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选修4-4教案18x21


第一讲 坐标系
§1.1.1 平面直角坐标系 教学目标: (1)学会用坐标法来解决几何问题。 (2)能用变换的观点来观察图形之间的因果联系,知道图形之间是可以类与类变换的。 教学重点:应用坐标法的思想解决集合问题。 教学难点:掌握坐标法的解题步骤与应用。通过典型习题的讲解、剖析,及设置相关问 题引导学生思考来突破难点。 教学方法:探究法、讲授法 教学过程: 一、课题导入: 通过直角坐标系,平面上的点与坐标(有序实数对) 、曲线与方程建立了联系,从 而实现了数形结合。根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方 程研究它的性质与其他几何图形的关系,这就是研究几何问题的坐标法。 下面我们先回顾直角坐标系中解决问题的过程,体会坐标法在实际问题中的应用。 二、新知探究: 思考:声响定位问题 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同 时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚 4s,已知各观测点到 中心的距离都是 1020m,试确定该巨响的位置。 (假定当时声音传播的速度为 340m/s, 各相关点均在同一平面上)(2004 年广东高考题) 解:以接报中心为原点 O,以 BA 方向为 x 轴,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别 是西、东、北观测点,则 A(1020,0),B(-1020,0) C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 B、C 同时听到巨响声,得|PC|=|PB|,故 P 在 BC 的 垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 A 点比 B 点晚 4s 听到爆炸声,故|PA|- |PB|=340×4=1360

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由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线
a ? 680 , c ? 1020 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 1020 2 ? 680 2 ? 5 ? 340 2 故双曲线方程为 x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0) 2 680 5 ? 340 2

x2 a
2

?

y2 b2

?1

上,

用 y=-x 代入上式,得:x ? ?680 5
? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即P ( ?680 5 ,680 5 ), 故PO ? 680 10

,∵∣PA∣>∣PB∣

答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10 m 处。 总结:解决此类应用题的关键: 建系-设点(点与坐标的对应)-列式(方程与坐标的对应)-化简-说明 三、知识应用: 例:已知△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2=5a2,BE、CF 分别为边 AC、CF 上的 中线,建立适当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系。 (具体解答过程见教材 P4) 四、知识归纳: 你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐标系下解决问题 的过程,建立直角坐标系应注意什么问题? 建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系。 (1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 五、课堂练习:达标 P3 知识点与基础练习 六、小结: 体会坐标法的思想,应用坐标法解决几何问题 七、作业:P8 1、2 教学后记:

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§1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标: (1)能用变换的观点来观察图形之间的因果联系,知道图形之间是可以类与类变换的。 (2)掌握变换公式,能求变换前后的图形或变换公式。 教学重点:掌握变换公式。 教学难点:掌握、体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、剖析,及设置相关 问题引导学生思考来突破难点。 教学方法:探究法、讲授法 教学过程: 一、课程导入: 上一节课我们进一步理解和体会了坐标法在实际问题中的应用, 这一课时我们来研 究坐标的变换问题。 二、新知探究: 1、提出问题: (1)怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=sin2x? (2)怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。 (3)怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 2、探究结果: (1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为原 来的 1/2,就得到正弦曲线 y=sin2x。 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即: 设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 保持纵坐标不变, 将横坐标 x 缩为原来 1/2, 得到点 P’(x’,y’).坐标对应关系为: y y=sin2x 如右图: 2 坐标对应关系为: y=sin x x?=1/2 x ① 2π y?=y O x π

-2
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通常把 ①叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 (2)在正弦曲线上任取一点 P(x,y) ,保持横坐标 x 不变, 将纵坐标伸长为原来的 3 倍, 就得到曲线 y=3sinx。 设点 P(x,y)经变换得到点为 P?(x?,y?) x?=x ② y?=3y 通常把②叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。 (3)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为原来的 1/2,在此基础上,将纵坐标变为原来的 3 倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点 P(x,y)经变换得到点为 P?(x?,y?) x?=1/2 x ③ y?=3y 通常把③叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。 3、知识总结归纳: 定义:设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换 x?=λx (λ>0) ④ φ: y?=μy (μ>0) 的作用下,点 P(x,y)对应 P?(x?,y?)。称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 注: (1)λ >0,μ>0; (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。 三、知识应用与练习 1、在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x?=x y?=3y 后的图形。 (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1

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2、在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换:曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x?2+y?2=1 思考:在伸缩④下,椭圆是否可以变成圆?抛物线,双曲线变成什么曲线? 四、小结:掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。 五、作业:P8 4、5 教学后记:

§1.2.1 极坐标系的概念 教学目标: 1、理解极坐标的概念,弄清极坐标系的结构( 建立极坐标系的四要素) ; 2、理解广义极坐标系下点的极坐标(ρ ,θ )与点之间的多对一的对应关系; 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点,以及已知点能写出它的极坐标。 教学重点:极坐标系的理解与应用 教学难点:极坐标系的概念。加强与直角坐标系的联系理解极坐标系的概念,通过实例 的应用与分析突破难点。 教学方法:探究法、讲授法 教学过程: 一、课题导入: 思考定位问题,上一节的问题中,外面用“在信息中心的西偏北 45°方向,距离 680 10 m 处”描述了巨响的位置,这种描述方式与我们以往所学的直角坐标系定位 有什么关系呢?先我们一起来探究一个问题——导入探究问题。 二、新知探究: 实验楼 D C 图书馆 思考:右图是某校园的平面示意图, 假设某同学在教学楼处,请回答下列问题: (1) 你会怎样描述图书馆、体育馆、 120m 办公楼 办公楼、实验楼的相对位置?这些描述的对 E 45 应位置是否惟一确定? 50m 60 ° B 体育馆 A ° 60m 教学楼 第 5 页 共 53 页

(2)他向东偏北 60°方向走 120m 后到达什么位置?该位置惟一确定吗? (3)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述? 探究结果: (1)方位描述与直角坐标描述,位置是惟一确定。 (2)到达图书馆,该位置惟一确定。 (3)正东方向 60m 处与西北方向 50m 处。 重点在于加强直角坐标系中的有序实数对表示点的坐标, 为极坐标系的引入奠定基 础。 M(ρ,θ) (一)极坐标系的建立: ρ 在平面内取一个定点 O,叫做极点。 引一条射线 OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及 θ 它的正方向(通常取逆时针方向) 。 O x 这样就建立了一个极坐标系。 (二)极坐标的表示与注意点: 对于平面上任意一点 M,用 ? 表示线段 OM 的长度,用 ? 表示从 OX 到 OM 的角 度,? 叫做点 M 的极径,? 叫做点 M 的极角,有序数对(?,?)就叫做 M 的极坐标。 特别强调: ? 表示线段 OM 的长度, 即点 M 到极点 O 的距离; ? 表示从 OX 到 OM 的角度,即以 OX(极轴)为始边,OM 为终边的角。 三、知识应用: 例 1:如图,在极坐标系中,写出 A、B、C 的极坐标,标出点 D(2,π /6) ,E(4, 3π /4) ,F(3.5,5π /3)所在的位置。 D C 标出点 G(4,11π /4) ,H(4,-5π /4)所在的位置。 具体解答详见教材 P9 例 2:在右图中,用点 A、B、C、D、E 分别 120m 表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的 E 位置,建立适当的极坐标系,写出个点的极坐标。 45° 50m 60° B x A(O) 60m
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具体解答详见教材 P10 特别规定: 当 M 在极点时,它的极坐标 ?=0,? 可以取任意值。 思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况: 1、给定(?,?),就可以在极坐标平面内确定唯一的一点 M。 2、给定平面上一点 M,但却有无数个极坐标与之对应。 一般地,若(ρ ,θ )是一点的极坐标,则(ρ ,θ +2kπ )、都可以作为它的极坐标。 如果限定ρ >0,0≤θ <2π 或-π <θ ≤ π ,那么,除极点外,平面内的点和极坐标 就可以一一对应了. 四、课堂练习:P12 1、2 五、小结: 1、建立一个极坐标系需要哪些要素:极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正 方向。 2、极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式?无数种。是因为极角引起的。 3、一点的极坐标有否统一的表达式?有。 (ρ ,2kπ +θ ) 六、作业: 教学后记:

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§1.2.2 极坐标系与直角坐标系的互化 教学目标: 1、掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 2、会实现极坐标和直角坐标之间的互化 教学难点:对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学重点:互化关系式的掌握 教学方法:探究法、讲授法 教学过程: 一、课题导入: 1、导入练习:在极坐标系中描出下列各点:
A (3, ) 6

?

