当前位置:首页 >> 数学 >>

椭圆的参数方程(教案)



8.2

椭圆的几何性质(5)
翟慎佳 2002.10.25

——椭圆的参数方程(教案)
齐鲁石化五中

一. 目的要求:
1.了解椭圆参数方程,了解系数 a、b、 ? 含义。 2.进一点完善对椭圆的认识,并使学生熟悉的掌握坐标法。 3.培养理解能力、知识应用能力。

二. 教学目标:
1.知识目标:学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程,理解它与普通方 程的相互联系;对椭圆有一个较全面的了解。 2.能力目标:巩固坐标法,能对简单方程进行两种形式的互化;能运用参 数方程解决相关问题。 3.德育目标:通过对椭圆多角度、多层次的认识,经历从感性认识到理性 认识的上升过程,培养学生辩证唯物主义观点。

三. 重点难点:
1.重点:由方程研究曲线的方法;椭圆参数方程及其应用。 2.难点:椭圆参数方程的推导及应用。

四. 教学方法:
引导启发,计算机辅助,讲练结合。

五.教学过程: (一)引言(意义)
人们对事物的认识是不断加深、层层推进的,对椭圆的认识也遵循这一规 律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用,进一步完善对椭圆认识。

(二)预备知识(复习相关)
1.求曲线方程常用哪几种方法? 答:直接法,待定系数法,转换法〈代入法〉 ,参数法。 2.举例:含参数的方程与参数方程

? x ? 2t 例如:y=kx+1(k 参数)含参方程,而 ? (t 参数)是参数方程。 ? y ? 4t ? 1
3.直线及圆的参数方程?各系数意义?

(三)推导椭圆参数方程
1.提出问题(教科书例 5) 例题.如图,以原点为圆心,分别以 a、b(a>b>0)为半径作两个圆。 点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点,过点 A 作 AN ? Ox,垂足为 N,过 点 B 作 BM ? AN,垂足为 M。求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题,但动点较多,不易把握。故采用 间接法——参数法。 引导学生阅读题目,回答问题: (1)动点 M 是怎样产生的? M 与 A、B 的坐标有何联系? (2)如何设出恰当参数? 设∠AOX= ? 为参数较恰当。 3.解决问题(板演) 解:设点 M 的坐标(x,y), ? 是以 Ox 为始边,OA 为终边的正角, 取 ? 为参数,那么 x=ON=|OA|cos ? , y=NM=|OB|sin ? 即

? x ? a cos? ? ? y ? b sin ?

① 引为点 M 的轨迹参数方程, ? 为参数。

4.更进一步(板演:化普通方程)

?x ? ? cos? 分别将方程组①的两个方程变形,得 ? a y ? ? sin ? ?b
消去参数得方程
x2 y2 ? ?1 a2 b2

两式平方后相加,

由此可知,点 M 的轨迹是椭圆,方程①是椭圆的参数方程。 ? 为参数,

为离心角,常数 a、b 分别是椭圆长半轴和短半轴长。

5. 加深理解
? x ? a cos? (1) 椭圆参数方程 ? ( ? 为参数) ,参数有明显几何意义。 ? y ? b sin ?
离心角 ? 与∠MOX 一般不同。参数方程提供了设点的方法。 (2) 椭圆参数方程与普通方程可互相转化。 “设参←→消参” 。
x2 y2 (3) 椭圆的参数方程也可由 2 ? 2 ? 1(a>b>0)三角换元直接得出, a b
x y ? cos ? , ? sin ? 。双曲线也有类似换元。 a b (4) 可仿 P95 例 3,将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程

即令

(四)参数方程的应用(例题分析)
? x ? 3 cos? 例 1. 参数方程普通方程互化(1) ? ? y ? 5 sin ?
y2 (2) x ? 2 ? 1 16
2

? x ? 8 cost 例 2. 练习:参数方程普通方程互化 (1) ? ? y ? 10sin t

(2)

x2 y2 ? ?1 6 9

例 3.在椭圆 x 2 ? 8 y 2 ? 8 上求点 P,使 P 到 L:x-y+4=0 的距离最小。 分析 1: (目标函数法)设 P(x,y)为椭圆上任一点,由 x 2 ? 8 y 2 ? 8 得
x ? ? 8 ? 8 y 2 ,则 P 到 L 的距离

d?

| ? 8 ? 8y2 ? y ? 4 | 2

再想办法求最值,但太繁不可取。 分析 2: (几何法)把直线 L 平移到 L1 与椭圆相切, 此时切点 P 为所求的点。即设 L1:x-y+m=0,

?x ? y ? m ? 0 由? 2 , 2 ? x ? 8y ? 8
整理得 9y2-2my+m2-8=0. 由△=4m2-4·9(m2-8)=0 得 m=±3. 如图可知 m=3 时最小. 可计算平行 线间的距离,
y L x L1

d?

| 4?3| 2

?

8 1 2 ,此时 P(- , ) 3 3 2

分析 3: (参数法)设 P(2 2 cos ? ,sin ? ) ,则有

d?

| 2 2 cos? ? sin ? ? 4 | 2

?

| 3 sin(? ? ? ) ? 4 | 2
2 , 2

,其中 tan? ? 2 2

当? ?? ? ?

