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周末辅导-椭圆



一、 椭圆的定义



知识点:椭圆定义:平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的_____________等于常数___,数学表达式_____________ , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的____,两焦点的距离叫作椭圆的____. 注意:①若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则

动点 P 的轨迹为____________; ②若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹____________

练习:1、如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,O 是坐标原点,则 81 25
(B)4 (C)8 (D)

ON 的长为(

) .

(A)2

3 2

2 【2014 高考大纲卷文第 9 题】已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1,F2 离心率为 ,过 F2 的直线 2 a b 3


l 交 C 与 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

3. 【2014 高考辽宁卷文第 15 题】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点 9 4
.

分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

4、一动圆过定点 A(1,0) ,且与定圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 16 相切,则动圆圆心轨迹方程是
2

.

5、 (2013· 高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程;

二、 椭圆的方程 1、焦点在 x 轴的椭圆方程_______________________焦点在 y 轴的椭圆方程_______________________ 2、判断焦点的口诀:谁大在谁上
高二,我在努力,我再努力! 1

练习:6、若方程为

x2 y2 ? ? 1表示椭圆,则 k ? 9 ? k k ?1

. 表示圆,则 k ? ______________,焦点在 x

轴的椭圆,则 k ? _________________焦点在 x 轴的椭圆,则 k ? _________________

7、椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

8、 .以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P(

3 4 ,-4)和 Q(- ,3) ,则此椭圆的方程是_______________ 5 5

快速练习: 1、 求适合条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 ?2, ? 6? ;

(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直,且焦距为 6. 1 2、(2013· 高考广东卷)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是___________ 2

x2 y2 3 3、(2013· 高考江西卷)椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3.求椭圆 C 的方程___________; a b 2

4、(2013· 高考山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心 2 率为 .求椭圆 C 的方程___________; 2 x2 y2 5、(2013· 高考安徽卷)设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上.若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; a 1-a2 x2 6、(2012· 高考陕西卷)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 求椭圆 C2 的方程;

三、

椭圆的几何性质
2

高二,我在努力,我再努力!

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点坐标 离心率 练习: 9、填空 关于 x 轴、y 轴、原点对称

方程 长轴顶点 短轴顶点 焦点坐标 长轴长 短轴长 焦距 范围 通径 离心率

x2 y2 ? ?1 9 4

x2 y2 ? ?1 4 16

25x +4y -100=0

2

2

x2+ 8y2=1

10、椭圆

x2 y2 x2 y2 和 ? ? 1 ? ? k ?k ? 0? 具有 a2 b2 a2 b2 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点
3

( D.相同的长、短轴



高二,我在努力,我再努力!

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 11、已知椭圆 2 k ?8 9

四、 椭圆的离心率 1、 离心率公式:______________ 2、 椭圆离心率范围:______________ 3、 椭圆离心率几何意义:离心率越大,椭圆越_____________,离心率越大,椭圆越_____________ 4、 离心率的计算: (1)直接找 a、b、c (2)找 a、b、c 关系式(方程) ,注意齐次式的处理 练习: x2 y2 12、(2013· 高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点, PF2 a b ⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( ) 3 1 1 3 A. B. C. D. 6 3 2 3

x2 y2 13、(2013· 高考福建卷)椭圆 Γ: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭 a b 圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.

x2 y2 14、(2013· 高考辽宁卷)已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相交于 A,B 两点, a b 4 连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF= ,则椭圆 C 的离心率 e=________. 5

快速练习:15、 (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T5)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

P 是 C 上的点, PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30 ,则 C 的离心率为________.
16、 【2014 高考江西卷文第 14 题】设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交 a 2 b2

B 两点, F1B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1B ,则椭圆 C 的离心率等于________. 于 A,

x2 y 17. 【2014 高考安徽卷文第 21 题】设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线 a b
交椭圆 E 于 A, B 两点, | AF1 |? 3 | BF1 | 若 cos ?AF2 B ?

2

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

高二,我在努力,我再努力!

4

椭圆
五、 椭圆的定义 1、 知识点:椭圆定义:_________________________________________________________ 2、 注意:_________________________________________________________

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,O 是坐标原点,则 ON 的 1、如果椭圆 81 25
长为( C ) . (A)2 (B)4 (C)8 (D)

3 2

2 【2014 高考大纲卷文第 9 题】已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1,F2 离心率为 ,过 F2 的直线 2 a b 3


l 交 C 与 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

3. 【2014 高考辽宁卷文第 15 题】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点 9 4
.

分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

高二,我在努力,我再努力!

