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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点


2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
(请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范” )

C 题 输油管的布置
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油。 由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离

的各种不同情形,提出你的设计方案。在方案 设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示,其中 A 厂位于郊区(图中的 I 区域),B 厂位于城区(图中的 II 区域),两个区域的分界线用图中的虚 线表示。图中各字母表示的距离(单位:千米)分别为 a = 5,b = 8,c = 15,l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附 加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质,公司二 和公司三具有乙级资质)进行了估算。估算结果如下表所示: 工程咨询公司 附加费用(万元/千米) 公司一 21 公司二 24 公司三 20

请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中,为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管。这 时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元,输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万 元,共用管线费用为每千米 7.2 万元,拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费

用。

2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题评阅要点
[说明]本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。 (1) 如图 1,设 P 的坐标为(x, y) (x ≥ 0,y ≥ 0),共用管道的费用为非共用管道的 k 倍,模型可归结 为

min f ( x, y ) ? k y ? x 2 ? (a ? y ) 2 ? (c ? x) 2 ? (b ? y ) 2

图1 只需考虑1 ? k ? 2 的情形。对上述二元费用函数求最小值可得(不妨假设 a ? b ) (a) 当 c ?

4 ? k2 * (b ? a) 时, P ? (0, a) , f min ? k

(b ? a ) 2 ? c 2 ? k a ;

(b) 当

4 ? k2 (b ? a) ? c ? k

4 ? k2 (b ? a) 时, k

? 4?k2 ? 1 c 1 k 2 P* ? ? (a ? b) ? , (a ? b ? c) ? , f min ? (a ? b)k ? 4 ? k c ; 2 ? 2k ? 2 2 2 4?k ? ?
(c) 当 c ?

?

?

ac 4? k2 * ,0) , f min ? (a ? b) 2 ? c 2 。 (b ? a) 时, P ? ( k a?b

对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令 k = 1。 本小题的评阅应注意模型的正确性,结果推导的合理性及结果的完整性。 (2) 对于出现城乡差别的复杂情况,模型将做以下变更: (a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。 根据三家评估公司的资质, 用加权平均的方法得 出费用的估计值。注意:公司一的权值应大于公司二和公司三的权值,公司二和公司三的权值应相 等。 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为 Q,Q 到铁路线的距离为 z(参见图 2) 。

图2 一般情况下, 连接炼油厂 A 和点 Q 到铁路线的输油管最优布置应取上述(1)(b)的结果, 因此管道 总费用最省的数学模型成为

min g ( z ) ?
其中 t 表示城乡建设费用的比值。 当 z* ? b ?

1 (a ? z ? 3 c) ? t ? (b ? z ) 2 ? (l ? c) 2 2

l ?c 4t 2 ? 1

时, g (z ) 取得最小值

g ( z*) ?

1 (a ? b ? 3 c ? 4t 2 ? 1 (l ? c)) 。 2

若在建立正确的模型后,用优化软件进行数值求解也是可取的。 两种极端情形: 当权重取为 1:1:1 时, 点坐标为(5.4462,1.8556), 点坐标为 (15.0000, 7.3715), P Q 最小费用为 283.5373 万元。当权重取为 1:0:0 时,P 点坐标为(5.4593,1.8481),Q 点坐标为 (15.0000, 7.3564),最小费用为 280.1771 万元。 最终的答案依赖于权重的不同取值,但最小费用应介于 280.1771 万元和 283.5373 万元之间。 (3) 考虑各部分管道费率不等的情况。 分别用 k1 , k 2 , k 3 , k 4 记 AP、 PQ、 PH、 段管道的费率, BQ 并设 P 和 Q 点的坐标分别为(x, y)、 (c,z) (如图 3 所示),则总费用的表达式为

F (x, y, z) ? k1 x 2 ? (a ? y ) 2 ? k 2 (c ? x) 2 ? ( z ? y ) 2 ? k 3 y ? k 4 (l ? c) 2 ? (b ? z ) 2

图3 可以写出 F 的最优解的解析表达式,也可以用数值求解的方法得到比较精确的结果。 两种极端情形: 当权重取为 1:1:1 时, 点坐标为(6.7310,0.1409), 点坐标为 (15.0000,7.2839), P Q 最小费用为 252.8104 万元。当权重取为 1:0:0 时,P 点坐标为(6.7424,0.1327),Q 点坐标为 (15.0000, 7.2659),最小费用为 249.4422 万元。 最终的答案依赖于权重的不同取值,但最小费用应介于 249.4422 万元和 252.8104 万元之间。 注:评阅时,(2)、(3)两小题得到最优解的解析表达式比仅有数值结果为好。


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