B (2, ) 2

?

C (1, ? ) 2

?

D (?3, ) 4

?

E (2,

3? ) 4

F (2, ?

5? ) 4

G (2,

11? ) 4

2、问题: 极坐标系是怎样定义的?极坐标系与直角坐标系有何异同? 二、新知探究: 思考: 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ),这个点如何用极坐标表示? 探究结果: 在直角坐标系中,以原点作为极点, y x 轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系 中取相同的长度单位。 点 M 的直角坐标为(1,3 ) ,设点 M 的极坐标为(ρ ,θ )
2 ? ? 12 ? ( 3) ?2

M

tan ? ?

极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点 M 的直角坐标是 (x, y),极坐标是 (ρ ,θ ) x=ρ cosθ , y=ρ sinθ

3 ? 3 1

? O

x

? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ?

y ( x ? 0) x

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互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 三、知识应用: 2? ) 化成直角坐标。 例 1. 将点 M 的极坐标 (5, 3 2? 5 解: 2? 5 3

x ? 5cos

3

??

2

y ? 5sin

3

?

2

所以, 点 M 的直角坐标为 ( ? 5 , 5 3 )

2

2

例 2. 将点 M 的直角坐标 (? 解:

3, ?1)化成极坐标。
tan ? ? ?1 3 ? 3 ? 3

2 ? ? (? 3) 2 ? (? 1 ) ?2

因为点在第三象限, 所以 ? ? 因此, 点 M 的极坐标为 (2,

7? ) 6

7? 6

四、课堂练习: 1、已知下列点的极坐标,求它们的直角坐标。

2、已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.

A (3, ) 6

?

B (2, ) 2

?

C (1, ? ) 2

?

3 ? D ( , ) 2 4
D (0, ?2)

E (2,

3? ) 4

A (3, ? 3)

B (1, 3)

C (5, 0)

五、小结:掌握极坐标和直角坐标的互化 六、作业:

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§1.3.1 圆的极坐标方程 教学目的: 1、认识曲线的极坐标方程的条件,比较与曲线与直角坐标方程的异同。 2、掌握各种圆的极坐标方程。 3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形 教学重点:总结怎样求极坐标方程的方法与步骤 教学难点: 极坐标方程是涉及长度与角度的问题, 列方程实质是解直角或斜三角形问题, 要使用旧的三角知识。 教学方法:探究法、讲授法 M(ρ,θ) ρ 教学过程: θ 一、复习引入 O C(a,0) A 1、复习:曲线的方程概念:…… 2、讨论回答:曲线的极坐标方程概念:…… 二、新知探究: 如图,半径为 a 的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点的 极坐标(?,?)满足的条件? 思路分析: 1、先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴 2、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来 ?、? 即明确长度 ? 与 角度 ? 是哪一边,哪一个角 3、找边与角能共存的三角形,最好是直角三角形 4、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式 5、列式时要充分利用所给的圆心与半径的条件 6、引出指明极坐标方程的条件 探究总结:曲线的极坐标方程 定义:如果曲线C上的点与方程 f(?,?)=0 有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程 f(?,?)=0 ; (2)方程 f(?,?)=0 的所有解为坐标的 点都在曲线C上。 则曲线C的方程是 f(?,?)=0 。
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三、知识应用: 1、怎样求曲线的极坐标方程? 与直角坐标系里的情况一样,求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点P的坐标 ? 与 ? 之间的关系,然后列出方程 f(?,?)=0 ,再化简并说明。 2、例题分析: 例 1 已知圆 O 的半径为 r,建立怎样的坐标系,可以使圆的极坐标方程更简单? (详细解答见教材 P13) 四、课堂练习: 1、求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为 2; (2)中心在C(a,0) ,半径为a; (3)中心在C(a,?/2) ,半径为a; (4)中心在C(?0,?0) ,半径为r。 2、极坐标方程分别是ρ =cosθ 和ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是多少 ? 五、课堂小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程 六、作业: 教学后记:

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§1.3.2 直线的极坐标方程 教学目标:理解曲线的极坐标方程概念,掌握直线的极坐标方程 教学重点:曲线的极坐标方程的概念,根据条件求直线的极坐标方程 教学难点:直线的一般极坐标方程及其反用. 教学方法:探究法、讲授法 教学过程: 一、课题导入: 1、思考:在平面直角坐标系中 1) 、过点(3,0)且与 x 轴垂直的直线方程为 x=3 ;过点(3,3)且与 x 轴垂直的直线方 程为 x=3 。 2) 、过点(a,b)且垂直于 x 轴的直线方程为__x=a__ 归纳特点:所有点的横坐标都是一样,纵坐标可以取任意值。 2、怎样求曲线的极坐标方程? 与直角坐标系里的情况一样,求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点P的坐标 ? 与 ? 之间的关系,然后列出方程 ?(?,?)=0 ,再化简并讨论。 二、新知探究: 探究:求过极点,倾角为 的射线的极坐标方程。 ? 分析: 4 如图,所求的射线上任一点的极角都是 , ? 其极径可以取任意的非负数。故所求直线的 ? 4 极坐标方程为 ? ? ( ? ? 0) 4 思考: 5 5? 1、求过极点,倾角为 的射线的极坐标方程。易得 ? ? ? ( ? ? 0)
4

5 ? ? 或? ? ? 2、求过极点,倾角为 的直线的极坐标方程。 4 4 4 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来, 极坐标系里的直线表示起来 很不方便,要用两条射线组合而成。原因在哪? 为了弥补这个不足,可以考虑允许通径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方 程可以表示为: ? 5 ? ? ( ? ? R ) 或 ? ? ? ( ? ? R) ? ? 0

?

?

4

4

4

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三、知识应用: 1、例题 2 求过点 A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直线 L 的极坐标方程。 (详细解答过程见教材 P14) 总结: 求直线的极坐标方程步骤 1) 、据题意画出草图; 2) 、设点 M(ρ,θ) 是直线上任意一点; 3) 、连接 MO; 4) 、根据几何条件建立关于 ρ,θ 的方程, 并化简; 5) 、检验并确认所得的方程即为所求。 2、例题 3 设点 P 的极坐标为(?1,?1) ,直线 L 过点 P 且与极轴所成的角为 α, 求直线 L 的极坐标方程。 (详细解答见教材 P14) 四:课堂小结: 直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点,且垂直于极轴 3、过某个定点,且与极轴成一定的角度 五、作业 教学后记:

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§1.3.3 柱坐标系与球坐标系 教学目标: 1、借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法, 2、并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别。 教学重点:柱坐标系、球坐标系概念的理解与应用 教学难点:用柱坐标、球坐标表示空间的点 教学方法:探究法、讲授法 教学过程: 一、课程导入: 建立平面(或空间)直角坐标系后,平面上(或空间)的点可以用直角坐标表示; 建立极坐标系后,平面上的点可以用极坐标表示。类似地,是否建立空间极坐标系,用 极坐标表示空间的点呢? 二、新知探究: z 1、阅读教材 P16-18,回答以下问题: P(ρ,θ,z) 1)柱坐标系的定义?如何用柱坐标系描述空间的点? 2)球坐标系的定义?如何用球坐标系描述空间的点? 2、探究结果: O 1) 、设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q, θ y 用(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ <2π )表示点在平面 oxy 上的 ρ 极坐标。点 P 的位置可用有序数组(ρ ,θ ,Z)表示。 x Q 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点 P 的柱坐标,其中ρ ≥0, 0≤θ <2π , -∞<Z<+∞ 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部 分建立起来的. z 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ ,θ ,Z)之间的变换关系为: P(r,φ,θ) φ r

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin? ? z?z ?

