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瑞安中学2013级物理竞赛补充讲义


浙江瑞安中学

2013 级物理竞赛讲义
高一专用
许文龙 2013/9/10 Tuesday

此文档为浙江瑞安中学高一年级物理竞赛补充材料

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 2

目录
静力、静力矩平衡复赛题 ........................

....................................................................................... 3 类振动简谐圆应用复赛题 ............................................................................................................... 6 速度和加速度关联分析 ................................................................................................................. 11 探讨自由轻杆施力方向问题 ......................................................................................................... 13 一般动量守恒、动量定理问题 ..................................................................................................... 15 非惯性参考系动量和能量及速度关联问题 ................................................................................. 16 动量、冲量、角动量及能量守恒 ................................................................................................. 19 天体运动之动量、角动量、能量问题 ......................................................................................... 21 波动问题集锦 ................................................................................................................................. 26 电场复赛题 ..................................................................................................................................... 29 电磁感应规律 ................................................................................................................................. 35 相对论复赛题 ................................................................................................................................. 38

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静力、静力矩平衡复赛题
新编物竟P11.质量为m、长为l的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上,三棒的顶端重合, 底端的间距为l,如图所示. (1) 求棒顶端所受的作用力的大小.

(2)若有一质量也是m的人(视为质点)坐在某根棒的中点处, 三棒仍保持不动, 这时棒顶 端所受作用力的大小又为多大?

20 届 T5.有一半径为 R 的圆柱 A,静止在水平地面上,并与竖直墙面相接触.现有另一

质量与 A 相同,半径为 r 的较细圆柱 B,用手扶着圆柱 A,将 B 放在 A 的上面,并使之 与墙面相接触,如图所示,然后放手.己知圆柱 A 与地面的静摩擦系数为 0.20,两圆 柱之间的静摩擦系数为 0.30.若放手后,两圆柱体能保持图示的平衡,问圆柱 B 与墙 面间的静摩擦系数和圆柱 B 的半径 r 的值各应满足什么条件?

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26届 T2.图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角 A、B、C、 D 处,桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上.已知桌腿受力后将产生弹性微小形变.

现于桌面中心点 O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F,令 对桌腿1的压力 F1.

,求桌面

28 届 T2. 质量均匀分布的刚性杆 AB、CD 如图放置,A 点与水平地面接触,与地面间的静摩 擦系数为μ A,B、D 两点与光滑竖直墙面接触,杆 AB 和 CD 接触处的静摩擦系数为μ C,两 杆的质量均为 m,长度均为 l。 1、已知系统平衡时 AB 杆与墙面夹角为θ ,求 CD 杆与墙面夹角α 应该满足的条件(用α 及 已知量满足的方程式表示) 。 2、若μ A=1.00,μ C=0.866,θ =60.0°。求系统平衡时α 的取值范围(用数值计算求出) 。

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类振动简谐圆应用复赛题
新编物竞 P155.倔强系数为 k 的水平轻质弹簧,左端固定,右端系一质量为 m 的物体.物体 可在有摩擦的水平桌面上滑动,弹簧为原长时物体位于 O 点,现在把物体沿弹簧长度方向 向右拉到距离 O 点为 A0 的 P 点按住, 放手后弹簧把物体拉动. 设物体在第二次经过 O 点前, 在 O 点左方停止。 (计算中可以认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等) (1)讨论物体与桌面问的摩擦系数μ 的大小应在什么范围内
m O P

(2)求出物体停住点离 o 的距离

29 届 T1. 设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质正立 方体物块在湖面上由静止开始释放, 释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。 已知湖水 密度为 ? ;物块边长为 b ,密度为 ? ' ,且 ? ' ? ? 。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的 情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

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高妙 P93. 如图所示,平台 A 的质量为 m,由劲度系数为 k 的轻弹簧来支持.弹簧上端与 A 相连,下端与地面相连,物块 B 的质量也是 m,自由地放在平台中心,现用竖直向下的力 ,并在系统静止时撤去外力,求此后 A、B F ? 2? 2 ? 4mg 把弹簧压下(仍在弹性限度内) 的运动情况及两者各自到达的最大高度.

22 届 T7. 如图所示, 在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球 A 和质量为 2m 的小球 B.A 用细线拴住悬挂起来,系统处于静止状态,此时弹簧长度为 l .现 将细线烧断, 并以此时为计时零点, 取一相对地面静止的、 竖直向下为正方向的坐标轴 Ox, 原点 O 与此时 A 球的位置重合如图.试求任意时刻两球的坐标.

