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等差数列的概念与等差数列的通项公式 教案


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等差数列的概念与等差数列的通项公式 2000/2/19 上午(第 4、5 节) 班级 北京四中高二数学 B2、B4 班

[教学目标] 通过教学使学生理解等差数列的概念, 学会从数列的通项公式识别等差数列, 并能够初步运 用等差数列的通项公式解决一些简单问题。 [教学设计] (继续完成上节课没有完成的内容。 ) 1.回顾数列的前 n 项和与数列通项的关系 Sn = a1 + a2 + … + an 称为数列的前 n 项和。由此,得

S1 = a1 Sn = Sn-1 + an (n ≥ 2) 。 实际上,数列的前 n 项和构成了一个新的数列,上式给出了这个数列的一个递推关系。 例1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = 2n +1, 求数列{an}的通项公式。 更一般地, 如果 Sn = an + b (a、b 为常数)呢?an 有什么共同特点? 例2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = 2n2 + n, 求数列{an}的通项公式。 更一般地, 如果 Sn = an2 + bn (a、b 为常数)呢?an 有什么共同特点?如果 Sn = 2n2 + 1 (a、b 为常数)呢? an 有什么不同? 2.等差数列的概念 教法选择 1: 研究一个问题,总是易于从最简单的情形入手,对数列的研究也是这样。 问题 1:什么样的数列是最简单的数列呢?从不同的角度出发,可以有不同的回答。如果从 函数的观点来看,一次函数应该是最简单的了,所以,我们可以从 an = an + b (a、b 为常 数)型的数列开始。这样的数列有什么特点呢?我们来观察这个数列的前几项。 学生回答:a1 = a + b,a2 = 2a + b,a3 = 3a + b,a4 = 4a + b,a5 = 5a + b,…,an = an + b,… 从第二项开始,后一项比前一项多一个 a。 回到书上的定义:从第二项开始,每一项与前一项的差是常数的数列称为等差数列,这个常 数称为等差数列的公差。实际上,由定义可知,等差数列是具有以下递推关系的数列 an = an - 1 + d,n ≥ 2 问题 2:等差数列的通项公式是否有上述形式? 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则由等差数列的定义,得 a2 = a1 + d,a3 = a1 + 2d,a4 = a1 + 3d,…,an = a1 + (n-1)d = (a1 - d)+ nd。 也可以通过将 a2 - a1 = d,a3 - a2 = d,a4 - a3 = d,…,an - an - 1 = d 迭加得到。 上面的分析说明: 定理:数列{an}是等差数列当且仅当 an = an + b (a、b 为常数) 。 (判断一个数列是等差数列的方法。 ) 例 1 设等差数列{an}的公差为 d,试用 an 表示 am。 例 2 设等差数列{an}的公差为 3,a10 = 100,求 a5, a50。 (85,220) 例 3 设{an}是等差数列,a3 + a7 = 30,求 a2 + a8,a1+ a9,a5。 例 4 设{an}是等差数列,i + j = u + v,则 ai + aj = au + av。 教法选择 2:

1

观察下面数列,并说明有什么共同特点: 1,2,3,4,5,6,7,…,n,… 3,6,9,12,15,…,3n,… -5,-3,-1,1,3,5,… 0,-2,-4,-6,-8,-10,… 归纳出等差数列的定义,然后回到教法选择 2 的轨道。 作业:p130 1、2、3 思考:数列{an}满足,对任意自然数 i + j = u + v 都有 ai + aj = au + av,那么{an}是不是等差 数列? 注记: 按照教法选择 1 讲的,没有讲提到的定义。

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