O θ x ρ y Q

2) 、设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影
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为 Q。连接 OP,记| OP |=r,OP 与 OZ 轴正向所 夹的角为φ ,P 在 oxy 平面的射影为 Q。 Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为θ ,点 P 的位置可以用有序 数组(r,φ ,θ )表示,我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。有 序数组(r,φ ,θ )叫做点 P 的球坐标,其中, 。 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ ,θ )之间的变换关系为:

? x ? r sin? cos ? ? ? y ? r sin? sin? ? z ? r cos ? ?

r ? 0, 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? 2?

三、知识应用:P17、P18 思考 四、小结: 教学后记:

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第二讲 参数方程 §2.1.1 参数方程的概念 导学目标: 知识与技能:掌握曲线参数方程的意义。 过程与方法: 通过对一架救援飞机在投放救灾物质的分析引出参数方程的概念,并理解 参数的有关意义。 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:掌握参数方程的意义, 导学难点:参数的合理选择及其意义。 导学策略: 教学方法:诱思探究教学法 教学手段:多媒体辅助教学 导学过程: 1 引入 如图,一架救援飞机在离灾区地面 500m 高处以 100m/s 的速度作水平直线飞行。为使 投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力) ,飞行员应如何确定投放时机 呢? 分析:求飞行员在离救援点的水平距离多远时,开始投放物资?建立直角坐标系 物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: (1)沿 ox 作初速为 100m/s 的匀速直线运动; (2)沿 oy 反方向作自由落体运动。 解:物质出舱后,设在时间 t 的位置 M(x,y),即水平距离为 x,垂直高度为 y,所以

? x ? 100t , ? ? 1 y ? 500 ? gt 2 . ? ? 2

( 1 )

y 500

v=100m/s

M o x

令 t=0 得,t=10.10 代入上式,得 x=1010m 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为 1010m 时投放物质时,可以使其准确落在指定位置。

水平距离

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2、新课 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函 数

? x ? f (t ), ? ? y ? g (t ).

(2)

并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么 方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 参数是联系变数 x,y 的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有 明显实际意义的变数。 例 1: 已知曲线 C 的参数方程是
? x ? 3t , (t为参数) ? 2 ? y ? 2t ? 1.

(1)判断点 M1(0,1) ,M2(5,4)与曲线 C 的位置关系; (2)已知点 M3(6,a)在曲线 C 上,求 a 的值 解略 3、练习

? x ? 1? t2 , (t为参数) 与 x 轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 ? ? y ? 4t ? 3 25 25 A、 (1,4) B、 ( , 0); C、 (1,-3) D、 (? , 0); 16 16 ? x ? sin ? , (? 为参数) 所表示的曲线上一点的坐标是 ( C) 2、方程 ? ? y ? cos ? 1 2 1 1 A、 (2,7) B、 ( , ); C、 D、 (1,0) ( , ); 3 3 2 2 ? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) 点 M(5,4) 在该 曲线上 . 3 、已知曲线 C 的参数方程是 ? 2 ? y ? at .
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(1)求常数 a; (2)求曲线 C 的普通方程. 解:(1) ?

?5 ? 1 ? 2t ,
2 ? 4 ? at .

解得,a=1,t=2 ,由此,∴a=1

(2) 由已知及(1)可得,曲线 C 的方程为:

? x ? 1 ? 2t , (t为参数) , 消除 t,得 ? 2 ?y ? t .

( x ? 1)2 ? 4 y为所求
思考题:动点 M 作等速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的速度分别为 5 和 12,运动开 始时位于点 P(1,2) ,求点 M 的轨迹参数方程。 解:设动点 M(x,y)运动时间为 t,依题意,得 ? 所以,点 M 的轨迹参数方程为 ?
? x ? 1 ? 5t ? y ? 2 ? 12t

? x ? 1 ? 5t (t 为参数) ? y ? 2 ? 12t

4、曲线的参数方程的理解与认识 (ⅰ)参数方程的形式; 横、纵坐标 x 、 y 都是变量 t 的函数,给出一个 t 能唯一的求出对应的 x 、 y 的值, 因而得出唯一的对应点;但横、纵坐标 x 、 y 之间的关系并不一定是函数关系。 (ⅱ)参数的取值范围; 在表述曲线的参数方程时,必须指明参数(有时指出参数的取值范围) (ⅲ)参数方程与普通方程的统一性; 普通方程是相对参数方程而言的, 普通方程反映了坐标变量 x 与 y 之间的直接联系, 而参数方程是通过变数反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系; 普通方程和参数方程是同 一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化。 (ⅳ)参数的作用; 参数作为间接地建立横、纵坐标 x 、 y 之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用。 (ⅴ)参数的意义。 如果参数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理 意义, 可以给问题的解决带来方便。 即使是同一条曲线, 也可以用不同的变数作为参数。 ) 4、小结:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变

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数 t 的函数 ?

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值, 由方程组所确定的点 M(x,y)都在这 ? y ? g (t ). ? x ? f (t ), 的解 ? y ? g (t ).

条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简 称参数。 即:曲线 C 5、作业:P26 1、2、3 六、反思: 方程组的 ?

§2.1.2 圆的参数方程(一) 导学目标: 知识与技能: 学会求圆的参数方程。 过程与方法: 能选取适当的参数,求圆的参数方程 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:掌握圆的参数方程的推导方法和结论, 导学难点:选择适当的参数写出圆的参数方程。 导学策略: 教学方法:诱思探究教学法 教学手段:多媒体辅助教学 导学过程: 1、圆的参数方程的推导 (1)一般的,设⊙ O 的圆心为原点,半径为 r , OP0 所 在直线为 x 轴,如图,以 OP0 为始边绕着点 O 按逆时针方向绕原点以匀角速度 ? 作圆
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周运动,则质点 P 的坐标与时刻 t 的关系该如何建立呢?(其中 r 与 ? 为常数, t 为变 数) 结合图形,由任意角三角函数的定义可知:

? x ? r cos?t t ? [0,??) t 为参数 ① ? ? y ? r sin ?t (2)点 P 的角速度为 ? ,运动所用的时间为 t ,则角位移 ? ? ?t ,那么方程组①可
以改写为何种形式? 结合匀速圆周运动的物理意义可得: ?

? x ? r cos? ? y ? r sin ?

? ? [0,??) ? 为参数



(3)方程①、②是否是圆心在原点,半径为 r 的圆方程?为什么? 由上述推导过程可知: 10 对于⊙ O 上的每一个点 P( x, y ) 都存在 ? 的值,使 y ? r sin? , x ? r cos? 都成 立。 20 对于变数 ? 的每一个允许值,由方程组所确定的点 P( x, y ) 都在圆上; (4)若要表示一个完整的圆,则 ? 的最小的取值范围是什么呢?

s ? x ? rc o? ? ? ? y ? rs in

? ? [0,2? )

(5)圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①(或②)叫做⊙ O 的参数方程,变数 t (或 ? )叫做参数。 (6)圆的参数方程的理解与认识 (ⅰ)参数方程 ?

? x ? 3 cos? ? y ? 3 sin ?

? ? [0,2? ) 与 ?

? x ? 3 cos? ? y ? 3 sin ?

? ? ? [0, ] 是否表
2

示同一曲线?为什么? (ⅱ) 根据下列要求, 分别写出圆心在原点、 半径为 r 的圆的部分圆弧的参数方程:
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①在 y 轴左侧的半圆(不包括 y 轴上的点) ; ②在第四象限的圆弧。 (7) 圆心不在原点的圆的参数方程 问:怎样得到圆心在 O1 (a, b) ,半径为 r 的圆的参数方程呢? 可将圆心在原点、 半径为 r 的圆按向量 v ? (a, b) 平行移动后得到,所以圆心在 O1 (a, b) , 半径为 r 的圆的参数方程为
? x ? a ? r cos ? , (? 为参数) ? ? y ? b ? r sin ? .
?

2、例题 例 1: 如图,圆的半径为 2,P 为圆上的动点,Q(6,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中 点, 当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时, 求点 M 的轨 y 迹的参数方程。 P 分析 取 ∠xOP=θ为参数,则圆 O 的参数方程 M Q θ ? x ? 2 cos ? x O (? 为参数) ,当θ变化时,动点 为?