O

A

k x B

l

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24 届 T4. 图中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x ? 0 的一侧,存在匀强磁场, 磁场方向垂直于 oxy 平面向里, 磁感应强度的大小为 B。 在 x ? 0 的一侧, 一边长分别为 l1 和

l 2 的刚性矩形超导线框位于桌面上, 框内无电流, 框的一对边与 x 轴平行。 线框的质量为 m,
自感为 L。现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v 0 进入磁场区域,试定量地讨论线框以后可能 发生的运动情况及与初速度 v 0 大小的关系。 (假定线框在运动过程中始终保持超导状态)

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21 届 T7. 如图所示,有二平行金属导轨,相距 l,位于同一水平面内(图中纸面) ,处在磁 感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向竖直向下(垂直纸面向里) .质量均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放在导轨上, 与导轨垂直. 初始时刻, 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0 和 x = 0 处. 假 设导轨及金属杆的电阻都为零,由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L.今对金属杆 ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量,使它获得初速 v 0 .设导轨足够长, x 0 也足够大,在运动过 程中,两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x 0 ,因而可以认为在杆运动过 程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的.杆与导轨之间摩擦可不 计. 求任意时刻两杆的位置 xab 和 xcd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时 间 t 的变化关系. y c y a v0 O d b x

20 届 T3(此题仅结合振动,无需用圆振动。补充:求穿越地球时间). 有人提出了一种

不用火箭发射人造地球卫星的设想.其设想如下:沿地球的一条弦挖一通道,如图所 示.在通道的两个出口处 A 和 B ,分别将质量为 M 的物体和质量为 m 的待发射卫星同 时自由释放,只要 M 比 m 足够大,碰撞后,质量为 m 的物体,即待发射的卫星就会从 通道口 B 冲出通道;设待发卫星上有一种装置,在待发卫星刚离开出口 B 时,立即把 待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向,但不改变速度的大小.这样待发卫 星便有可能绕地心运动,成为一个人造卫星.若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆

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周运动,则地心到该通道的距离为多少?己知 M =20 m ,地球半径 R0 =6400 km.假 定地球是质量均匀分布的球体,通道是光滑的,两物体间的碰撞是弹性的.

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速度和加速度关联分析
1、如图所示,求物体的加速度(另补充对接训练 54 页第 4 题)

V 2、如图所示,重 W、长为 L 的均匀棒 AB 与墙壁、地面的摩擦因为分别为 , ,将 AB 置 于墙与地面之间,与地面成 角时,AB 棒欲开始下滑,求 的大小。

3、接题 3,在棒下滑过程中。求: (1)棒 AB 中点 C 的运动轨迹

(2)证明棒 AB 中点 C 和两端点 A 和 B 之间的速度关系式:

(3)假定 B 端以

做匀速运动,求 AB 中点 C 的加速度(用

和 表示)

(4)杆上与 A 点相距 a(0< a <L)的 P 点运动轨迹

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(5)如果

为已知,试求 P 点的 x 、 y 向分速度



对杆方位角θ 的函数

(6)杆 AB 上那一点速度最小,最小为多少?

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探讨自由轻杆施力方向问题
4、如果将棒换成轻杆,两端分别固定质量均为 m 的小球 A 和 B,小球、墙、地面均光滑。 当 AB 杆从与水平面成 角静止释放,求:当杆开始离开墙时,杆与水平夹角 。

A

B

5、如同所示,质量为 m 的两个重求 A 和 B 由刚性轻杆连接,竖直立在光滑水平面上,现若 对 B 施以轻微的扰动,使系统逆时针翻倒,试求 B 端所受地面支持力 N 与杆同水平夹角 的关系。 A

B

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23 届 T2.如图所示, 一根质量可以忽略的细杆, 长为 2 l , 两端和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以 一给定速度 v 0 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A,B,C,D 的速 度,并详细讨论以后可能发生的运动情况。

