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函数高三精品复习学案


函数及其性质
本章安排: 1,回顾函数知识,总结题型 2,通过例题总结考点,难点与题型应对策略 3,总结易错点
基本初等函数:指数函数 对数函数 幂函数 三角函数(本章不讲)反三角函数(新课标考纲不要求) 初等函数:基本初等函数经过有限次的代数运算或复合生成的函数,高中阶段接触的函数都是初等函数 高考对函数的单纯考查主要在选择填空题中,大题的导数以后会重点讲解。 题型总结: (1)求函数的解析式,给定函数的定义域(较简单) (2)考察函数性质:单调性(比较数的大小)周期性与对称性(用函数的关系式导出周期,对称中心,对称轴等,还可能继续用单调 性比较一些函数值的大小) (3) 根据条件判断函数的图象或根据给定的图像判断可能对应的函数, 函数图像的交点个数问题, 利用图像解决函数问题 (本章重点) (4)函数图像的切线问题,函数的零点(与导数的综合) (5)求函数的最值或值域,新定义函数或运算并研究其性质(本章难点) ,与函数相关的应用问题

各题型对应的例题:
题型(1) 1,求函数

f ( x) ? 1 ? 2log6 x 的定义域
f ( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4
的定义域

2,求函数

3,求函数

f ( x) ? x( x ?1) ? x 的定义域

总结:求函数的定义域,主要出现根号,对数函数,实数的 0 次方,根号下不为负,对数后大于零,零次方下不为零,而且注意结果 要用集合或区间表示 题型(2) 1,设函数

f ( x) 满足: f ( x) ? f (? x) 且 f ( x) ? f (2 ? x) 当 x ? [0,1] 时 f ( x) ? x3 ,函数 g ( x) ? x cos ? x



1 3 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [? , ] 2 2 上的零点个数
2,函数

f ( x) 在 R 上递增,且满足 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,若 m,n 为实数,m>3,且有 f (m2 ? 2m ? 23) ? f (n2 ? 8n) ? 0 求

m 2 ? n 2 的取值范围
3,定义在 R 上的函数

f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2)2 ,当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? f (2012) ?
A. 3 35 B.338 C.1678 D.2012

1] 上, 4,设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为____ 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ?2? ?2? ? ? x ?1
总结:函数的性质,应记忆各个常见关系对应的情况:周期?对称中心?对称轴?还应注意画准图像 题型 3 1, 如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1 ,l2 之间,l // l1 ,

l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 FG 的长为 x(0
<x<π),y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y=f(x)的图像大致是?

2,函数

y?

x3 的图象大致是 3x ? 1

3,函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为

4,函数

y?

cos 6 x 2 x ? 2? x

的图像大致为

5,已知函数

y=

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是______________. x ?1

总结:函数的图像判断类的题,应从极限思想(x 趋于无穷或是使分母为零的点)与判断正负入手,注意利用 0 与图中的给定点来判 断,另外函数的定义域也应该考虑在内。 对于函数图像的交点个数问题,应画好画准图像在做题,不能心急。结合常识与结论,以及切线的斜率可画出正确的图形。做题时注 意考虑到所有情形,类似第 5 题的直线一定要旋转一周以保障不漏解。 题型 4 1,函数 A.0
2

f (x)=2x +x3 ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是
B.1 B.5 C.2 C.6 最小值为 D. D.3 D.7 ,

2,函数 f ( x) ? x cos x 在区间 [0, 4] 上的零点个数为 A.4 3,设点 P 在曲线 A. 1 ? ln 2 4,函数

y?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 2
B.

2(1 ? ln 2)

C. 1 ? ln 2

2(1 ? ln 2)

y?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 x ?1

(A)2

(B) 4

(C) 6

(D)8

总结:函数的零点,基本方法是零点存在性定理,如果函数是相乘的形式可以分别判断零点再合并, 注意多项式函数零点的次数,求零点之和一般是有对称性的,注意画准图再判断。 题型 5 1, 已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y=

8 (m>0), l1 与函数 y ? log 2 x 2m ? 1

的图像从左至右相交于,A,B , l2 与函数

y ? log2 x

的图

像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度 分别为 a ,b 当 m 变化时, A. 16

b a

的最小值为





2

B. 8

2

C. 8

4

D. 4

4

2 ? ?a ? ab, a ? b 2, 对于实数 a 和 b ,定义运算 “﹡” : a *b ? ? ,设 f ( x) ? (2 x ? 1)*( x ? 1) ,且关于 x 的方程为 f ( x) ? m(m ? R) 2 a ? b ?b ? ab, ?

恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是___________ 3,已知函数

f ( x) ? (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x=-2 对称,求这函数的最大值__________
?
5 3 1 (a ? b ? a ? b ) 函数 f ( x) ? x2 , g ( x ) ? x ? , h( x) ? ? x ? 2 ,设函数 2 2 2

4,对于实数 a,b 定义 F ( a, b)

G( x) ? F{F[ f ( x), g ( x)], h( x)} ,求这函数的最大值_______________
5,求函数

y ? x4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值________________

总结:新定义问题花样百出,一般难度很大,但是最基本的是不能被定义吓到,要转化为熟悉的东西,或是冷静分析其性质,第 4 题 就是一个很好的例子。 求最值有许多方法:判别式,配方,平均值不等式,代数三角换元,数形结合,求导等等但是对于填空题万不得已不要求导,往往有 更好的方法。根式的最值往往是数形结合转化,第 5 题是例子。 对于困难的函数最值问题要有简化与转化的思想,第 3 题是例子。

易错点及其解决方案
1,画不准图像 函数的图像是高考考察的重点,为了把图像画准需要大家注意以下几个关键: (1)先考虑函数的正负以及零点情况,必要时用导数判断函数的单调性,甚至求出最值。 (2)考虑函数在 x 趋近于正负无穷大时的形态。 (3)熟记一些函数在特殊位置的切线斜率与函数不等式: 比如函数 y=sinx 的图像在(0,0)处的切线斜率为 1,且当 x>0 时有 sinx<x 恒成立。此外 sinx=x 当且仅当 x=0 时才成立。 函数

y ? ex 的图像在(0,1)处的切线斜率为 1,在(1,e)处的切线斜率为 e 且切线通过原点,有 e x ? ex 且 e x ? x ? 1 恒成立。
1 x ,在(1,0)处的切线斜率为 1 有 lnx ? x-1 且 lnx ? e e
恒成立

函数 y=lnx 的图像在(e,1)处的切线斜率为

(4)对于不太熟悉的函数的交点处的图像,可以对两个函数分别求导得出该点斜率再画图进一步判断大小关系。 (5)掌握三次函数的图像性质。 2,忽略定义域 (1)研究函数,定义域优先。在函数的复合时应多加注意,复合得到的函数其定义域为原函数定义域的交集。 (2)求函数的定义域一定不能化简函数式,应保持最原始的形态。 (3)在解答函数大题时,第一句话写上函数……的定义域为……以防止出错。

课外请深入思考这个问题:

已知函数

f ( x) ? x2 ? 2x ? c, f 1 ( x) ? f ( x), f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,若 f 100 ( x) ? x 无解,求 c 的取值范围____________


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