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运用向量法证明几个数学公式


运用向量法证明几个数学
向量法是几何问题代数化的一种重要方法,运用向量法可以证明一些三角 或者几何公式,下面仅举几例予以说明。

例 1、用向量证明和差化积公式
cos ? ? cos ? ? 2 cos sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2 2

cos

? ??
2 2

? ??

cos

? ??

如图,作单位圆,并任作两个向量
??? ? OP ? ( c o ? s ???? , s? n ,)OQ ? (cos ? , sin ? ) i

P

M


M( c

? PQ
o 2 s




,


s i

M
n




)

? ??

? ??
2

?
O

N

?

Q

连接 PQ、OM,设它们相交于点 N,则 点 N 为线段 PQ 的中点, ON ? PQ , 且 ∠Mox 和∠MOQ 分别为 N
N(

? ?? ? ??
2 , 2

,所以 | ON |? | OM | cos

????

???? ?

? ??
2

? cos

? ??
2

,所以点 , 即
s i n


??
c o


?
s


? ?



2 2 ???? 1 ??? ???? ? 1 又 ON ? ( OP ? OQ ) ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 1 cos , cos sin ) ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) 所以 (cos 2 2 2 2 2 ? ?? ? ?? cos 即 cos ? ? cos ? ? 2 cos 2 2 P ? ?? ? ?? M sin ? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2

???? ? ? ? ???? ? ?? (| ON | cos , | ON | sin ) 2 2 ? ? ? ?? ? c o s , c o 2 2

s

?

在上面的基础上, 还可以证明另外两个
F

N G

和差化积公式:
O

?

E

Q

?

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2
2

sin

? ??
2

cos ? ? cos ? ? ? 2 sin

? ??

sin

? ??
2

如图,过 P 点作 y 轴的平行线,过 Q 作 x 轴的平行线相交于点 F,那么
??? ? ??? ? | PF |? sin ? ? sin ? , | FQ |? cos ? ? cos ? ,



QPF





QNE





Mox



? ??
2



???? ???? ???? ? ?? ? ?? | PQ |? 2 | NQ |? 2 | OQ | sin ? 2 sin 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 | PF |?| PQ | cos ? QPF ,| FQ |?| PQ | sin ? QPF

即 sin ? ? sin ? ? 2 cos
cos ? ? cos ? ? ? 2 sin

? ??

2 ? ?? 2

sin sin

? ??

2 ? ?? 2

例 2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式
如图, 在直角坐标系中, 已知 OA ? a ? ( a1 , a 2 ) ,OB ? b ? (b1 , b2 ) , 以线段 OA、 OB 为邻边作平行四边形 OACB,那么平行四边 形的面积 S ?| a1b 2 ? a 2b 1 | ,三角形 OAB 的面积
S ? OAB ? 1 2 | a1b 2 ? a 2b 1 |

??? ?

?

??? ?

?

y C B A O x

? ? 证明:设 ? a , b ?? ? ,那么可以得出
? ? ? ? a ?b ? | a || b | sin ? ,由于 cos ? ? ? ? | a || b |

S OACB

? ? a ?b 2 2 2 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ? ? ) | a || b |
? 1? ( a1b1 ? a 2 b2 )
2 2 2 2 2

( a1 ? a 2 )( b1 ? b2 )

?

a1 b2 ? a 2 b1 ? 2 a1b1 a 2 b2
2 2 2 2

( a1 ? a 2 )( b1 ? b2 )
2 2 2 2

?

( a1b2 ? a 2 b1 )
2 2 2

2 2

( a1 ? a 2 )(b1 ? b2 )

所以 sin ? ?

| a1b2 ? a 2 b1 | a1 ? a 2
2 2

b1 ? b2
2

2

所以 S OACB ?| a1b2 ? a 2 b1 | ,因此 S ? OAB ?

1 2

| a1b2 ? a 2 b1 |

例 3、用向量法证明三角形面积的海伦公式
三角形面积的海伦公式: S ? 的边长, p ?
1 2

p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) , 式中 a , b , c 为三条边

( a ? b ? c ) , S 为三角形的面积.

证 明 : 证 明 : 在 三 角 形 ABC 中 , 设 BC ? a , CA ? b , AB ? c , a ? a ,
? ? b ? b, c ? c

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

?

?

因为: ? ABC 的面积为: S ? 所以: S 2 ?

1 2

ab sin C

1 ? 2 ? 2 1 ? 2 ? 2 2 2 | a | | b | sin C ? | a | | b | (1 ? cos C ) 4 4 1 ? 2 ? 2 1 ? ?2 2 2 ? | a | | b | ? | a | | b | cos C 4 4 ? ? 1 ? ? = (| a |2 | b |2 ? ( a ? b ) 2 ) ………………(1) 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为: a ? b ? c ? 0 , 所以: a ? b ? ? c , 所以: ( a ? b ) 2 ? c 2 ,

所以:

? ? 1 ?2 ?2 ?2 a ? b ? ( c ? a ? b ) …………………… (2) 2

将(2)式代入(1)式, 并化简得:
S
2

? ? ?

1 4 1

[a b ?
2 2

1 4
2

(c ? a ? b ) ] ?
2 2 2 2 2 2 2

1 16

[ 2 ab ? ( c ? a ? b )][ 2 ab ? ( c ? a ? b )]
2 2 2 2 2 2

16 1 16

[( a ? b ) ? c ][ c ? ( a ? b ) ] ?

1 16

( a ? b ? c )( a ? b ? c )( c ? a ? b )( c ? a ? b )

? 2 p ? ( 2 p ? 2 c ) ? ( 2 p ? 2 b ) ? ( 2 p ? 2 a ).

化简即得 S 2 ? p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) . 所以
S ? p ( p ? a )( p ? b )( p ? c )

例 4、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC 中,设三内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c. ∵ AC + C B = AB ,
???? ???? ??? ? ????

????

??? ?

??? ?

∴ AC ? ( AC ? CB ) ? AB ? AC

????

????

??? ?

??? ???? ?

∴ | AC |2 ? AC ? CB ? AB ? AC
???? ???? ??? ?

??? ???? ? ??? ? ????

∴ | AC |2 ? | AC | ? | CB | cos(? ? C ) ?| AB | ? | AC | cos A ∴ | AC | ? | CB | cos C ?| AB | cos A ∴b-acosC=ccosA 类似地有 即 b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA, …………………① …………………②
??? ? ??? ?

a=bcosC+ccosB. …………………③ 上述三式称为三角形中的射影定理.


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