? y ? 2sin ?

P 在定圆 O 上运动,线段 PQ 也随之变动,从而 使点 M 运动,因而,点 M 的运动可以看成是由 角θ决定的,于是,选θ为参数比较合适合的。 解 设点 M 的坐标为(x,y)∠xOP=θ,则点 P 的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公

2 cos ? ? 6 ? x ? ? cos ? ? 3 ? ? x ? cos ? ? 3 ? 2 (? 为参数) 式得 ? ,则点 M 的参数方程为 ? y ? sin ? 2sin ? ? ?y? ? sin ? ? ? 2
思考: (1)当定点 Q 在圆 O 外,这个轨迹是什么曲线, (是圆) (2)当定点 Q 在圆 O 上(如圆与 x 轴正半轴的交点) ,这个轨迹是什么曲线, (是 圆) (3)当定点 Q 在圆 O 内,这个轨迹是什么曲线, (是圆)

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(4) 当 M 分 PQ 的比为λ =2 时,M 点的轨迹是什么曲线。 (是圆) 例题 2:已知点 A( x, y ) 在圆 C : x ? y ? 4 上运动,求 x ? y 的最大值。
2 2

??? ?

(通过普通方程化为参数方程求得函数的最值, 使学生初步体验参数方程的作用与 意义。 ) 3、课堂小结 1、知识内容:知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念;能选取适当的参数建立 参数方程;通过对圆和直线的参数方程的研究,理解其中参数的意义。 2、思想与方法:参数思想。 (引导学生回顾本节课的学习过程,小结与交流学习体会,包括数学知识的获得,数 学思想方法的领悟。 ) 2 2 六、作业:1、一动点在圆 x +y =1 上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方 程 2 2 2、已知 P(x,y)圆 C:x +y -6x-4y+12=0 上的点,求 x-y 的最大值与最小值

§2.1.2 圆的参数方程的应用(二) 导学目标: 知识与技能: 利用圆的几何性质求最值(数形结合) 过程与方法: 能选取适当的参数,求圆的参数方程 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:会用圆的参数方程求最值。 导学难点:选择圆的参数方程求最值问题。 导学策略:
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教学方法:诱思探究教学法 教学手段:多媒体辅助教学 导学过程: (一)复习回顾 1.圆心在原点的圆的参数方程半径为 r 的圆的参数方程为: ?
? x ? r cos ? ( ? 为参数) ? y ? r sin ?

2.圆心不在原点的圆的参数方程怎样得到圆心在 O1 (a, b) ,半径为 r 的圆的参数方程呢? 可将圆心在原点、半径为 r 的圆按向量 v ? (a, b) 平行移动后得到,所以圆心在 O1 (a, b) ,半 径为 r 的圆的参数方程为 ? (二) 、例题 1、求最值 例 1 已知 A(―1,0) 、B(1,0),P 为圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 上的一点,求 PA ? PB 的最大值和最小值以及对应 P 点的坐标. ? x ? 3 ? 2cos ? ? 解:设☉ C 的参数方程为 ? ( 为参数), ? y ? 4 ? 2sin ?
PA ? PB = (4 ? 2cos? )2 ? (4 ? 2sin ? )2 ? (2 ? 2cos ? )2 ? (4 ? 2sin ? )2
2 2 2 2

?

? x ? a ? r cos ? (θ ? y ? b ? r sin ?

为参数)

= 60 ? 8(3cos? ? 4sin ? ) ? 60 ? 40sin(? ? ? )
2 2

其中 cos ? ? , sin ? ?

4 5

3 . 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PA ? PB 有最大值 100. ∵ sin(? ? ? ) ? 1 , cos(? ? ? ) ? 0
cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? 3 5

4 5

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∴P 点的坐标为(

21 28 , ). 5 5
2 2

当 sin(? ? ? ) ? ?1 , PA ? PB 有最小值 20. ∵ sin(? ? ? ) ? ?1 , cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ? 2k? ?
cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(2k? ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(2k? ?

?
2
3 5

?
2

? ? ) ? ? sin ? ? ?

?

4 ? ? ) ? ? cos ? ? ? , 2 5

9 12 ∴P 点的坐标为( , ). 5 5

举一反三 2 2 (1)已知 P(x,y)圆 C:x +y -6x-4y+12=0 上的点。 (! )求
2 2

y 的最小值与最大值(! ! )求 x-y 的最大值与最小值 x

(2)圆 x +y =1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离最小值是 ; 2 2 (3)圆(x-1) +(y+2) =4 上的点到直线 2x-y+1=0 的最短距离是_______; 2 2 ( 4 )过点 (2,1) 的直线中 , 被圆 x +y -2x+4y=0 截得的弦: 为最长的直线方程是 _________;为最短的直线方程是__________; 2、参数法求轨迹 2 2 例 2 已知点 A(2,0),P 是 x +y =1 上任一点, ?AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹. 2 2 (3)点 P(m,n)在圆 x +y =1 上运动, (! )求点 Q(m+n,2mn)的轨迹方程 2 2 2 4 (! ! )方程 x +y -2(m+3)x+2(1-4m )y+16m +9=0.若该方程表示一个圆,求 m 的取值范围 和圆心的轨迹方程。 三、小结:本节学习内容要求掌握 1.用圆的参数方程求最值; 2.用参数法求轨迹方程,消参。
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四、作业: §2.1.3 参数方程与普通方程的互化 导学目标: 知识与技能: 掌握参数方程与普通方程的互化常见方法和参数的取值范围。 过程与方法: 通过参数方程与普通方程的转化,明确曲线方程的不同表现形式,为研究 轨迹类型提供了方便。 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:掌握参数方程化变通方程的方法, 导学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程。 导学策略: 教学方法:诱思探究教学法 教学手段:多媒体辅助教学 导学过程:
? x ? cos ? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。
由参数方程得: ?cos ? ? x ? 3 , sin 2 ? ? cos 2 ? ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 ? sin ? ? y ? 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

1、普通方程化为参数方程需要引入参数 如:①直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0,可以化为参数方程 ?
? x ? t, (t 为参数) ? y ? 2t ? 2. ? x ? tan ? , (?为参数) ? y ? cot ? .

②在普通方程 xy=1 中,令 x = tan?,可以化为参数方程 ? 2、参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程

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如:①参数方程 ? ②参数方程 ?

? x ? a ? r cos ? , 消去参数 ? 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2. y ? b ? r sin ? . ?

?x ? t , ? ? ? y ? 2 t ? 4.

(t为参数)用代入消元法消去参数t ,可得普通方程:y=2x-4

(x≥0) 注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致,否则,互 化就是不等价的. 3、例题 例 1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线?

? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) y ? 1 ? 2 t ? ?
解: (1)因为x ? t ? 1 ? 1,

?x= sin ? ? cos ? (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2?
t ? x ? 1, 代入y=1-2 t

所以普通方程是y ? ?2 x ? ( 3 x ? 1) 这是以(1, 1)为端点的一条射线(包括端点)
(2)因为:x ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

? ), 所以x ? ? ? ? 2, 2 ?

? 所以普通方程是x 2 ? y , x ? ? ? ? 2, 2 ? .
举一反三:将下列参数方程化为普通方程: (1) ?
? x=t+1/t ? x ? 2 ? 3cos ? ? x ? sin ? (θ为参数) ( 2) ? (θ为参数) (3) ? 2 (t 为 2 ? y ? 3sin ? ? y ? cos 2? ? y=t +1/t

参数) 步骤: (1)消参; (2)注意等价性。 2 2 2 2 答案(1) (x-2) +y =9(2)y=1- 2x (- 1≤x≤1) (3)x - y=2(X≥2 或 x≤- 2)

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? ? ? x ?| cos ? sin |, ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) 表示的曲线是( B ) 例2、参数方程 ? 1 ? y ? (1 ? sin ? ) ? ? 2
1 1 (A)双曲线的一支,这支过点(1, ) (B)抛物线的一部分,这部分过(1, ) 2 2 1 1 (C)双曲线的一支,这支过点(–1, ) (D)抛物线的一部分,这部分过(–1, ) 2 2

例 3 求椭圆

x2 y2 ? ? 1 的参数方程 9 4

(1)设 x=3cos?,? 为参数; (2)设 y=2t ,t 为参数 解 (1)把 x=3cos? 代入椭圆方程,得 由 参 数

9 cos 2 ? y 2 ? ? 1 ,于是 y ? ?2sin ? , 9 4

?

