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考点22 数列的概念与简单表示法


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考点 22
一、选择题

数列的概念与简单表示法

1.(2012·北京高考文科·T8)与(2012·北京高考理科·T8)相同 某棵果树前

n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看, 前 m 年的年平均产量最高,m 的值为(
Sn



O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n

(A)5

(B)7

(C)9

(D)11

【解题指南】利用年平均产量的几何意义,为点 (n, Sn ) 与原点连线的斜率,求最 值.
Sn 【解析】 选 C.年平均产量是 n 的几何意义为点 (n, Sn ) 与原点连线的斜率, 由图可

知,当 n ? 9 时,斜率最大.因此 m ? 9 . 二、解答题 2. (2012· 湖南高考理科· T19) 已知数列{an}的各项均为正数, 记A (n) =a1+a2+… +an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
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(1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) ,B(n) ,C(n)组成等差 数列,求数列{an}的通项公式. (2) 证明: 数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是: 对任意 n∈ N * , 三个数 A(n) ,B(n) ,C(n)组成公比为 q 的等比数列. 【解析】 (1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C(n) 是等差数列,所以
B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n),
?

即 an?1 ? a1 ? an?2 ? a2 , 亦即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3. (2)①必要性:若数列 ?an ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? an q. 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于0,于是

B (n) C (n) 即 A( n) = B ( n ) = q ,所以三个数 A(n), B(n), C(n) 组成公比为 q 的等比数列.

②充分性:若对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C(n) 组成公比为 q 的等比数列, 则
B( n? ) q A ( ) n ,? C ( n) , q B ( ) n

?

于是 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ),
qa a? qa ?? a2 a1a .1. q 2 ? 2 ? ?n 2?? n?n 1?1 即 ana

由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 .

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an ? 2 a2 ? ?q a ? 0 a a n n ? 1 1 因为 ,所以 ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列,

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡, 三个数 A(n), B(n), C(n) 组成公比为 q 的等比数列.

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