ? sin x, x ? R y ?sin x, x ?[0,2?]
1

y

y ? sin x,

x ?[0,2? ]

·

·
3? 2

·

y

? 2?
? 4? ? 3?
3? - ? 2

-? 2

正弦曲线

o

? ?

2?

3?

4?
x

2.五点法作图
y
1 O -1
π 2

最高点

y ? sin x, x ? ? 0, 2π ? 终点

拐点

π

3π 2



x

起点 最低点 五个关键点:
?π ? (0, 0), ? ,1? , ?2 ? ? 3π ? , ?1 ? , ? 2π,0 ?. ? π,0? , ? ? 2 ?

3.正弦函数的性质
? 2?

y 1
?
2

y ?1

??

?

?
2

O

?1

?

3? 2

2?

3?

4?
y ? ?1

x

正弦函数y=sinx的性质: (1)定义域

实数集R
? ? 2k? 1 ymax ? _____ 当x=________________ 时, 2 ? ? ? 2k? ? 1 值域是: ?? 1, 1? ymin ? _____ 2 当x=________________ 时,

(2)值域

(3)周期性

T ? 2?

原点 对称 奇 函数,图象关于_______ ( 4 ) 奇偶性 是______

(5) 正弦函数 y=sin x(x∈R) 的单调性

y1
?4?
? 7? 2
?3?

?2?

??
? 3? 2 ?

?

5? 2

? 2

0
-1

?
? 2
3? 2

2?

3?

4?

5? 2

7? 2

x

? 2k?, ? 2k? ] 2 2 ? 3? y ? sin x的减区间: [ ? 2k?, ? 2k? ] 2 2 y ? sin x的增区间: [?

?

?

(k ? Z) (k ? Z)

(6)对称性:对称轴 x ?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心( k? ,0)k ? Z

五:性质归纳
正弦函数的性质 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 R [-1,1] 奇函数 2π

返回

? ?? ? 在x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 上是增函数; 2 2? ? ? 3? ? ? 在x ? ?2k? ? , 2k? ? ? 上是减函数; 2 2? ?

最值

2 3? 当x ? 2k? ? 时,ymin ? ?1 2

当x ? 2k? ?

?

时,ymax ? 1

巩固知识 典型例题



例 1 利用“五点法”作函数 y ? 1 ? sin x 在 ?0,2π? 上的图像

角 函 数

x
sin x
y ? 1 ? sin x

0
0 1
y 2 1? O

π 2
1 2

π
0 1

3π 2
-1 0


0 1

?

y ? 1 ? sin x, x ? ? 0, 2π ?

?
π 2

?
3π 2

π

?

2π x

巩固知识 典型例题



例 1 利用“五点法”作函数 y ? - sin x 在 ?0, 2π? 上的图像

角 函 数

x
sin x
y ? ? sin x

0
0 0
y 2 1 O
?

π 2
1 -1

π
0 0

3π 2
-1 1


0 0

?
π 2

y ? ? sin x
? 2π x

π

?

?

3π 2

y ? sinx

巩固知识 典型例题



例 1 利用“五点法”作函数 y ? sinx 在 ?0, 2π? 上的图像

角 函 数

x
sin x
y ? sin x

0
0 0
y 2 1 O
?

π 2
1 1

π
0 0

3π 2
-1 1


0 0

?
π 2

?

y ? ? sin x
? 2π x

π

?

3π 2

例2 求下列函数的最大值与最小值,并求出使下列函数



取得最大值和最小值的x取值范围,

角 函 数

( 1 )y ? 2 sin x ? 3, x ? R
解:当 sin x取最大值时 1,y取最大值 - 1,此时 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z ; ? 2k? , k ? Z ;

当 sin x取最小值时 - 1,y取最小值 - 5,此时 x ? -

?
2


解:当 2 x ?

(2)y ? sin 2 x
?
2 ? 2k? ,即x ?

?
4

? k? , k ? Z时, y取最大值 1.

角 函 数

? ? 当2 x ? ? ? 2k? ,即x ? ? ? k? , k ? Z时, y取最小值 - 1. 2 4

例3.求下列函数的周期

T ?

2?

?

1 ? ( x? ) ( 1)y ? sin 3x (2)y ? sin 2 6
2? T ? 3
2? T ? ? 4? 1 2

例4 求函数 y ? sin 2 x ? 1 的单调区间
解 :    ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 2 2      ? ? k? ? x ? ? k? , 4 4 ?函数单调增区间为( -

?

?

?

?

?

4

? k? ,

?
4

? k? ),k ? Z

3? ?函数单调减区间为( ? k? , ? k? ),k ? Z 4 4

3?     ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 2 2 ? 3?      ? k? ? x ? ? k? , 4 4

?

?

三.巩固提高
2? (1 )函数 y ? sin(?x ? )(? ? 0)的最小正周期是 ,则 ? ? 4 3

?

3

2? T ? ? ? 3

2?

1 (2)求函数 y ? sin x - 3的单调增区间 (- ? 2

? 4k? , ? ? 4k? ), k ? Z

2 (3)求函数y ? (sin x ? 1 ) ? 2, x ? R的最小值 2

最大值 6

(4)求函数 y ? sin( x ?

?
4

? )的单调减区间 (

5? ? 2k? , ? 2k? ), k ? Z 4 4

? ? (5)比较大小sin(- )      sin(? ) 18 10 >

7? 7? sin       sin > 6 5

七:感受高考
?
?

1 :(2007年全国Ⅱ卷)函数y=

? A

(?

? ?

, ) 4 4

B ( ? , 3? )
4 4

sin x 的一个单调增区间( ) C (? , 3? ) D 3? ( ,2? ) 2
2

2:(2006年江苏)已知 a ?R ,函数f(x)=sinx- a , x ? R 为奇函数,则a等于 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D-1和1

小结:1:正弦曲线的做法
2:y=sinx的性质

作业:课本28页 习题1—5 : 4,5


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