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河南省安阳市2014届高三第二次模拟考试数学(理)试题(扫描版)


2014 届高三毕业班第二次模拟考试

数学(理)参考答案

一、选择题: DAAAC BBDCA 二、填空题:
13. 90
0

AC

14. 3

15. 0

16.

2m ? 1 2n


三、解答题:
17.解: (Ⅰ)由正弦定理

a b c ? ? ? 2R 得 sin A sin B sin C

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C .

3 3 ? a cos B ? b cos A ? c ,? 2 R sin A cos B ? 2 R sin B cos A ? ? 2 R sin C 即 5 5 3 3 3 3 sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin C ? sin( A ? B) ? sin A ? cos B ? cos A ? sin B 5 5 5 5 2 8 tan A .....6 分 ?4 . ? sin A ? cos B ? cos A ? sin B ,解得 tan B 5 5
(Ⅱ)由(I)得 tan A ? 4 tan B ,故 A, B 都是锐角,于是 tan B ? 0

tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 3 tan B = = 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan 2 B

3 1 ? 4 tan B tan B



3 , 4

当且仅当 tan B =

1 3 时,上式取等号,因此 tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4

.....12 分

18.解(Ⅰ)列联表补充如下 2 分 患心肺疾病 男 女 合计 20 10 30 不患心肺疾病 5 15 20 合计 25 25 50

(Ⅱ)因为 K ?
2

n(ad ? bc) 2 50(20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 ? ? 8.333 ....4 分 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d ) 30 ? 20 ? 25 ? 25

而 8.333 ? 6.635 ,所以我们有 99% 的把握认为患心肺疾病与性别有关系......6 分 (Ⅲ)解: X 的所有可能取值: 0, 1, 2, 3
3 C7 35 7 P ( X ? 0) ? 3 ? ? , C10 120 24 1 2 C3 ? C7 63 21 P( X ? 1) ? ? ? , 3 C10 120 40

P ( X ? 2) ?

2 1 C3 ? C7 21 7 ? ? , 3 C10 120 40

P ( X ? 3) ?

3 C3 1 ? . 3 C10 120

分布列如下:

X

0

1

2

3

......10 分

? E( X ) ? 0 ?

7 21 7 1 9 . ? 1? ? 2? ? 3? ? 24 40 40 120 10

......12 分

19.解(1)? CC1 ? BC1 ? 2 , BC ? 2 ,? ?CC1 B 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形, 取 BC 的中点 O ,连接 AO, C1 O ,设 OA ? b ,则 AO ? BC, C1O ? BC .
? 面 ABC ? 面 BCC1 B1 ,且面 ABC ? 面 BCC1 B1 ? BC ,
? AO ? 面 BCC1 B1 , C1 O ? 面 ABC .

以 O 为坐标原点,以 OC 、 OC1 、 OA 为 x, y, z 轴建 立空间直角坐标系,
?C(1,0,0), C1 (0,1,0), A(0,0, b), A1 (?1,1, b), B(?1,0,0) .

1 b 1 1 ? E (? ,0, ), F ( , ,0) 2 2 2 2

1 b ? BC1 ? (1,1,0), A1C1 ? (1,0,?b), EF ? (1, ,? ) . 2 2

易求得平面 A1 BC1 的一个法向量为 n ? (b,?b,1)

b b ? n ? EF ? b ? ? ? 0 . 2 2
...... 4 分

? n ? EF , 又 EF ? 面 A1 BC1 ? EF // 面 A1 BC1 .

(2)设平面 ACC1 A1 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 又 CC1 ? (?1,1,0), AC ? (1,0,?b) , 则?

? ? CC1 ? n1 ? 0 ?? x1 ? y1 ? 0 ,? ,令 z1 ? 1 ,则 n1 ? (b, b,1) . x1 ? bz1 ? 0 ? ? A C ? n ? 0 ? 1 1 1

1 b 又 EF ? (1, ,? ) 2 2

? cos ? n1 , EF ? ?

n1 ? EF n1 ? EF

=

b 5 b 2b ? 1 ? 4 4
2 2

?

2 . 3

...... 6 分

解得 b ? 1, 或 b ? 所以 n1 ? (1,1,1)

10 , ? AC 为整数 ?b ? 1 . 2

...... 8 分

同理可求得平面 AA1 B 的一个法向量 n2 ? (1,1,?1) ,

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n 1 = . | n1 | ? | n2 | 3
1 . 3

......11 分

二面角 C ? AA1 ? B 的余弦值为 20.解: (I)由 x ? 4 y得y ?
2

......12 分

1 2 1 x , ? y? ? x. 4 2
……2分

故 l 的方程为 y ? x ? 1,?点A的坐标为(1,0). 设 M ( x, y ), 则 AB ? (1, 0), BM ? ( x ? 2, y ), AM ? ( x ? 1, y ) , 由 AB ? BM ? 2 AM ? 0得( x ? 2) ? y ? 0 ? 2 ? ( x ?1)2 ? y 2 ? 0 .

??? ?

???? ?

???? ?

??? ? ???? ?

???? ?