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一般动量守恒、动量定理问题
1.个质量为 M 的雪橇静止在水平雪地上,一条质量为 m 的爱斯基摩狗站在该雪橇上.狗 向雪橇的正后方跳下, 随后又追赶并向前跳上雪橇; 其后狗又反复地跳下、 追赶并跳上雪橇, 狗与雪橇始终沿一条直线运动.若狗跳离雪橇时雪橇的速度为 V,则此时狗相对于地面的速 度为 V+u(其中 u 为狗相对于雪橇的速度,V+u 为代数和.若以雪橇运动的方向为正方向, 则 V 为正值, u 为负值). 设狗总以速度 v 追赶和跳上雪橇, 雪橇与雪地间的摩擦忽略不计. 已 知 v 的大小为 5m/s,u 的大小为 4m/s,M=30kg,m=10kg. (1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小. (2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数. (供使用但不一定用到的对数值:lg2=O.301,lg3=0.477)

2.如图所示,光滑的水平地面上有一木板,其左端放有一重物,右方有一竖直的墙.重物质 量为木板质量的 2 倍, 重物与木板间的动摩擦因数为 ? .使木板与重物以共同的速度 v0 向右 运动,某时刻木板与墙发生弹性碰撞,碰撞时间极短.求木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞 所经历的时间.设木板足够长,重物始终在木板上.重力加速度为 g.

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非惯性参考系动量和能量及速度关联问题
1.一质量为 M,半径为 R 的光滑均质半球,静置于光滑桌面上,在球顶有一质量为 m 的质 点,由静止沿球面下滑,如图,试求: (1)m 离开 M 前的轨迹 (2)若当 m 与 M 竖直轴夹角为θ 时,m 还未离开 M,求此时 m 绕 M 球心的角速度 (3)若当 m 与 M 竖直轴夹角为θ 时,m 刚好与 M 分离,求θ

2、 (江苏高考真题)如图所示,三个质量均为 m 的弹性小球用两根长均为 L 的轻绳连成一 条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球 B 一个水平初速度 ,方向与绳垂直。小球 相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长。求: (1) 当小球 A、 C 第一次相碰时, 小球 B 的速度 (小球 A、 C 第一次相碰时绳子的拉力?)

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,小球 B 的速度

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(3)运动过程中小球 A 的最大动能 拉力?)

和此时两根绳的夹角 。 (小球 A 动能最大时绳子

(4)当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力 F 的大小

3、如图甲所示,把质量均为 m 的两个小钢球用长为 2L 的线连接,放在光滑的水平面上。 在线的中央 O 作用一个恒定的拉力,其大小为 F,其方向沿水平方向且与开始时连线的方向 垂直,连线是非常柔软且不会伸缩的,质量可忽略不计。试求: (1)当两连线的张角为 ,如图乙所示,在与力F垂直的方向上钢球所受的作用力是 多少?

(2)钢球第一次碰撞时,在与力F垂直的方向上,钢球的对地速度为多少?

(3)经过若干次碰撞,最后两个钢球一直处于接触状态下运动,试求由于碰撞而失去的 总能量为多少?

4、 (第 15 届预赛)质量分别为 m1、m2 和 m3 的三个质点 A、B、C 位于光滑的水平面上,用已 拉直的不可伸长的柔软的轻绳 AB 和 BC 连结,角 ABC 为 π -α ,α 为一锐角,如图所示。今 有一冲量为 J 的冲击力沿 BC 方向作用于质点 C,求质点 A 开始运动时的速度。

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5、 (89 年全国预赛题)长为 2b 的轻绳,两端各系一质量为 m,的小球,中央系一质量为 M 的小球,三球均静止于光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态今给小球 M 以一冲击,使它获得 水平速度 v , v 的方向与绳垂直 (如图所示) 求在两端的小球发生互碰前的瞬间绳中的张力。
v

m

M

m

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动量、冲量、角动量及能量守恒
20 届 T1.图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体,O 为其球心.己知取无限 远处的电势为零时,球表面处的电势为 U=1000 V.在离球心 O 很远的 O′点附近有一 质子 b,它以 Ek=2000 eV 的动能沿与 O? O 平行的方向射向 a.以 l 表示 b 与 O? O 线 之间的垂直距离,要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大值.把质 子换成电子,再求 l 的最大值.