的 任 意 性 , 可 取

y ? 2sin ? , 因 此 所 求 的 参 数 方 程 为

? x ? 3cos ? , (?为参数) ? y ? 2sin ? ?

? ?x ? 3 1? t2 ? ? x ? -3 1 ? t 2 (2)参数方程是 ? 或? ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t
思考:为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程? 2 举一反三:曲线 y=x 的一种参数方程是( D )
2 ? ?x ? t A. ? (t 为参数) 4 ? ?y ? t

B. ?

? x ? sin t
2 ? y ? sin t

(t 为参数)

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C. ?

?x ? t ? (t 为参数) ? ?y ? t

D. ?

?x ? t ?y ? t
2

(t 为参数)

注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致。否则,互 化就是不等价的. 小结:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1)代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2)三角法:利用三角恒等式消去参数 (3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为 F ( x, y) ? 0 :在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一致 性,必须根据参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 4、作业:P 26 4、5

§2.2.1 椭圆的参数方程 导学目标: 知识与技能: 了解椭圆的参数方程及参数的意义 过程与方法: 能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:椭圆参数方程的定义及方法 导学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程.
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导学策略: 教学方法:启发、诱导发现教学. 教学手段:多媒体辅助教学 教学过程 1 复习引入: 写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆 x ? y ? r 参数方程 ?
2 2 2

? x ? r cos? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

(2)圆 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2 参数方程为: ?

? x ? x 0 ? r cos? ? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

2 .在椭圆的参数方程 例 1、如下图,以原点为圆心,分别以 a,b(a>b> 0)为半径作两个圆,点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交 点,过点 A 作 AN⊥ox,垂足为 N,过点 B 作 BM⊥AN, 垂足为 M,求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的 轨迹参数方程. 点 M 的横坐标与点 A 的横坐标相同, 点 M 的纵坐标与点 B 的纵坐标相同. 而 A、B 的坐标 可以通过引进参数建立联系, 解:设∠XOA=φ , M(x, y),则 A: (acosφ , a sinφ ), ? x ? a cos ? B: (bcosφ , bsinφ ), ? (φ 为参数) ? y ? bsin ? 即为点 M 的轨迹参数方程. 消去参数得:

y A B O N M x

(2) x ? cos ? x 2 y2 y ? 4sin ? 2 ? 2 ? 1, 即为点 M 的轨迹普通 a b

?

方程 在椭圆的参数方程中,常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b ? 称为离心 角,规定参数的取值范围是 ? ? [0, 2? )

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同理可求得,

? x ? b cos ? y 2 x2 ( ? 为参数) ? 2 ? 1, 的参数方程为 ? 2 a b ? y ? a sin ? (? 为参数) θ 的几何意义是∠AOP=

注意 椭圆的参数方程中离心角 ? 的的几何意义是:是∠AOX=φ ,不是∠MOX=φ .
? x ? r cos ? 2 2 2 圆的标准方程: x +y =r 圆的参数方程: ? ? y ? r sin ?

θ y A B O N M x θ O x y A

举一反三: 1、把下列普通方程化为参数方程. (1) 解:

x2 y2 ? ?1 4 9

(2) x ?
2

y2 ?1 16
(2) x ? cos ? (θ 为参数) y ? 4sin ?

(1) x ? 2cos ? (θ 为参数) y ? 3sin ?

?

?

2、把下列参数方程化为普通方程 (3) ?

? x ? 3cos ? ? x ? 8cos ? (φ 为参数) (4) ? (φ 为参数) ? y ? 5sin ? ? y ? 10sin ?
2

解: (3) x9 ?

y2 25

?1

(4) 6 4 ? 1 0? 01
x2

y2

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练习 2:已知椭圆的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?

则此椭圆的长轴长为_____,短轴长为_________,焦点坐标是_____,离心率是_______。 2 2 例 2、如图,在椭圆 4x +9y =36 上求一点 M,使 M 到直线 y

l:x+2y-10=0 的距离最小.并求出最小距离。
解:设 M(3cos ? ,2sin ? ),由点到直线的距离公式
3 4 | 5(cos ? ? ? sin ? ? ) ? 10 | | 3cos ? ? 4sin ? ? 10 | 5 5 = d? 5 5

O

x

=

1 5

| 5cos(? ? ? ) ? 10 |

其中 cos ? ? , sin ? ?
3cos ? ? 3cos ? ?

3 5

4 ,由三角函数的性质得,当 ? ? ? 时,d 最小为 5 ,此时, 5

9 8 , 2sin ? ? 2sin ? ? 5 5

y

9 8 因此,当点 M 位于 ( , ) 时,点 M 与直线 x+2y-10=0 的距 5 5

D

D

y BA A
2
x OB F A X B B2 2

离取最小值 5

x y ? ? 1 有一内接矩形 ABCD, 例 3、已知椭圆 100 64
求矩形 ABCD 的最大面积。 解:设 A ?10cos ? ,8sin ? ? ,则由对称性得

2

2

A F C
1 1

C

1

AD ? 20cos ? , AB ? 16sin ? , S ? 20 ?16sin ? cos? ? 160sin 2? ,

∴求矩形 ABCD 的最大面积为 160.
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举一反三: 已知 A,B 两点是椭圆 x9 ?
2

y2 4

? 1 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭

圆弧上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大.

解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos? ,2sin? )
S?ABC面积一定, 需求 S?ABP最大即可
y x ?2 ? 1 ? 2x ? 3 y ? 6 ? 0 即求点P到线AB的距离最大值 , 线AB的方程为 3



y



P Bx

d?

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | 2 ?3
2 2

?

6 13

2 sin( ? ??) 4

O

所以当? = 时, d 有最大值, 面积最大 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2) 4

?

练习:1 动点 P(x,y)在曲线

x2 y2 ? ? 1 上变化 ,求 2x+3y 的最大值和最小值 9 4

最大为 6 2 ,最小为- 6 2 3、小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示,利 用 三角知识加以解决。 4、作业:P34 1、2

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§2.2.2 双曲线的参数方程 导学目标: 知识与技能: 了解双曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法: 能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:双曲参数方程的定义及方法 导学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 导学策略: 教学方法:启发、诱导发现教学. 教学手段:多媒体辅助教学 教学过程: 1、引入:椭圆

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a cos? x2 y2 ( 为参数) ,双曲线 ? ?1 ? ? a 2 b2 ? y ? b sin ?
y

的参数方程是怎样的? B’ M A 2、新课: 如图,以原点 O 为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径分别作同 O B A’ x 心圆 C1, ,C2。设 A 为圆 C1 上的任意一点,作直线 OA,过点 / / A 作 C1 的切线 AA 与 x 轴交于 A ,过圆 C2 与 x 轴的交点 B / / / / / / 作圆 C2 的切线 BB 与直线 OA 交于点 B ,过点 A ,B 分别作 x 轴,y 轴的垂线 A M,B M 交于 点 M。 设 Ox 轴为始边,OA 为终边的角为θ点 M 的坐标为(x,y) ,求点 M 的轨迹方程。 / / 由此得,点 A (x.0),B (b,y) ∵ A (acosθ,sinθ),∴ OA ? (a cos ? , a sin ? ) , AA ' ? ( x ? a cos ? , ?a sin ? ) ∵ OA ? AA ' ,∴ OA ? AA ' ? 0 ,即 a cos ? ( x ? a cos ? ) ? a sin ? ? 0 , x ?
2 2

??? ?

????

??? ?

????

??? ? ????

a =sec cos ?