整理

x2 ? y2 ? 1 . 2

……4分

? 动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为 2 2 ,短轴长为2的椭圆.
……5分 (II)设 E ( x1 , y1 ) . F ( x2 , y2 ) ,由题意知 l ? 的斜率存在且不为零, 设 l ? 方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ① ,

将①代入

x2 ? y 2 ? 1 ,整理,得 2

(2 k2 ? 1x )2 ? 8 k2 ? x ? ( 8 k2 ? 2 ? ) 由 0 ,? 得 ?
? 8k 2 x ? x ? ? ? 1 2 2k 2 ? 1 , 则? 2 8 k ? 2 ?x x ? ? 1 2 2k 2 ? 1 ?

2 0 ? k 0

1 ? 2

.

…… 7分



令? ?

BE S ?OBE , 则? ? , S ?OBF BF

由此可得 BE ? ? ? BF , ? ? 由②知 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ?

??? ?

??? ?

x1 ? 2 , 且0 ? ? ? 1. x2 ? 2

?4 , 1 ? 2k 2

2 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? , 1 ? 2k 2
即k ?
2

? 2k 2 ? 1 ? ? , (1 ? ? ) 2 8
…… 10分

4? 1 ? . 2 (1 ? ? ) 2

1 ?0 ? k2 ? , 2

?0 ?

4? 1 1 ? ? , 2 (1 ? ? ) 2 2

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2.

又? 0 ? ? ? 1,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1,

??OBE与?OBF 面积之比的取值范围是 (3 ? 2 2 , 1) .
21.解: (I)当 a ?

……12分

1 x2 ? 1 1 1 ' 时, f ( x ) ? x 2 ? ln x , f ( x ) ? x ? ? ; x x 2 2

对于 x ? ?1, e?,有 f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间 [1, e] 上为增函数. ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 1 , f min ( x ) ? f (1) ? . 2 2

…… 3 分

(II)在区间 ?1,?? ? 上,函数 f ( x ) 是 f1 ( x ) , f 2 ( x ) 的“关联函数”,则有

f1 ( x ) ? f ( x ) ? f 2 ( x ) .
令 p( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) , h( x) ? f1 ( x) ? f ( x) ,则

1 1 p( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ? 0 , h( x) ? ? x 2 ? 2ax ? a 2 ln x ? 0 2 2
对 x ? (1,??) 恒成立, …… 5 分

?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ∵ p`(
1) 若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] ? ? . x x x

1 1 ,令 p?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 p?( x) ? 0 ,此时 p ( x) 在区 2
间( x2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p ( x) ∈( p( x2 ) ,+∞) ,不合题意; 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, p ( x) 在区间(1,+∞)上,有

p( x) ∈( p (1) ,+∞) ,也不合题意;
2) 若 a ?

…… 7 分

1 ,则有 2a ?1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 p?( x) ? 0 ,从而 p ( x) 在 2

区间(1,+∞)上是减函数;要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立, 只须满足 p(1) ? ?a ?

1 1 1 1 ? 0 ? a ? ? ,所以 ? ? a ? . 2 2 2 2

…… 9 分

又因为 h' ( x) ? ? x ? 2a ?

a 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a) 2 ? ? ? 0 , h( x) 在(1, +∞)上 x x x

为减函数, h( x) ? h(1) ? ? 综上可得 a 的范围是[ ?

1 1 ? 2a ? 0 , 所以 a ? . 4 2
…… 12 分

1 1 , ]. 2 4

22.(Ⅰ)证明:? ?CPD ? ?ABC , ?D ? ?D ,

? ?DPC ~ ?DBA , ?
又? AB ? AC ,?

PC PD ? AB BD .
……5 分

PC PD . ? AC BD

(Ⅱ)解: ? ?ACD ? ?APC , ?CAP ? ?CAP,

? ?APC ~ ?ACD ?

AP AC , ? AC AD
……10 分

? AC 2 ? AP ? AD ? 9 .

23 .解: ( 1 )直线 l : 2 ? cos(? ?

?
6

) ? 3 即 3? cos ? ? ? sin ? ? 3 ? 直线 l 的直角坐
……5 分

标方程为 3x ? y ? 3 ,点 P 在直线 l 上.

1 ? x ? ? t ? 2 ? ( 2 )直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的直角坐标方程为 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
x2 y 2 ? ? 1 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 5 15
有 3( ?

1 2 3 2 t) ? ( 3 ? t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 ,设两根为 t1 , t2 , 2 2
……10 分

? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8 .
24.解: (Ⅰ) 2(a ? b ) ? (a ? b) ,
2 2 2

9 ? ( a ? b) 2

当且仅当 a ? b 时取等号.

又 a ? b ? m 恒成立, ? m ? 3.

故 m 的最小值为 3. (Ⅱ)要使 2 | x ? 1| ? | x |? a ? b 恒成立,须且只须 2 | x ? 1| ? | x |? 3,

…….5 分

?x ? 0 ?? ??2 x ? 2? x ? 3
解得



?0 ? x ? 1 ? ? ?2 x ? 2 ? x ? 3
5 x? . 3



?x ? 1 , ? ?2 x ? 2? x ? 3

x??

1 3



所以原不等式的解集为 ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? . 3 3

? ?

1? ?

?5 ?

? ?

……10 分


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