21 届 T6. 如图所示,三个质量都是 m 的刚性小球 A、B、C 位于光滑的水平桌面上(图中纸 面) ,A、B 之间,B、C 之间分别用刚性轻杆相连,杆与 A、B、C 的各连接处皆为“铰链式” 的(不能对小球产生垂直于杆方向的作用力) .已知杆 AB 与 BC 的夹角为??? ,??< ?/2.DE 为固定在桌面上一块挡板,它与 AB 连线方向垂直.现令 A、B、C 一起以共同的速度 v 沿平 行于 AB 连线方向向 DE 运动,已知在 C 与挡板碰撞过程中 C 与挡板之间无摩擦力作用,求 碰撞时当 C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v 变为 0 这一极短时间内挡板对 C 的冲量的大小. D B A
A

????

A

C
A A

E

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29 届 T3.如图所示,两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 段牢固粘接在一起, AB 延长线与 BC

的夹角 ? 为锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ? 。在杆的 A 、 B 和 C 三点各固连一 质量均为 m 的小球,构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固定的 光滑竖直挡板,杆 AB 延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为 v 0 、方向沿 AB 的速度向 挡板平动。在某时刻,小球 C 与挡板碰撞,碰撞结束时球 C 在垂直于挡板方向的分速度为 零,且球 C 与挡板不粘连。若使球 C 碰撞后,球 B 先于球 足的条件。

A 与挡板相碰,求夹角 ? 应满

23 届 T2.如图所示, 一根质量可以忽略的细杆, 长为 2 l , 两端和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以 一给定速度 v 0 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A,B,C,D 的速 度,并详细讨论以后可能发生的运动情况。

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天体运动之动量、角动量、能量问题
1(自招).卫星携带一探测器在半径为 3R (R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在 a 点, 卫星上的辅助动力装置短暂工作, 将探测器沿运动方向射出 (设辅助动力装置喷出的气体质 量可忽略) 。若探测器恰能完全脱离地球的引力,而卫星沿新的椭圆轨道运动,其近地点 b 距地心的距离为 nR (n 略小于 3),求卫星与探测器的质量比。 (质量分别为 M、m 的两个质点相距为 r 时的引力势能为-GMm/r,式中 G 为引力常量)

b

a

29 届 T2. 设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯,电梯顶端可超过 地球的同步卫星高度 R (从地心算起)延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成 本地发射绕地人造卫星, 其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度, 然后启动 推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 1、设在某次发射时,卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升,该卫星在上升到 0.80 R 处意外地和太空电梯脱离 (脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零) 而进入太 空。 (1)论证卫星脱落后不会撞击地面。 (2)如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星。讨论 该卫星从脱落时刻起, 在 0~12 小时及 12~24 小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。 2、如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心距离为 R X 处有一卫星 从电梯脱落(脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零) ,脱落后该卫星轨道刚 好能和赤道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫星着地点的经度。提示:此问要用数值 方法求解高次方程。 已知: 地球质量 M ? 6.0 ? 10 24 kg , 半径 Re ? 6.4 ? 10 6 m 的球体; 引力恒量 G ? 6.7 ?10 ?11 N ? m 2 ? kg ?2 ; 地球自转周期 Te ? 24 小时;假设卫星与太空电梯脱落后只受地球引力作用。

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28 届 T1.如图所示,哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运动,其周期 T 为 76.1 年, 1986 年它过近日点 P0 时与太阳 S 的距离 r0=0.590AU,AU 是天文单位,它等于地球与太阳的 平均距离, 经过一段时间, 彗星到达轨道上的 P 点, SP 与 SP0 的夹角θ P=72.0°。 已知: 1AU=1.50 -11 11 2 2 30 ×10 m,引力常量 G=6.67×10 Nm /kg ,太阳质量 mS=1.99×10 kg,试求 P 到太阳 S 的 距离 rP 及彗星过 P 点时速度的大小及方向(用速度方向与 SP0 的夹角表示) 。

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25 届 T2. 嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后,进入绕地运行的椭圆轨道,近地点离 地面高 H n ? 2.05 ?102 km ,远地点离地面高 H f ? 5.0930 ?10 km ,周期约为 16 小时,
4

称为 16 小时轨道(如图中曲线 1 所示) 。随后,为了使卫星离地越来越远,星载发动机先在 远地点点火,使卫星进入新轨道(如图中曲线 2 所示) ,以抬高近地点。后来又连续三次在 抬高以后的近地点点火,使卫星加速和变轨,抬高远地点,相继进入 24 小时轨道、48 小时 轨道和地月转移轨道(分别如图中曲线 3、4、5 所示) 。已知卫星质量 m ? 2.350 ?10 kg ,
3

