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2014高考数学(理)二轮专题突破训练 第1部分 专题6 第1讲 算法、复数、推理与证明 Word版含解析]


第一讲 算法、复数、推理与证明?选择、填空题型?

考 点 算法 复数

考 情 1.程序框图在高考中主要考查的类型有:(1)判断功能型; (2)结果输出型;(3)条件判断型.常围绕数列求和、求积,分 段函数求值,统计等知识进行命题,如 2013 年安徽 T2,2013 年新课标全国卷ⅡT6. 2.将复数的概念、复数的几何意义和复数的四则运

算融 合在一起,其中复数的运算、纯虚数的概念以及“分母实数

推理与证明

化”一直是高考的热点,如 2013 年福建 T1,2013 年安徽 T1. 3.高考对合情推理的考查主要有两个方面:一是归纳推 理; 二是类比推理. 重点考查利用这两种推理方法获得新命题、 新结论,如 2013 年陕西 T14.

1.(2013· 安徽高考)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为(

)

3 A. 4 11 C. 12 解析:选 C

1 B. 6 25 D. 24 1 1 1 第一次循环后:s=0+ ,n=4;第二次循环后:s=0+ + ,n=6;第 2 2 4

1 1 1 1 1 1 11 三次循环后:s=0+ + + ,n=8,跳出循环,输出 s=0+ + + = . 2 4 6 2 4 6 12

2.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S= ( )

1 1 1 A. 1+ + +?+ 2 3 10 1 1 1 B. 1+ + +?+ 2! 3! 10! 1 1 1 C. 1+ + +?+ 2 3 11 1 1 1 D. 1+ + +?+ 2! 3! 11! 1 解析:选 B 根据程序框图的循环结构,依次 T=1,S=0+1=1,k=2;T= ,S= 2! 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ ,k=3;T= = ,S=1+ + ,k=4;?;T= ,S=1+ + +? 2! 2×3 3! 2 ! 3! 10! 2! 3! + 1 ,k=11>10=N,跳出循环,输出结果. 10! 3.(2013· 福建高考)已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单位),则 z 在复平面内对 应的点位于( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

解析:选 D ∵ z =1+2i,∴z=1-2i,∴复数 z 在复平面内对应的点为(1,-2),位 于第四象限. 4.(2013· 安徽高考)设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数.若 z·z i+2=2z,则 z =( ) A.1+i C.-1+i B.1-i D.-1-i

解析:选 A 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,又 z·z i+2=2z,∴(a2+b2)i+2= 2a+2bi,∴a=1,b=1,故 z=1+i. 5.(2013· 陕西高考)观察下列等式 (1+1)=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, ?? 照此规律, 第 n 个等式可为________. 解析:观察规律可知,左边为 n 项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边 为 连 续 奇 数 之 积 乘 以 2n , 则 第 n 个 等 式 为 : (n + 1)(n + 2)(n + 3)?(n + n) = 2n×1×3×5×?×(2n-1). 答案:(n+1)(n+2)(n+3)?(n+n)=2n×1×3×5×?×(2n-1)

1.程序框图的逻辑结构 顺序结构、条件结构和循环结构. 2.复数 z=a+bi(a,b∈R)的分类 (1)z 是实数?b=0; (2)z 是虚数?b≠0; (3)z 是纯虚数?a=0,且 b≠0. 3.共轭复数 复数 a+bi(a,b∈R)的共轭复数是 a-bi(a,b∈R). 4.复数的四则运算法则 (1)(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i; (2)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; ac+bd bc-ad (3)(a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(a,b,c,d∈R,c+di≠0). c +d2 c2+d2 5.两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程: 实验、观察 ― → 概括、推广 ― → 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程: 实验、观察 ― → 联想、类推 ― → 猜测新的结论 6.数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n=n0(n0∈N*)时,命题成立;

(2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时,命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对于任何 n≥n0 的正整数都成立.

热点一

算 法 问 题

[例 1] (1)(2013· 重庆高考)执行如图所示的程序框图,如果输出 s=3,那么判断框内应 填入的条件是( )

A.k≤6? C.k≤8?

B.k≤7? D.k≤9? )

(2)(2013· 福建高考)阅读如图所示的程序框图, 若输入的 k=10, 则该算法的功能是(

A.计算数列{2n 1}的前 10 项和


B.计算数列{2n 1}的前 9 项和


C.计算数列{2n-1}的前 10 项和

D.计算数列{2n-1}的前 9 项和 lg 3 lg 4 [自主解答] (1)首次进入循环体,s=1×log23,k=3;第二次进入循环体,s= × lg 2 lg 3 =2,k=4;依次循环,当第六次进入循环体时,s=3,k=8,此时终止循环,则判断框内 填“k≤7?”. (2)由程序框图可知:输出 S=1+2+22+?+29,所以该算法的功能是计算数列{2n 1}


的前 10 项和. [答案] (1)B (2)A

——————————规律· 总结—————————————————— 识别程序框图应注意的问题 对于循环结构的框图的识图问题, 应明确循环结构的框图的特征, 明确框图中变量的变 化特点,根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算,从而确定程序运行的结果.

1.某程序框图如图所示,若输出的 S=26,则判断框内为(

)

A.k>2? C.k>4?