θ

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由三角函数的定义得, tan ? ?

y y ? b tan ? ,所以点 M 的轨迹方程为 b

? x ? a sec ? ? 3? (θ为参数) ( ? ? [0, 2? ) ,且 ? ? , ? ? ) ? 2 2 ? y ? tan ?
其中:θ称为双曲线的离心角,与椭圆一样,双曲线

x2 y2 ? ? 1 上任意点 M 可设为 a 2 b2

(a sec? , tan ? )

x2 y 2 例 1 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)任意一点,O为原点, 过点 M a b
作双曲线 两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。

探求平行四边形 MAOB的面积,由此可以发现什么结论?
解: 双曲线的渐近线方程为:y ? ?

b x a

y A M O B O x

不妨设M为双曲线右支上一点 , 其坐标为
, 则直线MA的方程为 : (asec?,btan?)

b y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). ① a b a 。 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 xA = (sec? ? tan?) a 2 a b 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?).设?AOx=? ,则tan? ? . 2 a
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? ?= 所以MAOB的面积为 S? MAOB =|OA||OB|sin2

xA x ? B sin2? cos? cos?

=

a2 a 2 b ab ? tan ? ? ? ? . 2 2 a 2

由此可知,平行四边形 MAOB 的面积恒为定值,与点 M 在双曲线上的位置无关。 举一反三: (1)求双曲线 x ? y ? 1 上到点的 P(0,1)最小距离
2 2

( 2 ) 设 P 为 等 轴 双 曲 线 x ? y ? 1 上 的 一 点 , F1 , F2 为 两 个 焦 点 , 证 明
2 2

F1 P ? F2 P ? OP

2

3、小结:会利用双曲线的参数方程设点的坐标解决有关问题,了解双曲线的离心角。 4、作业:P34 3

§2.2.3抛物线线的参数方程 导学目标: 知识与技能: 掌握抛物线参数方程及参数的意义 过程与方法: 能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:抛物线参数方程的推导及方法 导学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 导学策略: 教学方法:启发、诱导发现教学. 教学手段:多媒体辅助教学
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教学过程

? x ? 100t , ? 1、引入:我们曾经得到以时间 t 为参数的抛物线的参数方程 ? 1 2 (t 为 y ? 500 ? gt . ? ? 2
参数) 对于抛物线 y ? 2 px 的参数方程是什么?该怎样引进参数?
2

y α

M(x,y)

2、设 M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点,以射线 OM 为 终边的角记为α ,当α 在 (?

? ?

O

x

, ) 内变化时,点 M 在抛物线上运 2 2

动,并且对于α 的每一个值,在抛物线上都有唯一的 M 点与对应。 因此,可以取α 为参数探求抛物线的参数方程。 根据三角函数的定义得, tan ? ?

y 2 ,即 y ? x tan ? ,联立 y ? 2 px ,得 x

2p ? x? ? ? tan 2 ? ( ? 为参数) , ? ?y ? 2p ? tan ? ?
这为抛物线的不含顶点的参数方程,但方程的形式不够简洁, 设t ?

? x ? 2 pt 2 1 , t ? (??,0) ? (0, ??) ,则 ? (t 为参数 ) , tan ? ? y ? 2 pt

当 t=0 时,由参数方程得,正好为顶点 O(0,0) ,因此当 t ? (??, ??) 时,上式为

y 2 ? 2 px 的参数方程。
注意:参数 t 的几何意义为:表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒 数。
第 36 页 共 53 页

思考: (1)选择适当的参数 t, 建立抛物线 x ? 2 py 的参数方程。 (?
2

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
y
2

(t 为 M(x,y)

参数) ) (2)可选择 M 到准线的距离 t 为参数, y ? 2 px
2

A

的参数方程是怎样的? x=-p/2 p p ? ? x ? t ? x ? t ? ? ? 2 2 (? (t 为参数) ,或 ? (t 为参数) ) ? y ? ? 2 pt ? t 2 ? y ? 2 pt ? t 2 ? ? 3、例题

O

F

x

例 1 如图,O 是直角坐标系的原点,A,B 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )上异于顶点的
2

两动点,且 OA⊥OB,OM⊥AB 并与 AB 相交于 M,求点 M 的轨迹方程。 解法 1 :设 M(x,y),A (2 pt1 , 2 pt1 ) ,B (2 pt2 , 2 pt2 ) (t1 ? t2 , 且t1 ? t2 ? 0)
2

2

由 OA ? OB ,∴ OA ? OB ? 0 , (2 pt1t2 ) ? (2 p) t1t2 ? 0 ,
2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

y

A M(x,y)

t1t2 ? ?1????????????????①
又 OM ? AB ,∴ OM ? AB ? 0 , 2 px(t2 ? t1 ) ? 2 p(t2 ? t1 ) ? 0 。
2 2

O

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

F

x

y ∴ x(t1 ? t2 ) ? y ? 0 , t1 ? t2 ? ? ( x ? 0) ?????② x ???? ? ???? 2 2 又 AM ? ( x ? 2 pt1 , y ? 2 pt1 ) , MB ? (2 pt2 ? x, 2 pt2 ? y ) 且 A,M,B 共线。
2 2

B

∴ ( x ? 2 pt1 )(2 pt2 ? y ) ? ( y ? 2 pt1 )(2 pt2 ? x) ,即 y (t1 ? t2 ) ? 2 pt1t2 ? x ? 0 ??③

第 37 页 共 53 页

由①,②代入③,得到 x ? y ? 2 px ? 0( x ? 0) ,这就是所求 M 点的轨迹方程。
2 2

解法 2:设 A(

y12 y2 , y1 )( y1 ? 0) , B( 2 , y2 )( y2 ? 0) , 2p 2p
2 y12 y2 ? ? y1 y2 ? 0 , y1 y2 ? ?4 p 2 , 2p 2p

∵ OA ? OB ,∴

AB: y ? y1 ?

y2 2p 2p ( x ? 1 ) ,即 y ? ( x ? 2 p) ,∴直线 AB 过定点 C (2 p,0) y1 ? y2 2p y1 ? y2

又 ∵ OM ⊥ AB , ∴ 点 M 的 轨 迹 是 以 OC 为 直 径 的 圆 , 则 M 的 轨 迹 方 程 为

( x ? p)2 ? y 2 ? p 2 ( y ? 0)
举一反三:点 A、B 在什么位置时,Δ AOB 的面积最小?最小值是多少? 略解: | OA |? 2 p | t1 | t1 ? 1 , | OB |? 2 p | t2 | t2 ? 1
2 2 2 2 S ?AOB ? 2 p 2 | t1t2 | (t12 ? 1)(t2 ? 1) ? 2 p 2 t12 ? t2 ? 2 ? 2 p 2 (t1 ? t2 ) 2 ? 4 ? 4 p 2

当且仅当 t1 ? ?t2 时,即 A、B 关于 x 轴对称时Δ AOB 面积最小, ( S?AOB ) min ? 4 p
2

2

4、小结: (1)抛物线的参数方程及参数几何意义, (2)过抛物线 y ? 2 px 顶点互相垂 直的两弦的另两端点的直线 AB 过定点 C (2 p,0) 。 5、作业 P35 3、4

第 38 页 共 53 页

圆锥曲线参数方程的应用 导学目标: 知识与技能:利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题 过程与方法: 选择适当的参数方程求最值 情感态度与价值观: 通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 导学重点:选择适当的参数方程求最值。 导学难点:正确使用参数式来求解最值问题 导学策略: 教学方法:启发、诱导发现教学. 教学手段:多媒体辅助教学 教学过程 1、复习引入: 通过参数 ? 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题, 从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值范围等问题。 2、讲解新课: 例 1.求椭圆的内接矩形面积的最大值 变式训练 1 椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P, a2 b2

使 OP⊥AP, (O 为原点) ,求离心率 e 的范围。 例 2.AB 为过椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 中心的弦, F1 , F2 为焦点,求△ABF1 面积的最大值。 25 16

例 3.抛物线 y ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点,求 内接三角形的周长。

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例4 、过 P(0,1)到双曲线 x ? y ? 1 最小距离
2 2

变式训练 2: 设 P 为 等 轴 双 曲 线 x ? y ? 1 上 的 一 点 , F1 , F2 为 两 个 焦 点 , 证 明
2 2

F1 P ? F2 P ? OP

2

例 5,在抛物线 y ? 4ax (a ? 0) 的顶点,引两互相垂直的两条弦 OA,OB,求顶点 O
2

在 AB 上射影 H 的轨迹方程。 三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题 五、课后作业:

第 40 页 共 53 页

§2.3.1 直线的参数方程(一) 导学目标: 知识与技能:了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法:能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:曲线参数方程的定义及方法,例 1 探究的结论。 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程 1、复习引入: 在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么?根据直线的几何条件,你认 为用哪个几何条件来建立参数方程比较好? 一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线

y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 )

根据直线的这个几何条件,你认为应当怎样选择参数? 2、新课: ? 设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)

或向右(l的倾斜角为0)

的单位方向

向量(单位长度 与坐标轴的单位长度相同) , 设直线l的倾斜角为?,定点M 0
的坐标 , 动点M 分别为( x0 , y0 )、 ( x, y) 。
? ? (1)如何利用倾斜角?写出直线l的单位方向向量e ? (1) e ? (cos ? ,sin ? ) ? (2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标?