地球半径 R ? 6.378 ?103 km , 地面重力加速度 g ? 9.81m / s , 月球半径 r ? 1.738 ?103 km 。
2

1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度,以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时,假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同,而 且点火时间很短,可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N,要把近地点抬高 到 600km,问点火时间应持续多长? 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道,距月面高度 Hm 约为 200km,周期 Tm=127 分钟,试据 此估算月球质量与地球质量之比值。

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27 届 T2. 距离我们为 L 处有一恒星,其质量为 M ,观测发现其位置呈周期性摆动,周期 为 T , 摆动范围的最大张角为 △θ . 假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周 运动的行星引起的,试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程. 若 L=10 光年, T =10 年, △θ = 3 毫角秒, M = Ms (Ms 为太阳质量) ,则此行星的 质量和它运动的轨道半径 r 各为多少?分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU (平均日地距离) 作为单 位, 只保留 一位 有效 数字. 已知 1 毫角秒 = 1AU=1.5×10 km,光速 c = 3.0 ×10 km/s.
8 5

1 1 角秒, 1 角秒 = 度, 1000 3600

20 届 T3.有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想.其设想如下:沿地球的

一条弦挖一通道,如图所示.在通道的两个出口处 A 和 B ,分别将质量为 M 的物体和 质量为 m 的待发射卫星同时自由释放, 只要 M 比 m 足够大, 碰撞后, 质量为 m 的物体, 即待发射的卫星就会从通道口 B 冲出通道;设待发卫星上有一种装置,在待发卫星刚 离开出口 B 时,立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向,但不改变速 度的大小.这样待发卫星便有可能绕地心运动,成为一个人造卫星.若人造卫星正好

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沿地球表面绕地心做圆周运动,则地心到该通道的距离为多少?己知 M =20 m ,地球 半径 R0 =6400 km.假定地球是质量均匀分布的球体,通道是光滑的,两物体间的碰 撞是弹性的.

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波动问题集锦
1、慧更斯原理的应用 练习 1、一平面波遇到两种介质的界面时发生反射,设入射波与反射波的振动方向相同。如 果入射波是一纵波, 要使反射波是一横波, 设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度 的 倍.问入射角为多少? i ? 60

练习 2、某行星上大气的折射率随着行星表面的高度 h 按照 n=n0-ah 的规律而减小,行星 的半径为 R,行星表面某一高度 h0 处有光波道,它始终在恒定高度,光线沿光波道环绕行星 传播,试求高度 h0 ?

h0 ?

1 ? n0 ? ? R? ? 2? a ?

2、绳波传播速度、拍和驻波问题 练习 3 如图所示,一端固定在台上的弦线,用支柱支撑其 R 点和 S 点,另一端通过定滑轮吊 一个 1.6 kg 的重物,弹拨弦的 RS 部分,使其振动,则 R、S 点为波节,其间产生三个波腹 的驻波,这时,如在弦的附近使频率为 278 Hz 的音叉发音,则 5 s 内可听到 10 次拍音,换 用频率稍大的音叉,则拍音频率减小.测得 RS=75.0 cm,求该驻波的波长、频率及弦线的 线密度。

??

1.6 ? 9.8 kg/m 1402

3、振动和波动图象的描绘(自由端和固定端反射牛顿定律画图法) 练习 4、将一根长为 100 多厘米的均匀弦线沿水平的 x 轴放置,拉紧并使两端固定.现对离 固定的右端 25 cm 处 (取该处为原点 O, 如图 1 所示) 的弦上施加一个沿垂直于弦线方向 (即

y 轴方向) 的扰动, 其位移随时间的变化规律如图 2 所示. 该扰动将沿弦线传播而形成波 (孤
立的脉冲波) .已知该波在弦线中的传播速度为 2.5 cm/s,且波在传播和反射过程中都没有 能量损失.

