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分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)


分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
(第一课时)

( )班级的某小组中有男生 7 人,女生 5 人,现要 ( 14 )如图所示,从 B 村到 A 村 A 从男生或女生中选出一个组长,总共有多少种不同 有 2 条路,从 B 村到 C 村有 3 的选法? 条路 .从 B 村到 A 村或 C 村,总 B (5) 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给

教 共有多少种不同的走法? 室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号 ( 2)如图所示,从 A 村到 B 村 C 码? 有 2 条路,从 B 村到 C 村有 3 (6)用前 6 个大写英文字母和 1~9 九个阿拉伯数 条路 .从 A 村经 B 村到 C 村,总共有多少种不同的
走法? 字, 以A 1, A 2 ,..., B 1 , B2 ,.... 的方式给教室里的座位编 (3)从 5 幅不同的油画,2 幅不同的国画中各选一 号,总共能够编出多少种不同的号码? 幅布置房间,有几种不同的选法?

问题2 (自主探究)尝试完成下列计数问题,并 从数学的角度对这些问题进行分类,试说明分 类的依据.

分类加法计数原理 完成一件事有两类不 同方案,在第1类方案中有m种不同的方法, 在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这 件事共有N=m+n种不同的方法.
(1)如图所示,从 B 村到 A 村有 2 条路, A 从 B 村到 C 村有 3 条路.从 B 村到 A 村或 C B 村,总共有多少种不同的走法? (4)班级的某小组中有男生 7 人,女生 5 C 人,现要从男生或女生中选出一个组长,总 共有多少种不同的选法? (5)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的 座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?

分类加法计数原理 完成一件事有两类不 同方案,在第1类方案中有m种不同的方法, 在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这 件事共有N=m+n种不同的方法.

分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步 骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n 种不同的方法.

例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情 况如下: A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? 解:这名同学可以任取一个专业,在A、B两所大学中只能 分析:(1)明确目标:要完成一件什么事情? 选择一所,在 A大学中有5种专业选择方法,在B大学中有4 种专业选择方法 .又由于没有一个强项专业是两所大学共有的, (2)如何完成?分类 因此根据分类计数原理:这名同学可能的专业选择共有5+4 =9种 (3)如何列式?加法

例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情 况如下: A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? 思考 若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、 人力资源学.那么,他共有多少种选择呢?

注意:类别增加,且专业各不相同.

完成一件事情有 n 类不同方案,在第 1 类 方案中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类方案中有 ?, 在第 n 类方案中有 mn 种 m2 种不同的方法, 不同的方法.那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ??? ? mn
种不同的方法.

——分类加法计数原理的一般形式

问题3 某班级组织了三个研究性学习小组, 已知数理组20人,科技组15人,人文组12人, 现从班级中选出一人担任班长,你认为总共 有多少种不同的选法?请各抒己见.

分类的要求——“不重不漏”

例2 要从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出 2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法?
解:从4幅画中选出2幅挂在左、右两边墙上,可以分两 个步骤完成:第1步,从4幅画中选1幅挂在左边墙上, 有4种选法;第2步,从剩下的3幅画中选1幅挂在右边墙 上,有3种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种 数是 N=4×3=12 左边墙 右边墙

4种

3种

12种挂法可以表示如下: 左边 得到的挂法 右边
甲 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 左甲右乙 左甲右丙 左甲右丁 左乙右甲 左乙右丙 左乙右丁 左丙右甲 左丙右乙





左丙右丁
左丁右甲 左丁右乙 左丁右丙



甲 乙 丙

例2 要从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出 2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法?
思考 若还需要再选1幅画挂在在前面墙上的 指定位置,共有多少种不同的挂法?
左边墙 右边墙 前面墙

4种

3种

2种

N=4 × 3 × 2=24

左边

右边


前边
丙 丁

得到的挂法
左甲右乙前丙 左甲右乙前丁 左甲右丙前乙


甲 丙 丁

左甲右丙前丁
左甲右丁前乙


丁 丙

左甲右丁前丙

……

完成一件事情需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不 同的方法?做第 n 步有 mn 种不同的方法. 那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ????? mn
种不同的方法.

分步乘法计数原理的一般形式

例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2 层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育书. ①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种 不同的取法?
分析: (1)要完成哪一件事?——“任取一本”与“各取一本” 有一即可 缺一不可 不可兼取 必须同取 (2)如何完成这件事?——“分类”还是“分步” (3)如何列式?

分类加法计数原理 区别1

分步乘法计数原理 “分步”问题, 相乘
缺一不可,必须同取: 每一步得到的只是中间 结果,任何一步都不能 能独立完成这件事情, 缺少任何一步也不能完 成这件事情,只有每个 步骤完成了,才能完成 这件事情. 中转完成.

“分类”问题, 相加

区别2

有一即可,不能兼取: 每类办法都能独立完 成这件事情.直达目标.

例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2 层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育书. ①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种 不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种 不同的取法?

N1=4×3=12 N2=4×2=8
N= N1+N2 +N3=26

N3=6×2=6

巩固练习 如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地有3 条路;从甲地到丙地有4条路可以走,从丙地到丁地有 2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法?

甲地

乙地

N1=2×3=6 N2=4×2=8

丙地
创新设计

丁地

N= N1+N2 =14

请根据今天所学习的原理,以四人小组为单位, 设计一个运用两个计数原理的计数问题.

创新设计

请根据今天所学习的原理,以四 人小组为单位,设计一个运用两个计数 原理的计数问题.

小结升华

知识

分类加法计数原理

分步乘法计数原理
归纳与类比 分类法、分步法 特殊到一般 化归转化

方法 思想

感 悟 计数原理入门径, 何时相加何时乘? 分类相加无重漏, 分步相乘步骤整.

作业与拓展
1.书面作业:课本习题1.1A组第1,3,4题. 2.阅读作业:课本P11-12 研究与发现“子 集的个数有多少”. 3.弹性作业:编一道运用分类加法计数原理 和分步乘法计数原理解答的应用题,并加以 解答.


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