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三角函数公式大全及推导过程


三角函数公式大全及推导过程
一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ?
x2 ? y2 ,

y x y 余弦: cos ? ? 正切: tan ? ? r r x

二、同角三角函数的基本关系式
商数关系: tan ? ?
sin ? 1 ,平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , cos 2 ? ? 1 ? tan 2 ? cos ?

三、诱导公式
公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα 公式二: 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα 公式五:利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα 公式六: ? 3? ±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 2 ? ? sin( -α)= cosα cos( -α)= sinα 2 2 ? ? sin( +α)= cosα cos( +α)= -sinα 2 2 3? 3? sin( -α)= -cosα cos( -α)= -sinα 2 2 3? 3? sin( +α)= -cosα cos( +α)= sinα 2 2

三、两角和差公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

四、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? … (?)
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2
五、辅助角公式:

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2 其它公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) (其中 tan ? ?

b ) a

其中:角 ? 的终边所在的象限与点 ( a, b) 所在的象限相同,(以上 k∈Z) 六、其它公式:

1、正弦定理: 2、余弦定理

a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

3、三角形的面积公式
S ?ABC ? 1 1 1 1 ? 底 ? 高 S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2 2

万能公式推导 sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(cos^2(α )+sin^2(α ))......*, (因为 cos^2(α )+sin^2(α )=1) 再把*分式上下同除 cos^2(α ),可得 sin2α =2tanα /(1+tan^2(α )) 然后用 α /2 代替 α 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导 tan3α =sin3α /cos3α =(sin2α cosα +cos2α sinα )/(cos2α cosα -sin2α sinα ) =(2sinα cos^2(α )+cos^2(α )sinα -sin^3(α ))/(cos^3(α )-cosα sin^2(α )-2s in^2(α )cosα ) 上下同除以 cos^3(α ),得: tan3α =(3tanα -tan^3(α ))/(1-3tan^2(α )) sin3α =sin(2α +α )=sin2α cosα +cos2α sinα =2sinα cos^2(α )+(1-2sin^2(α ))sinα =2sinα -2sin^3(α )+sinα -2sin^3(α ) =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =cos(2α +α )=cos2α cosα -sin2α sinα =(2cos^2(α )-1)cosα -2cosα sin^2(α ) =2cos^3(α )-cosα +(2cosα -2cos^3(α )) =4cos^3(α )-3cosα 即 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα 和差化积公式推导 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)


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