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平面向量的加法 (1)


复习引入:

1、什么叫向量?一般用什么表示?
既有大小又有方向的量叫向量,一般用有向线段表示。

2、向量的模、零向量、单位向量
向量的大小(长度)称为向量的模 、

长度为0的向量叫零向量,方向是任意的.
长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.

3、平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量叫平行向量, 0 与任意向量平行。



4、什么叫相等向量?
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

情境:兄弟俩同拉一箱子
(1)两人齐心协力,方向相同

合力

向量的和

f1

F

合力F与f1、f2同向
且|F | = | f1 | + | f2 | 合力F与f1、f2不同向 且| F | 〈 | f1 | + | f2 | 若| f1 | 〉 | f2 | ,则合力F与 f1同向且| F = | f1 | - | f2 | ; 若| f1 | 〈 | f2 | ,则合力F与 同向且| F | = | f2 | - | f1 |

f2 (2)两人意见分歧,方向不同 f1 f2 (3)两人背道而驰,方向相反 F

f1

F

f2

一、向量的加法
1、定义:求两个向量的和向量的运算叫向量的加法。

2、平行四边形法则

D
a a a a a a a a a a
a+b b

b
a

C

b

b

b

b

A

B

3、三角形法则
a a a a a a a a a a b O

A
b b
b

b b

B

a+b

b
同方向共线

b
a a b

b

首尾相接,首尾连
a a 异方向共线 b a b a+b b a+b a A C B

a a a+b A B

b b C

注:a? 0 ? 0? a ? a

探究:向量和的特点:

(1)两个向量的和仍是一个向量. ( 2 )“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终 点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加 (“首尾相接,首尾连”)

练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形 法则作出 a ? b
(1)

b a
(3)

(2)

b a
(4)

a
b

a

b

解答:
(1) (2)

a

b

a?b
a
(3)

b

a?b
a?b
a
b

a?b

(4)

a

b

练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四 边形法则作出 a ? b
( 1)

b

a

(2)
b a

解答:
(1)

a ?b
b a

a
b

(2)

a b a

a ?b

b



二、性质
a + b = b +a 1、交换律:
→ → → → → →

a



b



→ → ( ( a + b ) + c = a + b +c ) 2、结合律:

a +b → b → a







→ →

c a +b + c → → a +b → → a b




→ → →

a+b+c




→ →

b+c

c


a

b

从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的 组合来进行

例1、化简:
(1)AB ? CD ? BC = AD



(2) MA ? BN ? AC ? CB = MN → (3)AB ? BD ? CA ? DC = 0

?

?

? ?

?

?



首尾相接,首尾连

例2.一艘船以 2 3km/h的速度和垂直于对岸的方向行驶,同
时,河水的流速为 2km/h ,求船实际航行速度的大小与方向 (用与流速间的夹角表示). C

解: 如图,设 AD 表示船速, AB 表示水的流速,D
以AB,AD为邻边作 实际航行速度. ABCD, 则 AC 是船的

在 Rt?ABC 中, AB ? 2

BC ? 2 3
2 2

? AC ?

AB ? BC ? 2 ? ?2 3 ? ? 4
2 2

A

? tan ?CAB ?

2 3 ? ? 3 ? ?CAB ? 60 2

B

答:船实际航行速度为 4km/h ,方向与流速间的夹角为 60? .

五、小结
1 向量加法法则:



a +b






a

b



a

b



a +b → b → a



三角形法则

平行四边形法则

2 运算性质:

a?b ?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) a?0 ? 0?a ? a

思考 : 试用向量方法证明:

对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知:四边形ABCD,对角线AC与BD交于 O,AO=OC,DO=OB。 求证 :四边形ABCD是平行四边形 D C 证: 如图,由向量加法法 O 则,有 AB ? AO ? OB DC ? DO ? OC B 又已知AO ? OC , DO ? OB A

? AB ? DC 即AB 与DC平行且相等 ? ABCD为平行四边形

再见!


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