?
2

时,d 有最小值

则 cos? ? ? sin ? ? ?

1 8 1 2 2 , sin ? ? cos ? ? 即 P(- , ) 3 3 3 3

方法小结: (1)本题运用参数方程比普通方程简单 (2)当直接设点的坐标不易求解时,可尝试建立参数方程 例 4.P(x,y)为椭圆
x2 ? y 2 ? 1 上任一点,求 2x+y 的最大值。 4

? x ? 4 cos? 例 5.设椭圆 ? (?是参数) 上一点 P,使 OP 与 x 轴正向所成 ? y ? 2 3 sin ?
角∠POX=

? ,求 P 点坐标。 3

分析:本题容易产生错误:认为 ? =

? ,代入椭圆参数方程 3

x=2,y=3,从而 P(2,3) 。 事实上,若注意 P 对应参数 ? 与∠POX 关系,可避免此误。 ? 解:设 P( 4 cos ? , 2 3 sin ? ) ,由 P 与 x 轴正向所成的角为 , 3

? tan

?
3

?

2 3 sin ? ,即 tan ? =2. 4 cos?

而 sin ? >0,cos ? >0,

? cos ? =

5 2 5 4 5 4 15 , sin ? = , ) 。 ? P 点坐标为( 5 5 5 5

(四)教学小结:
1.坐标法推导出椭圆的参数方程,学习了 a、b、 ? 的几何意义 2.通过学习,完善了对椭圆的认识。椭圆的两个定义及两种方程都是 等价的。 3.参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的。 4.通过学习增强运用参数解题的意识。

(五)补充练习
1.点 P 在椭圆 7x2+4y2=28 上,则点 P 到直线 3x-3y-16=0 的距离的最大值 为( ) A.
12 13 13

B.

16 13 13

C.

24 13 13

D.

28 13 13

2.P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,F1、F2 是两个焦点,且满足 PF1 ? PF2 2

的点 P 有( A.1 个

) B.2 个

C.3 个

D.4 个 )

3.已知直线 y=kx-1 与椭圆 A.a+4k2=-1

x2 y2 ? ? 1 相切,则 k,a 之间关系式为( 4 a

B. 4k2-a=1

C.a-4k2=1

D.a+4k2=1

4.点 P(0,1)到椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上点最大距离是________ 2

5.设 a 为大于 0 的常数,椭圆 x2-2ax+a2y2=0 的长轴长是短轴长的 2 倍,则 a 的值为 1 1 A. B. 2 C. 2 或 D. 2 2 2 6.已知点 P 在圆 x2+(y-4)2=1 上移动,点 Q 在椭圆 求|PQ|的最大值
x2 ? y 2 ? 1 上移动, 4

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x-y+6=0 的距离的最小值。 7.求椭圆 3

(参考答案:1.C

2.B 3.D 4. 2

5.C

6. 4

| 2 sin( ? ? ) ? 6 | 3 提示 7.设点( 3 cos ? ,sin ? ) ,则 d ? 2

?

当 sin(

?
3

? ? ) = -1 时,d

最小值

=2 2 )


相关文章:
高二数学北师大版选修4-4《椭圆的参数方程》教案
三维目标 过程与方法:能根据椭圆的几何条件,写出椭圆的参数方程及参数的意义 情感,态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 提炼的课题 教学...
《椭圆的参数方程(1)》教学案
椭圆的参数方程(1)》教学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.12《椭圆的参数方程》教学案 一、学习目标: (1).椭圆的参数方程. (2).椭圆的参数方程与...
《椭圆的参数方程》教学案
椭圆的参数方程教学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.12《椭圆的参数方程教学案 一、学习目标: (1).椭圆的参数方程. (2).椭圆的参数方程与普通...
椭圆参数方程教学设计
椭圆参数方程教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修4-4 椭圆的参数方程教学设计王丽萍一、基本说明 1 、 教学内容所属模块:选修 4-4 2 、 年级:高二...
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程 教学目标: 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义, 并能利用参数方程来求最值、 轨迹问题; 2.通过椭圆参数方程的推导过程,培养学生数形结合思想,化...
《椭圆的参数方程》教学案3
椭圆的参数方程教学案3 一、 教材分析 1、教材的地位和作用 相对于曲线的一般方程, 参数方程是曲线的另一种代数表现形式, 在某些方面具有一定 的优越性,而...
2.2.1椭圆的参数方程(教学设计)
SCH 南极数学高中同步教学设计 人教 A 版选修 4-4《坐标系与参数方程》 2.2.1 椭圆的参数方程(教学设计) 教学目标: 知识与技能:了解椭圆的参数方程及参数的...
《椭圆的参数方程》教学案2
椭圆的参数方程教学案2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《椭圆的参数方程教学案 2 【教学目的】 1. 通过探究活动,了解椭圆参数方程及椭圆规的设计原理;...
《2.3.1 椭圆的参数方程》教学案2
《2.3.1 椭圆的参数方程教学案2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《2.3.1 椭圆的参数方程教学案2 一、学习目标: (1).椭圆的参数方程. (2).椭圆...
《2.3.1 椭圆的参数方程》教学案1
《2.3.1 椭圆的参数方程教学案1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《2.3.1 椭圆的参数方程教学案 1 教学目标: 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及...
更多相关标签: