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第39届国际数学奥林匹克试题及解答








数学通报



届 国 际 数 学奥林 匹 克试题 及解答
许 以超

问题

设凸 四边形

的两条对 角线

高 因此
,

,

>






这和









互相垂直 且两对边
及工

,



不平
,

盾 所 以证明了 尸
,

一尸 一 尸 一 尸 一 尸
,
,

行 点 尸 为线段
且 在 四边形

的垂 直平 分线之 交点
, ,
,

反 之

,





分别考虑
,

的 内部 证 明


四点


?

及 △

?


,

《 一几 产
△注 方尸
,



?

所以

共 圆的充分必要 条件 为 △
相等

与△
,



的面积

问题

在某一次竞赛 中 共有
,

个 参赛 者


,




,

交于点

过 点 尸 作线 段
,





个裁判 其 中



且 为奇数


设 每个 裁判 对



之垂 线 垂 足 分 别记 为
可知 尸






每 一 位 参赛者 的判决方式 只 有 通 过 或 不 通 过


为矩形 因此
,

已 知 任意两个裁判至多可对
,

个参赛者有相



,



同的判决 证 明

由点

尸 尸

的选 取 可 知
一尸
, , ,


,


,

一尸





为 了证


四 点共 圆 只要 证 明
一尸

,




我 们来 计算 任 意两 个裁判对

个参赛者

一尸

一尸

有相 同判 决 的 总 数 △



下 面先来计算 △
△, 刀 △, 刀 £

之面积
△尸 刀艺



个裁判共组成

了 对 每对 至 多可 对
, ,



一 几

△尸 注 £

参赛 者 有 相 同判 决


所 以 总 体来说 至 多可 作

子 相 同 的判 决 个
另一方面 设第


, ,

入五 尸 了
?

一 一尸
?



个 参赛 者被
,

个裁判判 决

次通过

,





一二

,

次 不 通 过 其 中有 两 个 裁 判 判

?

一尸
△尸

?



,

决相 同的评 判结 果 总 数为
十 子 三









△尸



一 一



一 十

,

一了 一


,


一 一


?

一 一尸

?




?

?

所以
△,
,

合 一 合合一
‘卫
,






,十

一。

君尸







?



?

这里用到






因此 为 了证 明

△今
?

一 一

,



印 当且 仅 当
?








,


由题设 用反证


‘ 且 为奇数 记 一



,



设 法 若 尸
,



朋 一



我 们来证 尸
,

一尸



由对 称 性 无 妨 设 尸
的过 点 尸 的高 因此
,




二 但是


十 子 为 自然 数 这 证 明 了 二
,

为△


所 以





,

所以有




?



?

,





为 △

的过点





十 厂 草

, ,

’一







数学通报
,

考虑判决相 同的总数 有


由于

, ,











,

所有 以




子 、






子 月、






















一 一



这证明了

















由归 纳 法 便 证 明 了命 题 对任一正 整 数

, ,

结论

为任意奇 数

,
,

问题


,

表示

,



问题

试 确定 所 有 的 正 整 数序列 对
可 以被

,

正 因子数 包含
可 能的正整数

本身的个数

试确定 所有 满足

使得 了 十二 解
了 今






整除

?

使得有一个 正整 数
一 一
‘ 、 一, ,


一了







一 犷一




,





,

…产 气 其 中
,







若 妙



了 十二 注意到


二 二
,


,



为正 整 数 下 面 分情 形讨论

素数 由函 数
,

的定 义 可 知
… …
,

,



这 时 必 需 犷一
二一





,





,





,

,



,

,

,




,

十 燕

士足

以 一


气上





,

困 比

石不下气万
以 气



,





由于



,

为正 整数 这 时无解


,



… …



于是
,






,

代人得



一 矛

注 意 到分 子 为奇 数

所 以 若 对 自然 数
,

存 在 自然

因此

才十

,





,



,



必须 为奇数 且 每个
,

必 须 为偶 数 则 必 存 在 自然 数

, 、 ,
,




,

扩十

,


, ,



我 们来证 明任取奇数
丫 有 万了 , 万 一 “ 火 少
,

证明了



… 为解

、 ,

,

,

,



,

为此坷

作归纳法 自
,

女一

,





,






即可
。 “ 。

设对小于



的奇数
,



,

都 有 自然 数


这 时必须

一犷


,

,








今任取 奇数




又 推 出矛盾 所 以 只有

则有
,

,











,

,



二 二

,





,













之定 义可 知
’ “ , ‘

所以


十 一
,


二十
, ,

如果



’ ‘

互素 则
,





,




,

所以





,





今构造












分 别代 人




,

,

,

,

,

,



,

原式可证它们都是解

取素数

,



,






互素
尸‘

由此 可 构 造 数






,


,














… 户





所 以必须
,

但是




为素数 又
,

二十
,

所 以 只有




这时

沁 …厂 杯 一
万…


?



正整数解



不存在 所 以 当

, ,

时无解

?



