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一元三次方程解法探究


一元三次方程解法探究
夏子睿

一、求根公式的推导
对于一元三次方程 ax3 ? bx2 ? cx ? d ? 0 ? a ? 0? ①, 可变形为 x ?
3

b 2 c d b x ? x ? ? 0 . 现令 x ? y ? , 代入①得 a a a 3a

b ? b? b ? c

? b ? d ? ? y? ? ? ? y? ? ? ? y? ?? ? 0 3a ? a ? 3a ? a ? 3a ? a ?

3

2

? 3 b 2 b2 b3 ? b ? 2 2b b2 ? c ? b ? d ? ?y ? y? 2 ?? ? y? ?? ? 0 ?y ? y ? 2 y? 3 ? a 3a 27a ? a ? 3a 9a ? a ? 3a ? a ?
b 2 b2 b3 b 2 2b 2 b3 c bc d y ? y ? 2 y? ? y ? 2 y? 3 ? y? 2 ? ?0 3 a 3a 27a a 3a 9a a 3a a
3

? b2 2b2 c ? ? b3 b3 bc d ? y3 ? ? 2 ? 2 ? ? y ? ? ? ? ? 2 ? ??0 3 3 a? ? 3a 3a a ? ? 27a 9a 3a
y3 ? 3ac ? b 2 2b3 ? 9abc ? 27a 2 d y ? ? 0. 3a 2 27a3 3ac ? b 2 2b3 ? 9abc ? 27a 2 d , q ? , 使原式变形为 y3 ? py ? q ? 0 ②. 2 3 3a 27a

现令 p ?

3 3 2 2 3 现令 y ? u ? v ③, 两边立方得 y ? u ? 3u v ? 3uv ? v

y3 ? u3 ? v3 ? 3uv(u ? v) ④.
将③代入④得 y ? u ? v ? 3uvy
3 3 3

y3 ? 3uvy ? (u3 ? v3 ) ? 0 ⑤.
p3 3 3 , u ? v ? ?q . 对比②和⑤, 得 ?3uv ? p, ?(u ? v ) ? q , 分别变形得 u v ? ? 27
3 3
3 3

q q 2 p3 3 q q 2 p3 根据韦达定理得 u ? ? ? . ? ,v ? ? ? ? 2 4 27 2 4 27
3

现令 ? ? ?

1 ? 3i 2 , 其中 i ? ?1 , 则 2

q q 2 p3 q q 2 p3 q q 2 p3 ? u1 ? 3 ? ? ? , u2 ? ? ?3 ? ? ? , u3 ? ? 2 ?3 ? ? ? . ⑥ 2 4 27 2 4 27 2 4 27
? ?3uv ? p ,

q q 2 p3 q q 2 p3 q q 2 p3 2 3 3 ? v1 ? ? ? ? , v2 ? ? ? ? ? ? , v3 ? ? ? ? ? ? . ⑦ 2 4 27 2 4 27 2 4 27
3

将⑥和⑦代入②得

q q 2 p3 3 q q 2 p3 y1 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? , 2 4 27 2 4 27 q q 2 p3 q q 2 p3 y2 ? ? ?3 ? ? ? ? ? 2 ?3 ? ? ? , 2 4 27 2 4 27 q q 2 p3 q q 2 p3 y3 ? ? 2 ?3 ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? . ⑧ 2 4 27 2 4 27

二、判断根的实虚
当 q ? 0 时, 令 ? =

q q q 2 p3 ? , T1 ? ? ? ? , T2 ? ? ? ? , 代入⑧得 2 2 4 27

y1 ? 3 T1 ? 3 T2 , y2 ? ?

1 2

?

3

T1 ? 3 T2 ?

?

3i 2

?

3

T1 ? 3 T2 , y3 ? ?

?

1 2

?

3

T1 ? 3 T2 ?

?

3i 2

?

3

T1 ? 3 T2 .

?

当 ? ? 0 时, T1 ? T2 ? R , ∴ 3 T1 ? 3 T2 ? R , ∴ 3 T1 ? 3 T2 ? R, 3 T1 ? 3 T2 ? R* , ∴ y1 ? R, y2 ? y3 ? R , 即原方程有一个实根和两个共轭复数根. 当 ? ? 0 时, T1 ? T2 ? R , ∴ 3 T1 ? 3 T2 ? R , ∴ 3 T1 ? 3 T2 ? R, 3 T1 ? 3 T2 ? 0 , ∴ y1 ? R, y2 ? y3 ? R , 即原方程有一个实根和两个相等的实根. 当 ? ? 0 时, 则

q q y1 ? 3 ? ? ??i ? 3 ? ? ??i , 2 2
? ? 1?3 q q 3i ? 3 q q 3 ? 3 ? y2 ? ? ? ? ? ?? i ? ? ?? i ? ? ? ?? i ? ? ?? i ? ? ? ? 2 ? ?, 2? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 1?3 q q 3i ? 3 q q 3 ? 3 ? y3 ? ? ? ? ? ?? i ? ? ?? i ? ? ? ?? i ? ? ?? i ? ? ? ? 2 ? ?. ⑨ 2? 2 2 2 2 ? ? ? ?
现令 m ? arctan ? ?

?

q ? q ? ? ? , n ? ? ? 2cos m ? , 把⑨式变形得 ? ? ? 2 ?? ?

? ?m? ? m? ? m? ? m ?? y1 ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? 3 n ?cos ? ? ? i sin ? ? ? cos ? ? ? i sin ? ? ? ?3? ?3? ? 3 ?? ? ?3?
?m? ? 2 3 n c o? s ?, ?3?

1 3i ? 3 y2 ? ? ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? ? n ? cos m ? i sin m ? ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? ? ? ? 2 2 ?

??

1 3 ? ?m? 3i 3 ? ? m ? ? m? ? m? ? m ?? ? m? ? m? ? m ?? n ?cos ? ? ? i sin ? ? ? cos ? ? ? i sin ? ? ? ? n ?cos ? ? ? i sin ? ? ? cos ? ? ? i sin ? ? ? 2 ?3? ?3? ? 3 ?? 2 ?3? ?3? ? 3 ?? ? ?3? ? ?3?

?m? ?m? ? ? 3 n cos ? ? ? 3 3 n sin ? ? , ?3? ?3? 1 3i ? 3 y3 ? ? ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? ? n cos m ? i sin m ? ? 3 n ? cos m ? i sin m ? ? ? 2 ? ? ? 2?

??

1 3 ? ?m? 3i 3 ? ? m ? ? m? ? m? ? m ?? ? m? ? m? ? m ?? n ?cos ? ? ? i sin ? ? ? cos ? ? ? i sin ? ? ? ? n ?cos ? ? ? i sin ? ? ? cos ? ? ? i sin ? ? ? 2 ?3? ?3? ? 3 ?? 2 ?3? ?3? ? 3 ?? ? ?3? ? ?3?

?m? ?m? ? ? 3 n cos ? ? ? 3 3 n sin ? ? . ?3? ?3?
∵ q ? 0 , ∴ 3 3 n sin ?

?m? ? ? 0, ?3?

∴ y1 ? y2 ? y3 ? R , 即原方程有三个不相等的实根. 当 q ? 0 时, 原方程可变形为 y( y ? ? p )( y ? ? p )=0 , ∴原方程的解为 y1 ? 0, y2 ? ? p , y3 ? ? ? p . ∴当 p ? 0 , 即 ? ? 0 时, 原方程有一个为 0 的实根和两个共轭复数根. 当 p ? 0 , 即 ? ? 0 时, 原方程的根均为 0 . 当 p ? 0 , 即 ? ? 0 时, 原方程有一个为 0 的实根和两个共轭实数根. 综上, 当 ? ? 0 时, 原方程有一个实根和两个共轭复数根. 当 ? ? 0 时, 原方程有一个实根和两个相等的实根. 当 ? ? 0 时, 原方程有三个不相等的实根.


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