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辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二(新疆班)下学期期末考试数学


辽宁省实验中学分校 2013-2014 学年高二(新疆班)下学期期末考试 数学试题
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分

卷I
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题四个选项中只有一项是符合 题目要求的) 1.

3 等于( i
A. -3i

)

3 B.- i 2 C. i D.-i

2.用数学归纳法证明 1+ a + a 2 +?+ a n ?1 =时,左边的项是( A.1 C.1+ a + a 2 )

1 ? a n?2 * ( a ≠1,n∈N ),在验证 n=1 成立 1? a

B.1+ a D.1+ a + a 2 + a 4

3 在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中,根据计算结果,认为这两件事情无关的可能 性不足 1%,那么 K 的一个可能取值为( A.6.635 C.7.897
2

)

B.5.024 D.3.841

4 在极坐标系中,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系,点 M(2, 的直角坐标是( ) C. (1, 3 ) D. (1,2)

? ) 6

A. (2,1) B. ( 3 ,1)

5.在一个投掷硬币的游戏中,把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第 二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于( A. 1 2 1 B. 4 C. 1 6 ) ) 1 D. 8

6.如图,阴影部分的面积是(

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A.2 3

B.2- 3

32 C. 3

35 D. 3

7 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼-15 飞机准备着舰. 如 果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.48 种 )项 D.7 )

8. (3 x ? )8 (n∈N+)的展开式中含有常数项为第( A.4 B.5
*

1 x

C.6

9. 口袋中有 n(n∈N )个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继续 7 取球, 且取出的红球不放回; 如果取到白球, 就停止取球. 记取球的次数为 X.若 P(X=2)= , 30 则 n 的值为( A.5 ) B.6 C.7 D.8

10 有四辆不同特警车准备进驻四个编号为 1,2,3,4 的人群聚集地,其中有一个地方没有特 警车的方法共________种. A.144 B.182 C.106 D.170 )

11 直线的参数方程为 ? A. 400 C. 1400

? x ? t sin 500 ? 1 ? (t 为参数),则直线的倾斜角为( 0 y ? ? t cos 50 ? ?
B. 500 D. 1300 )

12. 已知函数 f ( x) = x ? 2 x ,则下列结论正确的是( 1 A.当 x= 时 f ( x) 取最大值 ln2 1 C.当 x=- 时 f ( x) 取最大值 ln2

1 B.当 x= 时 f ( x) 取最小值 ln2 1 D.当 x=- 时 f ( x) 取最小值 ln2

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卷 II
二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值的概率 为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为________. 14 复数 z 满足方程 z ? (?1 ? i ) = 4 ,那么复数 z 在复平面内对应的点 P 的轨迹方程 ____________ 15 下列五个命题 ①任何两个变量都具有相关关系 ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系 ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系 ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的 ⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线,把非确定性问题转化为确定性问题进行研究 正确命题的序号为____________. 16 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10· · · ,第 n 个 三角形数为
2

n(n ? 1) 1 2 1 记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)( k ? 3 ),以下列出了部分 k 边 ? n ? n。 2 2 2 1 2 1 n ? n 2 2

形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 N(n,3)=

N(n,4)= n 2 N(n,5)=

3 2 1 n ? n 2 2

N(n,6)= 2n 2 ? n

可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= ____________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程演算步骤) 17 (本小题满分 10 分)如果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i (m∈R)的共轭复数 z 对 应的点在第一象限,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题 12 分)打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病有关.下表是一次调查 所得的数据,(1)将本题的 2*2 联表格补充完整。 (2)用提示的公式计算,每一晚都打鼾与患心脏病有关吗? 提示: K ?
2

n(n11n22 ? n 12 n21 ) 2 n1? n2? n?1n?2
患心脏病 未患心脏病 合计

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每一晚都打鼾 不打鼾 合计

3 2 c=

17 128 d=

a= b= n=

19(本小题 12 分)给出四个等式:

1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3

1-4+9-16=-(1+2+3+4) ?? (1)写出第 5,6 个等式,并猜测第 n(n∈N )个等式 (2)用数学归纳法证明你猜测的等式. 20(本小题 12 分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家 按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1 件是合格品的概率; (2)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格.按合同规定该商家从中任取 2 件进 行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品 数 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ ),并求该商家拒收这批产品的概率. 21(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b 的图象上一点 P(1,0),且在 P 点处的切线
3 2
*

与直线 3 x ? y ? 0 平行. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值; (3)在(1)的结论下,关于 x 的方程 f ( x) ? c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数

c 的取值范围
22(本小题 12 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴 建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程为 ?

? ?x ? 1? t (t 为参数) ? ? y ? 2 ? 3t

(1)写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程;

? x' ? x ? ' (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? ' 1 得到曲线 C ,设 ?y ? y ? 2
x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标

M(x,y) 为 C 上 任 意 一 点 , 求

'

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2013--2014 学年度下学期期末考试
高二数学答案

18 解析] 根据表中数据,得到 a=20 b=130 c=5 d=145
2

[

n=150------------------------------------------4 分

(3 ?128 ? 17 ? 2) 2 ?150 K ? ? 9.8 --------------------------------------10 分 20 ?130 ? 5 ?145
∵9.8>6.635,∴有 99%的把握说“每一晚都打鼾与患心脏病有关”.--------12 分

则当 n=k+1 时, 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2

k-1 2

k +(-1)k(k+1)2

第 -5- 页 共 7 页

=(-1)

k-1

·

k(k+1)
2

+(-1) (k+1)

k

2

=(-1) (k+1)·?(k+1)- ? 2? ?
k

?

k?

(k+1)[(k+1)+1] k =(-1) · . 2 ∴当 n=k+1 时,等式也成立 根据(1)、(2)可知,对于任何 n∈N 等式均成立.--------------------------12 分 20 (1)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A,有
*

P(A)=1-P( A )=1-0.24=0.9984.-------------------------------------4 分
(2)ξ 可能的取值为 0、1、2.

P(ξ =0)= 2 = ;
C3C17 51 P(ξ =1)= 2 = ; C20 190
1 1

C17 68 C20 95

2

P(ξ =2)= 2 =

C3 C20

2

3 .---------------------------------------------------8 分 190 ξ 0 68 95 1 51 190 2 3 190

P E(ξ )=0× +1×
68 95

51 3 3 +2× = .------------------------------------10 分 190 190 10

记“商家任取 2 件产品检验都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率 P=1-P(B) 27 =1-P(ξ =0)= . 95 27 所以商家拒收这批产品的概率为 .---------------------------------------12 分 95 21 (1)因为 f′(x)=3x +2ax,曲线在 P(1,0)处的切线斜率为 f′(1)=3+2a,即 3+
2

2a=-3,所以 a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,所以 b=2. 所以 f(x)=x -3x +2.---------------------------------------------------2 分 (2)由 f(x)=x -3x +2,f′(x)=3x -6x. 由 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. ①当 0<t≤2 时,在区间(0,t)上 f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数, 所以 f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t -3t +2.---------------------------4 分 ②当 2<t<3 时,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况见下表:
3 2 3 2 2 3 2

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x f′(x) f(x)

0 0 2

(0,2) -

2 0 -2

(2,t) +

t


t3-3t2+2

--------------------------------------------------------------------6 分

22 (1)圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ---------------------------------------2 分
2 2

直线 L 方程为 3 x ? y ? 3 ? 2 ? 0 -------------------------------4 分

? x' ? x x2 ? 2 2 (2)由 ? ' 1 和 x ? y ? 4 得 C ' ? y 2 ? 1 -----------------------6 分 4 ?y ? y ? 2
设点 M 为 ?

? x ? 2 cos ? ? 则 x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 3 ? 2 cos(2? ? ) -------------10 分 3 ? y ? sin ?
3 )或 M(-1,2 3 )时,原式的最小值为 1------------------12 分 2

所以当 M(1,

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