至 此 给 出解 为

,
, ,

餐 招聋 书 召 若 簇结号杂 子 裳 号 羞 品 省 健 李子 瑞



,

,


,

,

,


, ,

问题



为 △

的 内心
,



别为 △ 点
线


的 内切 圆 在 边



上 的切





‘。

已 知通 过点

了 且 与 几 犬 平 行 的 直线 分 别 与直

交于点



证明 艺

是一锐

年 注 意到
一 一

,


?




数学 通 报
所以

因此








所 以 证 明 了命题 问题



表 示 所有 的正 整 数所组 成 的集 到






考虑所有 由 对任意 的正整数

且 满 足 下 列 条件 的 函数 及
,

都有


试求所 有

的 可 能 值 中之 最 小 值

解 取 一 证
要证 为 了证匕
一 厂
,

取 一
,

,



一 一


?






是锐角
?

由余 弦 定 理 只
,





于是

于是


此我们来计算 今 匕 同理 匕
八尺 了

厂一

考虑 △


及 △
二一

一乙






?

丫 丫


,

,

,

?



一乙






‘ 一 乙“

注 意到 函数 值都 是 正 整 数 因此 有
,

,

,

,

, 、

,

,

,



,

,

,

,

,

取 一


,


,

匕 材召 一
匕‘ 入









一 匕 对尺




一匕

一一 一





资 艺一 一


,

,



二犷 又 汀 一 之二万


所以
下 面 证 明 对 任 意 自然 数
,

同理



二 、 乙

。一 二

。一 二



合 一 ‘ 一二 合

?



二一

事实

二“ ,
,
,

,

上 我们先用 归 纳 法来证 明
,
” ”

一 ‘



,

,

,


,

显然 当
,




,

上式成立




时成立 有



,



‘ 一二

,




一 ’

由正 弦 定 理 有
入 了

一 ’



由归 纳 法便 证 明 了断 言




了 乙入 尺

今任取 正 整 数


的素因子
,

,

设 厂

,




匕 艺







表示 厂














”一




,


多多

因此

入 了


,



一一
,
?

,





,



,


,
、,



, 、







所以


,

又 材 了土
,

,





兀万人

一一。 万兀万小 比 忌到

,

, 、

,


?

‘ ,



,

刀止金似 肌

以考虑直角三角形 △










以证 明 了


一 ‘ 一 ’

,



?



则有下列
,

个结论
下转 第








数学通报
石 石 万


命补

〔声

六 板 书 要字迹 工 整 绘 图 规范 具 有 示 范 性
, ,



教 师板 书 的 一 个 很 重 要 的 目的 就 是 在 传授 知 识 的 同 时 引 导 学 生 养成 良 好 的 书 写 绘 图 语 言 表 述
、 、

,

吸 娜弓
沪 夕
本 关 行 平 系

习 惯 这 就 要 求板 书 时 做 到
,
,

概念 定义 定理 法
一了 时







则 的完 整 性 与严 密 性 例 如 写 指 数 函 数
要注明
,






的条件 对论 证 的一 般 三 角 解题格式


形 不 能 画 成 等 边 等 腰 或 直 角 三 角形
,
、 、


力 求 逻 辑严谨 步 骤 清 晰 几 何 作 图 力 求 规 范 直 观
一 字 一 句 一 个 标 点 一 个 数学 符 号 一 条 辅助 线 都 要 正 确规 范 通 过 板 书示 范 潜 移 默 化 使 学 生 养 成
,
,

良好 的学 习 习 惯 答题 习 惯 树 立 严谨 的 学 习 观
,

,

综 上 所 述 好 的板 书 凝 结 着 教 师 的 独 具 匠 心 体
,

,

现 教 师 的基 本 功 和 素 质 水 平 是 数 学 课 堂 教 学 中不
,

平 面 基 本性 质

可 或 缺 的重 要 组 成 部分

上接第
,


一 ’

一‘

一 一 映射 至此 我 们 知 道 函 数

解 很 多 取 出所 有 素
,

一‘

一 ’



数 任 意 确定 素数 对 并 排 成
,
, ,

,

,


,



则构作
一矿、 所以
,

如下
,
,
,



,

,

,



,



,

,

?



事实上 已 知
, ,

则 由 任 一 自然 数 有
?

的唯 一 素 因数分解式

‘ ,





介、


,

”乙

气 其中


,



为 不 同 素数 则
,






这证 明 了断言

,








,

为素数 则

, ,

也 为 素数

,

所 以 给 出 了通 解

事实上 设若

,

‘,

今 为素数 所 以
,

为 了使得 中值 最 小
,

取所

,







有可 能 的函数
,

自然 的 我 们取
,



,

于是

今若
为 素数








,

所以


至 此 证 明 了若







即 即所求 值 为

最后证

为一一 映射
,



上 面 内 容 为 国 际 数 学 奥林 匹 克 标 准 答 案
,

,

事 实上 由
,

若 护

,

,

但 有些地 方 未直译 且 多 个 解 答 只 择 其 一









,

即 一

这 导 出矛 盾

所以


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