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(1)试在图 1 中准确地画出自 O 点沿弦线向右传播的波在 t=2.5 s 时的波形. (2) 该波向右传播到固定点时将发生反射, 反射波向左传播. 反射点总是固定不动的. 这 可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加,使反射点的位移始终为零.由此观点出发, 试在图 1 中准确地画出 t=12.5 s 时的波形图。

(答案请查考高中物理培优基础教材 157 页) 4、波的折射定律的应用 练习 5、在海洋中声速随深度、温度和含盐量变化.已知声速随深度变化规律如图,最小 声速出现在海洋表面与海底之间.坐标原点取在声速最小处,za、zb 分别表示海面和海底 的坐标。则声速 v 与 z 的关系为 ( z 0) ? v0 ? bz ? v ? ? v0 ( z ? 0) ? v ? bz ( z 0) ? 0 其中 b 为常量.今在 x=0,z=0 处放置一声源 S,在 xz 平面内,从 S 发出的声波的传播方 向用初始发射角 θ 0 表示.声速的不均匀将导致波射线的弯曲.试证明在 zx 平面内声波的 初始轨迹为圆,并求出其半径。

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练习 6、走在岸边,总可以看到水波平行于岸边滚滚而来。设水波的速率与水深成正比,岸 的斜度为常数,计算水波的轨迹。

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电场复赛题
26届 T4.在图示的复杂网络中,所有电源的电动势均为 E0,所有电阻器的电阻值均为 R0,所 有电容器的电容均为 C0,则图示电容器 A 极板上的电荷量为__ __.

29 届 T4.如图所示,虚线小方框是由 2n 个电容器联成的有限网络;虚线大方框是并联的两 个相同的无限网络,此无限网络的结构是:从左到中间,每个电容器的右极板与两个电容器 的左极板相连, 直至无穷; 从中间到右, 每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连, 直至联接到一个电容器为止。 网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器, 其极 板面积为 S ,极板间距为 d ( d

?? S ) 。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电

池连接,电池电动势恒定、大小为 ? 。忽略电容器 的边缘效应,静电力常量 k 已知。 1、 若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板缓慢 地向右拉动,使其两极板的距离变为,求在拉动极 板过程中电池所做的功和外力所做的功。 2、在电容器两极板的距离变为 2d 后,再将一块与 电容器 a 的极板形状相同、面积也为 S 、带电荷量 为 Q ( Q ? 0 )的金属薄板沿平行于 a 的极板方向 全部插入到电容器 a 中,使金属薄板距电容器 a 左极板的距离为 x 。求此时电容器 a 的左极板 所带的电荷量。

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 30

25 届 T2.在国际单位制中,库仑定律写成 F ? k

q1q2 ,式中静电力常量 r2

k ? 8.98 ?109 N ? m2 ? C ?2 ,电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑,距离 r 的单位是米,作用力 F

q1q2 ,式中距离 r 的单位是米,作用 r2 qq 力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ? 1 2 2 ,式中距离 r 的单位是米, r
的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ? 作用力 F 的单位是牛顿,由此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新 单位时,电荷新单位= ;新单位与库仑的关系为 1 新单位= C。

25 届 T5.一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成,电子在电 子束中均匀分布, 沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子, 每个电子的电荷量为 ?e(e ? 0) , 质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器,其前端(即图中 的右端)于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔,使电子 束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A、B 之间加上了如图所示的周期性变化的电压 VAB ( VAB ? VA ? VB ,图中只画出了一个周期的图线) ,电压的最大值和最小值分别为 V0 和- V0,周期为 T。若以? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压处于最小值的时

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 31

间间隔为 T-? 。已知 ? 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边 的所有的电子,能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很 小,电子穿过电容器所需要的时间可以忽略,且 mv 2 ? 6eV0 ,不计电子之间的相互作用及 重力作用。 (1) 、满足题给条件的 ? 和 tb 的值分别为 ? = T,tb= T。 (2) 、试在下图中画出 t=2T 那一时刻,在 0-2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧 空间形成的电流 I,随离开右极板距离 x 的变化图线,并在图上标出图线特征点的纵、横坐 标(坐标的数字保留到小数点后第二位) 。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的 右极板 B 的小孔所在的位置,横坐标的单位 s ? eV0 。
m

27 届 T5.如图所示,两个固定的均匀带电球面,所带电荷量分别为+Q 和-Q (Q >0) ,半径分 别为 R 和 R/2,小球面与大球面内切于 C 点,两球面球心 O 和 O’的连线 MN 沿竖直方在 MN 与两球面的交点 B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计,有一质量为 m, 带电荷为 q(q>0 的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。 设静电力常量为 k, 重力加度为 g. (1)要使质点从 A 点上抛后能够到达 B 点,所需的最小初动能为多少? (2)要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点,在不同条件下所需的最小初动能各为多少?