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? ?????? ? 答 (1) e ? (cos ? ,sin ? ) , (2) M 0 M ? ( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ?????? ? ? ?????? ? ? 又? M 0 M // e ? 存在惟一实数t ? R,使得 M 0 M ? te , ( x, ? x0 , y0 ? y) ? t (cos? ,sin ? )

? x ? x0 ? t cos ? ∴? (t 为参数) ? y ? y0 ? t sin ?
因此,经过点 M(x0,y0)且倾斜角为α 的直线的参数方程为

? x ? x0 ? t cos ? (t 为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
? x ? 3 ? t sin 200 ()直线 1 (t为参数)的倾斜角是 ___________. 练习: ? 0 ? y ? t cos 20
(2) 直线x ? y ? 1 ? 0的一个参数方程是 ______________. t 的几何意义是什么?(两种解释) (

1



直线的参数方程中参数t的几何意义是: t 表示参数t对应的点M 到定点M 0的距离 , ?????? ? ? ?????? ? ? 当M 0 M与e同向时,t取正数;当M 0 M 与e异向时,

t取负数;当点M 与M 0重合时,t ? 0.
(2) t=M0M(M0M 是有向直线 l 上的有向线段 M 0 M 的数量;当 M 0 M 与事先给定的 有直线 l 同向,M0M=|M0M|,当 M 0 M 与事先给定的有直线 l 反向,M0M=-|M0M|, ) 3、例题

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例 1 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 交于 A、B 两点,求线段 AB 的长度和点 M(—1,2)到 A、B 的距离和。

?x ? y ?1 ? 0 解法1 :由? 2 ?y?x

得: x2 ? x ? 1 ? 0

(*)
( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

∴ x1 ? x2 ? ?1 , x1 ? x2 ? ?1 ,由弦长公式,得? AB ? 1 ? k 2

? 2 ? 5 ? 10
?1 ? 5 ?1 ? 5 ,∴ y1 ? 3 ? 5 ,y2 ? 3 ? 5 ,x2 ? 2 2 2 2 ?1 ? 5 3 ? 5 ?1 ? 5 3 ? 5 ∴ A( , ),B( , ), 2 2 2 2 由 (*)解得:x1 ?
MA ? MB ? (?1 ? ?1 ? 5 2 3? 5 2 ?1 ? 5 2 3? 5 2 ) ? (2 ? ) ? (?1 ? ) ? (2 ? ) = 2 2 2 2

3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2
解法 2:因为直线 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为

3? ,∴它的参数方程为是 4

? 2 3? ? t x ? ? 1 ? t cos ? x ? ?1 ? ? ? ? 2 4 (t 为参数) ,即 ? (t 为参数)把它代入抛物线方程得 ? ?y ? 2 ? 2 t ? y ? 2 ? t sin 3? ? ? 4 ? 2 ?

t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,解之得 t1 ?

? 2 ? 10 ? 2 ? 10 , t1 ? , 2 2

由参数 t 的几何意义得: | AB |?| t1 ? t2 |? 10 , | MA |? | MB |?| t1 ? t2 |? 2
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? x ? x0 ? t cos ? 探究:直线 ? (t 为参数)与曲线 y ? f ( x) 交于 M1,M2 两点,对应参数 ? y ? y0 ? t sin ?
分别为 t1 , t2 , (1)曲线的弦 M1M2 的长为多少?( | M1M 2 |?| t1 ? t2 | ) (2)线段 M1M2 的中点 M 对应的参数 t 的值是多少?( t ?

t1 ? t2 ) 2

(3)你还能提出和解决哪些问题? ??????? ?????? ?????? (向量 M1M 2 被点 M 所分的比为 ? ,即 M 1M ? ? MM 2 ,则点 M 对应的参数 t 的值是

t?

t1 ? ?t2 ) 1? ?

例 2 经过点 M(2,1)作直线 l ,交椭圆 线段 AB 的中点,求直线 l 的方程。

x2 y 2 ? ? 1于 A、B 两点,如果点 M 恰好为 16 4

? x ? 2 ? t cos ? 解:设过点 M(2,1)的直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ? y ? 1 ? t sin ?
代入椭圆方程,整理得

(3sin 2 ? ? 1)t 2 ? 4(cos? ? 2sin ? )t ? 8 ? 0
由 t 的几何意义知 MA= t1 , MB= t2, ∵已知点 M 为 AB 的中点,∴ t1 ? t2 =0 而 t1 ? t2 ? ?

4(cos ? ? 2sin ? ) 1 , 4(cos? ? 2sin ? ) =0,k= tan ? ? ? , 2 3sin ? ? 1 2
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1 因此,直线 l 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 2 思考:例 2 中解法对一般的圆锥曲线适合吗?“中点”改成“三等份点” ,直线 l 的方程 怎求? 答: (1)上叙解法对于对一般的圆锥曲线适合 ???? ? ???? t ? 2t2 (2)由 AM ? 2MB ,则 tM ? 1 =0,∴ t1 ? ?2t2 3 4(cos ? ? 2sin ? ) ? t1 ? t2 ? ? ? ?4 ? 7 ? 3sin 2 ? ? 1 由? ,结合 t1 ? ?2t2 得, tan ? ? , ? 8 6 ?t t ? 1 2 ? 3sin 2 ? ? 1 ?
以下略。 4、小结: (1)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是重点; (2)例 1 的两个重要结信论。 5、作业:P 39 1、2

第 45 页 共 53 页

§2.3.1 直线的参数方程(二) 导学目标: 知识与技能:直线参数方程一般形式及应用 过程与方法:直线参数方程一般形式中参数的几何意义; 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:直线参数方程一般形式及应用 教学难点:直线参数方程一般形式中参数的几何意义及应用; 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程 1、引入 动点 M 作匀速直线运动,它在 x 轴,y 轴方向的分速度分别为 9,12, 运动开始时, 点 M 位于 A(1,1) ,求点 M 的参数方程。

? x ? 1 ? 9t 解:点 M 时间 t 的位置为(x,y) ,则 ? (t 为参数)这就是所求点 M 的参数方 ? y ? 1 ? 12t
程。 化为普通方为 4x -3y-1=0为直线 2、新课

? x ? x0 ? at 过M0(x0,y0)的直线的参数方程可写成 ? (t 为参数) ,但 a2 ? b2 ? 1 不一定成 y ? y ? bt 0 ?
立, (1) 当 a2 ? b2 ? 1 时,我们称上式为直线参数方程的标准式;t= M0M

a ? ( a 2 ? b2 t ) ? x ? x0 ? 2 2 a ?b ? (2) 当 a2 ? b2 ? 1 时, 可化为标准式 ? , 令 a 2 ? b2 t ? t ' b ?y ? y ? ( a 2 ? b2 t ) 0 2 2 ? a ?b ?