B.k>3? D.k>5?

解析:选 B 由程序框图可知,k=1 时 S=1;k=2 时 S=2×1+2=4;k=3 时 S=2×4 +3=11;k=4 时 S=2×11+4=26. 2.执行如图所示的程序框图,输出的结果是________.

1 1 1 1 解析:共循环 2 013 次,由裂项求和得 S= + +?+ =?1- ?+ 1×2 2×3 2 013×2 014 ? 2?

?1-1?+?+? 1 - 1 ?=1- 1 =2 013. ?2 3? ?2 013 2 014? 2 014 2 014
2 013 答案: 2 014

热点二

复数的概念与运算

[例 2] (1)(2013· 山东高考)复数 z 满足(z-3)· (2-i)=5(i 为虚数单位), 则 z 的共轭复数 z 为( ) A.2+i C.5+i B.2-i D.5-i )

(2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ )若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.-4 C.4 4 B.- 5 4 D. 5

(3)(2013· 广东高考)若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A.(2,4) C.(4,-2) B.(2,-4) D.(4,2)

)

[自主解答] (1)由(z-3)(2-i)=5,得 z=3+ 以 z =5-i. (2)因为|4+3i|=

5?2+i? 5 =3+ =3+2+i=5+i,所 2-i ?2-i??2+i?

42+32=5,所以已知等式为(3-4i)z=5, 即 z=

5?3+4i? 5 = 3-4i ?3-4i??3+4i?

5?3+4i? 3+4i 3 4 4 = = = + i,所以复数 z 的虚部为 . 25 5 5 5 5

2+4i ?2+4i?· ?-i? (3)由 iz=2+4i,可得 z= = =4-2i,所以 z 对应的点的坐标是(4,- i i· ?-i? 2). [答案] (1)D 互动探究 本例(3)条件不变, z 对应的点在第几象限? 解:由例题可知 z=4-2i,∴ z =4+2i,因此 z 对应的点在第一象限. ——————————规律· 总结—————————————————— 复数运算的技巧 复数代数形式的运算类似于多项式的运算, 加法类似于合并同类项, 乘法类似于多项式 乘多项式,除法类似于分母有理化(实数化),分子、分母同乘分母的共轭复数. (2)D (3)C

3.已知 i 为虚数单位,则复数 i(2-3i)对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 解析:选 A B.第二象限 D.第四象限

)

i(2-3i)=2i+3=3+2i 对应的点为(3,2),位于第一象限.

m+i 1 4.已知 m∈R,复数 - 的实部和虚部相等,则 m=________. 1+i 2 解析: m+i 1 ?m+i??1-i? 1 ?m+1?+?1-m?i 1 m+?1-m?i - = - = - = ,由已知得 m=1 2 2 2 1+i 2 ?1+i??1-i? 2

1 -m,则 m= . 2 1 答案: 2

热点三

推理与证明

[例 3] (1)(2013· 湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三 n?n+1? 1 2 1 角形数 1,3,6,10, ?, 第 n 个三角形数为 = n + n.记第 n 个 k 边形数为 N(n, k)(k≥3), 2 2 2 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)=n2,

3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)=2n2-n, ?? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=________. (2)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. 1 1 [自主解答] (1)N(n,k)=akn2+bkn(k≥3),其中数列{ak}是以 为首项, 为公差的等差 2 2 1 1 数列;数列{bk}是以 为首项,- 为公差的等差数列;所以 N(n,24)=11n2-10n,当 n=10 2 2 时,N(10,24)=11×102-10×10=1 000. (2)由第一个等式为 1,第二个等式为-3,第三个等式为 6,第四个等式为-10,??, 可得第 n 个等式为(-1)n
+1

n?n+1? . 2
+ +1

[答案] (1)1 000 (2)12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n

n?n+1? 2

——————————规律· 总结—————————————————— 合情推理的解题思路 (1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的 联系,从而归纳出一般结论. (2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出 类比对象的性质. (3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.

x 5.已知函数 f(x)= (x>0).如下定义一列函数: x+2 f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),?,fn(x)=f(fn-1(x)),?,n∈N*,那么由归纳 推理可得函数 fn(x)的解析式是 fn(x)=________. x 解析:依题意得,f1(x)= , x+2

x x+2 x x f2(x)= = = 2 , x 3x+4 ?2 -1?x+22 +2 x+2 x 3x+4 x x x f3(x)= = = ,?,由此归纳可得 fn(x)= n (x>0). x 7x+8 ?23-1?x+23 ?2 -1?x+2n +2 3x+4 答案: x (x>0) ?2 -1?x+2n
n

1 4 x x 4 27 x x 6.已知 x∈(0,+∞),观察下列各式:x+ ≥2,x+ 2= + + 2≥3,x+ 3 = + + x x 2 2 x x 3 3 x 27 a + ≥4,?,类比得 x+ n≥n+1(n∈N*),则 a=________. 3 x3 x 解析:第一个式子是 n=1 的情况,此时 a=11=1,第二个式子是 n=2 的情况,此时 a =22=4,第三个式子是 n=3 的情况,此时 a=33=27,归纳可知 a=nn. 答案:nn

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