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22 届 T2.如图所示,O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心,O1、O2、O3 为位于球内 的三个半径皆为 r 的球形空腔的球心, 它们与 O 共面, 已知 OO1 ? OO2 ? OO3 ? OO2 的连线上距 O1、O2 为

R . 在 OO1、 2

r 的 P1、P2 点处分别放置带电量为 q1 和 q2 的线度很小的导体(视 2

为点电荷) ,在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷,设法使 q1、q2 和 q3 固定不动.在导体球 外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷,P 点与 O1、O2、O3 共面,位于 O3O 的延长线上,到 O 的距离 OP ? 2R . (1) .求 q3 的电势能. (2) .将带有电量 q1、q2 的小导体释放,当重新达到静电平衡时,各表面上的电荷分 布有何变化? 此时 q3 的电势能为多少? O1 P1 P R R O2 P2 O O3 r

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21 届 T5.如图所示,接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径上的 P1 和 P2 处,放 置电量分别为 q1 和 q2 的点电荷,q1=q2=q,两点电荷到球心的距离均为 a.由静电感应与 静电屏蔽可知:导体空腔内表面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等于-2q.空腔内部的 电场是由 q1、q2 和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感 应电荷是怎样分布的, 所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强. 但理论上可以 证明,感应电荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等效)点电荷来代替(在本题 中假想 (等效 )点电荷应为两个) ,只要假想的(等效)点电荷的位置和电量能满足这样的条 ? 件,即:设想将整个导体壳去掉,由 q1 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电荷 q1 与 q1 共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为 0;由 q2 在原空腔内表面 ? 与 q2 共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点 的感应电荷的假想(等效)点电荷 q 2 的电势皆为 0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷,而且这样确定的等效电荷是 ? 、 q2 ? 和 q1、q2 来计算原来导体存在时 唯一的.等效电荷取代感应电荷后,可用等效电荷 q1 空腔内部任意点的电势或场强.

? 、 q2 ? 的位置及电量. (1)试根据上述条件,确定假想等效电荷 q1
(2)求空腔内部任意点 A 的电势 UA.已知 A 点到球心 O 的距离为 r, OA 与 OP 1 的夹 角为??. A

r
P2

?? P1 a O a R

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20 届 T1.图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体,O 为其球心.己知取无限 远处的电势为零时,球表面处的电势为 U=1000 V.在离球心 O 很远的 O′点附近有一 质子 b,它以 Ek=2000 eV 的动能沿与 O? O 平行的方向射向 a.以 l 表示 b 与 O? O 线 之间的垂直距离,要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大值.把质 子换成电子,再求 l 的最大值.

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 35

电磁感应规律
24 届 T4. 图中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x ? 0 的一侧,存在匀强磁场, 磁场方向垂直于 oxy 平面向里, 磁感应强度的大小为 B。 在 x ? 0 的一侧, 一边长分别为 l1 和

l 2 的刚性矩形超导线框位于桌面上, 框内无电流, 框的一对边与 x 轴平行。 线框的质量为 m,
自感为 L。现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v 0 进入磁场区域,试定量地讨论线框以后可能 发生的运动情况及与初速度 v 0 大小的关系。 (假定线框在运动过程中始终保持超导状态)

21 届 T7. 如图所示,有二平行金属导轨,相距 l,位于同一水平面内(图中纸面) ,处在磁 感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向竖直向下(垂直纸面向里) .质量均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放在导轨上, 与导轨垂直. 初始时刻, 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0 和 x = 0 处. 假 设导轨及金属杆的电阻都为零,由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L.今对金属杆 ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量,使它获得初速 v 0 .设导轨足够长, x 0 也足够大,在运动过 程中,两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x 0 ,因而可以认为在杆运动过 程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的.杆与导轨之间摩擦可不 计. 求任意时刻两杆的位置 xab 和 xcd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时 间 t 的变化关系. y c y a v0 O d b x

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 36

23 届 T5.磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统,利用磁力 (可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统,在沿 轨道上安装的三相绕组(线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作周期性变化的磁 场,磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为

B( x, t ) ? B0 cos(? t ? kx)
式中 B0 、? 、 k 均为已知常量,坐标轴 x 与轨道平行。在任一时刻 t,轨道平面上磁场沿 x 方向的分布是不均匀的,如图所示。图中 Oxy 平面代表轨道平面, “×”表示磁场的方向垂 直 Oxy 平面指向纸里, “· ”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时 B 取正值。 “×”和“· ”的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布。一与轨道平面平行的具有 一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中,已知与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 l ,与 轨道平行的金属框边 MQ 的长度为 d,金属框的电阻为 R,不计金属框的电感。 1.试求在时刻 t,当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力,设此时刻 金属框沿 x 轴正方向移动的速度为 v 。