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a ? t' ? x ? x0 ? 2 a ? b2 ? 则 ? ( t ' 为参数), b ?y ? y ? t' 0 ? a 2 ? b2 ?
? x ? x0 ? at M0M ∴ ? 式中参数 t 的几何意义为 t ? a 2 ? b2 ? y ? y0 ? bt
例题 例 1 当前台风中心 P 在某海滨城市 O 向东 300km 处生成,并以 40km/h 的速度向西北 450 方向移动。已知台风中心 250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长 时间后该城市开始受到侵袭? 解法 1:取 O 为原点,OP 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,则点 P 的坐是(300, 0) 以 O 为圆心, 250km 为半径作圆 O, 当台风中移动的位置在圆 O 内或圆 O 上是时, y 城市 O 受到台风侵袭。圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 2502 设过时间 t 后,台风中心 M(x,y), 则题意得,台风中心 M 移动形成的直线 l 的方程为
0 ? ? ? x ? 300 ? 40t cos135 ? x ? 300 ? 20 2t (t 为参数) ,即 ? (t 为参数) ? 0 ? y ? 20 2 t ? ? y ? 40t sin135 ?

M O P x

当点 M (300 ? 20 2t ,20 2t ) 在圆 O 内或圆 O 上时,有

M

(300 ? 20 2t )2 ? (20 2t )2 ? 2502 , 16t 2 ? 120 2t ? 275 ? 0 ,

15 2 ? 5 7 1 5? 2 5 7 解得 ?t ? 4 4 由计算器计算得,t 的范围为 2.0 ? t ? 8.6 。 因此大约在 2h 后该城市开始受到台风侵袭。
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M 450 O P

解法 2:设过时间 t 后,台风中心由 P 到 M,则 | PM |? 40t ,|OP|=300,在Δ OPM 中, 由余弦定理,得 OM2=OP2 +PM2-2OPⅹPM COS450, 当城市中心 O 受到台风的侵袭时,OM ≤250, 3002 +(40t)2 - 2 ⅹ300 ⅹ 40t≤2502. 化简,得 16t 2 ? 120 2t ? 275 ? 0 以下,同上 思考: (1)海滨城市 O 受到台风侵袭的时间持续多长? (2)当前台风的半径为 250km,并以 10km/h 的速度不断增加,那么情况怎样? 答: (1) t ? 8.6 ? 2.0 ? 6.6 (h) (3) 方法 1:圆的方程为 x 2 ? y 2 ? (250 ? 10t )2 ,

(300 ? 20 2t )2 ? (20 2t )2 ? (250 ? 10t )2
方法 2:OM2=OP2 +PM2-2OPⅹPM COS450, OM =250+10t(km) 例 2 如图所示,AB,CD 是中心为 O 在椭圆一两条相交弦,交点为 P,两弦 AB,CD 与椭圆长轴一夹角为∠1,∠2,且∠1=∠2,求证: | PA | ? | PB |?| PC | ? | PD | C
2

y O P A D A
1

C
2

O P

1

x

D

证明:建立平面直角坐标系,设椭圆的长轴、短轴的长分别为 2a,2b,则椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,?????????① a 2 b2
? x ? x0 ? t cos ? 设∠1=θ ,P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 AB 的直线方程为 ? (t 为参数)?② ? y ? y0 ? t sin ?
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将②代入①并整理,得
2 2 (b2 cos2 ? ? a2 sin 2 ? )t 2 ? 2(b2 x0 cos? ? b2 y0 sin ? )t ? (b2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b2 ) ? 0 ????③

由于 b2 cos2 ? ? a2 sin 2 ? ? 0 ,已知直线 AB 与椭圆有两个交点,因此方程③有个实根, 2 b2 x 2 ? a 2 y0 ? a 2b 2 设为 t1 , t2 ,容易得到 | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |?| 2 0 2 | ?????④ b cos ? ? a 2 sin 2 ? 同理,对于直线 CD ,将 ? 换成 ? ? ? ,即得到

| PC | ? | PD |?|

2 2 2 2 b 2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2 b2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b2 | ? | | ???????⑤ b 2 cos 2 (? ? ? ) ? a 2 sin 2 (? ? ? ) b2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ?

由④⑤得, | PA | ? | PB |?| PC | ? | PD | 思考:把椭圆改成双曲线,是否成立? (答:成立) 4、小结: (1)直线的非标准参数方程与标准参数的转化。 (2)结合韦达定理的应用。 5、作业:P 39 3、4

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§2.4.1 圆的渐开线 导学目标: 教学目的: 知识与技能:了解圆的渐开线的参数方程,生成过程 过程与方法:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点: 圆的渐开线的参数方程, 教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 启发引导 自学指导 发现教学法 偿试指导法 启发、诱 导发现教学. 教学过程: 1、引入: 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一 支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅 笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?动点(笔 尖)满足什么几何条件? 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开 线的基圆。 2、新课 y 1、以基圆圆心 O 为原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直 M 角坐标系,设基圆的半径为 r,绳子外端 M 的坐标为(x, y) 。显然,点 M 由角 ? 唯一确定。 B

M

取?为参数,则点B的坐标为(rcos?,rsin?),从而

???? ? BM ? ( x ? r cos ? , y ? r sin ? ) ,

B A x O O A
?

???? ? ? ??? ? 因而向量 | BM |? r? ,由于向量e1 ? (cos ? ,sin ? )是与OB同方向的单位向量,
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? ???? ? ???? ? ? e2 ? (sin ? , ? cos ? )是与向量BM同方向的单位向量。 所以 | BM |? (r? )e2 ,即
???? ? | BM |? ( x ? r cos ? , y ? r sin ? ) ? r? (sin ? , ? cos ? )
可得圆渐开线的参数方程为 ?

? x ? r (cos? ? ? sin ? ) ? y ? r (sin ? ? ? cos? )

( ? 为参数)

在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少,传动平稳, 制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形。 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线参数方程 解略 变式训练 1 当? ?

?
2

, ? 时,求圆渐开线 ?

? x ? cos? ? ? sin ? ? y ? sin ? ? ? cos?

上对应点 A、B 坐

标并求出 A、B 间的距离。 变式训练 2 求圆的渐开线 ? 作业:P 42 1、2

? ? x ? 2 (cos t ? t sin t ) ? ? y ? 2 (sin t ? t cost )

上当 t ?

?
4

对应的点的直角坐标。

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§2.4.2 圆的摆线 导学目标: 教学目的: 知识与技能:了解圆的摆线的参数方程,生成过程 过程与方法:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点: 圆的摆线的参数方程, 教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 启发引导 自学指导 发现教学法 偿试指导法 教学过程: 1、引入 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记,那么自行车在笔直的道路上行使时,白色 印记会画出什么样的曲线? 上述问题抽象成数学问题就是:当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上 一个定点的轨迹是什么? M 我们先分析圆在滚动过程中,圆周上的 B ? 这个动点满足的几何条件。
O

? 的长,即OA ? r?。 线段OA的长等于MA

A

我们把点 M 的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线。摆线在它与定直线的两个相邻 交点之间的部分叫做一个拱 2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为 x 轴,定点 M 滚动时落在直线上的一个位 置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径为 r,可得摆线的参数方程为。

设开始时定点M 在原点,圆滚动了

y

y
M
?

?角后与x轴相切于点A,圆心在点B。
O

B

D

A

C

C

x

x
第 52 页 共 53 页

从点M 分别做AB,x轴的垂线,垂足分别 设点M的坐标为( x, y), 取?为参数,根据点M 满足的几何条件,有

是C,D

x ? OD ? OA ? DA ? OA ? MC ? r? ? r sin ? ,
y ? DM ? AC ? AB ? CB ? r ? r cos?.
所以,摆线的参数方程为

? x ? r (? ? sin ? ) ? ? y ? r (1 ? cos? )

( ? 为参数)

思考:在摆线的参数方程中,参数 ? 的取值范围是什么?一个的宽与高各是多少? 答: ? ?[0, ??) , 2r , 2? r 例 1 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程 解略 变式训练 1 求摆线 ?

? x ? t ? sin t ? y ? 1 ? cost

0 ? t ? 2? 与直线 y ? 1 的交点的直角坐标

例 2、设圆的半径为 8,沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上动点 为 M 它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程,画出相应曲线, 求此曲线上纵坐标 y 的最大值,说明该曲线的对称轴。 三、巩固与练习 四、小 结:

五、课后作业:见教材 P.42 3、4

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