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 37

2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 38

相对论复赛题
21 届 T3.??子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命 ? 0 ? 2.0 ? 10?6 s .宇宙射线与大气 在高空某处发生核反应产生一批?子,以 v = 0.99c 的速度(c 为真空中的光速)向下运动并 衰变.根据放射性衰变定律,相对给定惯性参考系,若 t = 0 时刻的粒子数为 N (0), t 时刻剩 余的粒子数为 N(t),则有 N ?t ? ? N ?0?e ?t ? ,式中?为相对该惯性系粒子的平均寿命.若能到 达地面的?子数为原来的 5%,试估算 ?子产生处相对于地面的高度 h.不考虑重力和地磁场 对?子运动的影响.

22 届 T4. 封闭的车厢中有一点光源 S,在距光源 l 处有一半径为 r 的圆孔,其圆心为 O1,光 源一直在发光, 并通过圆孔射出. 车厢以高速 v 沿固定在水平地面上的 x 轴正方向匀速运动, 如图所示.某一时刻,点光源 S 恰位于 x 轴的原点 O 的正上方,取此时刻作为车厢参考系与 地面参考系的时间零点.在地面参考系中坐标为 xA 处放一半径为 R(R >r)的不透光的圆形 挡板,板面与圆孔所在的平面都与 x 轴垂直.板的圆心 O2 、S、 、O1 都等高,起始时刻经圆 孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕(图中未画出)上.由于车厢在运 动,将会出现挡板将光束完全遮住,即没有光射到屏上的情况.不考虑光的衍射.试求: 1.车厢参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻. 2.地面参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻. v S l O r O1 xA R O2

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 39

23 届 T7. 串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的 设备,右图是其构造示意图。S 是产生负离子的装置,称为离子源;中间部分 N 为充有氮气 的管道,通过高压装置 H 使其对地有 5.00 ? 10 6 V 的高压。现将氢气通人离子源 S,S 的作用 是使氢分子变为氢原子,并使氢原子粘附上一个电子,成为带有一个电子电量的氢负离子。 氢负离子(其初速度为 0)在静电场的作用下,形成高速运动的氢负离子束流,氢负离子束 射入管道 N 后将与氮气分子发生相互作用, 这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们 上面的多余的电子而成为氢原子, 又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。 已知氮 气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。 质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加速 器的终端靶子 T。试在考虑相对论效应的情况下,求质子到达 T 时的速度 v 。 (电子电荷量 q ? 1.60 ? 10
?19

C,质子的静止质量 m0 ? 1.673 ? 10 ?27 kg)

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 40

26届 T6. 两惯性系 S′与 S 初始时刻完全重合,前者相对后者沿 x 轴正向以速度 v 高速运动. 作为光源的自由质点静止于 S′系中, 以恒定功率 P 向四周辐射(各向同性)光子.在 S 系中观察, 辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应). 1.在 S 系中观察,S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以 x 轴为轴线的圆锥内.求 该圆锥的半顶角 α.已知相对论速度变换关系为

式中 ux 与 ux′分别为 S 与 S′系中测得的速度 x 分量,c 为光速. 2.求 S 系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量.

29 届 T8. 如图所示,竖直固定平行放置的两条相同长直导线 1 和 2 相距为 a( a <<长直导线 的长度) ,两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流,电流方向向上。导线中正离子都是 静止的,每单位长度导线中正离子的电荷量为 ? ;形成电流的导电电子以速度 v 0 沿导线向

瑞安中学 2013 级物理竞赛补充讲义 41

下匀速运动,每单位长度导线中导电电子的电荷量为 ? ? 。已知:单位长度电荷量为 ? 的

2? , 其中 k e 是常 r 量;当无限长直导线通有稳恒电流 I 时,电流在距导线距离为 r 处产生磁场的磁感应强度大 2I 小为 B ? k m ,其中 k m 是常量。试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量 k e 和 k m 的比 r 值。提示:忽略重力;正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关;真空中的光速为 c
无限长均匀带电直导线在距其距离为 r 处产生的电场的强度大小为 E ? k e


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