5

【答案】 12 【解析】 试题分析:如图所示,由已知条件得,点 F1 , F2 分布是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,且 F1 , F2 , K 分别是线段 9 4

MB, MA, MN 的中点,则在 ?NBM 和 ?NAM 中, NB ? 2 KF 1 , NA ? 2 KF 2 ,又由椭圆定义得,

KF1 ? KF2 ? 2a ? 6 ,故 | AN | ? | BN |? 2( KF1 ? KF2 ) ? 12 .
4、一动圆过定点 A(1,0) ,且与定圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 16 相切,则动圆圆心轨迹方程是
2

x2 y2 ? ? 1. 4 3

5、 (2013· 高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程;

解: 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=4.设圆 P 的圆心为 P(x,y), 半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左,右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外),其方 x2 y2 程为 + =1(x≠-2). 4 3

六、椭圆的方程 1、焦点在 x 轴的椭圆方程_______________________焦点在 y 轴的椭圆方程_______________________ 2、判断焦点的口诀:谁大在谁上 6、 若方程为

x2 y2 ? ? 1表示椭圆,则 k ? (1,5) ? (5,9) . 表示圆,则 k ? ______________, 焦点在 x 轴的椭圆, 9 ? k k ?1
6

高二,我在努力,我再努力!

则 k ? _________________焦点在 x 轴的椭圆,则 k ? _________________

7、椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解: (1)当 A?2, 0? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1 ,

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 1

(2)当 A?2, 0? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 ,

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 16
3 4 ,-4)和 Q(- ,3) ,则此椭圆的方程是( 5 5
(B)

8、 .以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P(

A ) .

(A)

y2 ? x2 ? 1 25 y2 x2 ? x2 ? 1或 ? y2 ? 1 25 25

x2 ? y2 ? 1 25

(C)

(D)以上都不对

快速练习: 1、 求适合条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 ?2, ? 6? ; (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直,且焦距为 6. 分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如( 1 )题中由

x2 y 2 ? ? 1 求出 a 2 ? 1 4 8, b2 ? 37 ,在得方程 a 2 b2

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 后,不能依此写出另一方程 ? ? 1. 148 37 148 37
解: (1)设椭圆的标准方程为 由已知 a ? 2b .

x2 y 2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1. 或 a 2 b2 a 2 b2


? 6? ,因此有 又过点 ?2,

?? 6? ? 22 ? 1. 22 ?? 6? ? ? 1 或 a2 b2 a2 b2
2 2
2 2 2 2



由①、②,得 a ? 148, b ? 37 或 a ? 52 , b ? 13.故所求的方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1. 148 37 52 13
高二,我在努力,我再努力! 7

x2 y 2 x2 y2 2 c ? 3 b ? c ? 3 ? ?1. (2)设方程为 2 ? 2 ? 1 .由已知, , ,所以 a ? 18 .故所求方程为 a b 18 9
说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数” .关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应 设方程

x2 y 2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1. 或 a 2 b2 a 2 b2

1 2、(2013· 高考广东卷)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( ) 2 2 2 2 2 x y x y A. + =1 B. + =1 3 4 4 3 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 4 2 4 3 c 1 解析:选 D.右焦点为 F(1,0)说明两层含义:椭圆的焦点在 x 轴上;c=1.又离心率为 = ,故 a=2,b2=a2-c2=4 a 2 x2 y2 -1=3,故椭圆的方程为 + =1,故选 D. 4 3 x2 y2 3 3、(2013· 高考江西卷)椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3.求椭圆 C 的方程; a b 2 3 c 2 1 = ,所以 a= c,b= c. 2 a 3 3 代入 a+b=3,得 c= 3,a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 解:(1)因为 e= 4、(2013· 高考山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心 2 率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; x2 y2 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 + 2=1(a>b>0), a b a =b +c , ? ?c 2 由题意知? = , a 2 ? ?2b=2,
2 2 2

?a= 2, 解得? ?b=1,

x2 因此椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2

x2 y2 5、(2013· 高考安徽卷)设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上. a 1-a2 (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; 1 5 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上且焦距为 1,所以 2a2-1= ,解得 a2= . 4 8 8x2 8y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 5 3 x2 5、(2012· 高考陕西卷)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (Ⅰ)求椭圆 C2 的方程;

高二,我在努力,我再努力!

8

y2 x2 12.解:(Ⅰ)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2). a 4 2 a -4 3 3 其离心率为 ,故 = ,则 a=4, 2 a 2 y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4

七、椭圆的几何性质 标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点坐标 离心率

-a≤x≤a,-b ≤y≤b

-b ≤x≤b, -a≤y≤a

关于 x 轴、y 轴、原点对称 (±a,0)(0,±b) (±b,0),(0,±a)

e?

c (0 ? e ? 1) a

9、填空 方程 长轴顶点 短轴顶点 焦点坐标 长轴长 短轴长 焦距 范围 通径 离心率 10、椭圆
x2 y2 x2 y2 和 ? ? 1 ? ? k ?k ? 0? 具有 a2 b2 a2 b2 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点

x2 y2 ? ?1 9 4

x2 y2 ? ?1 4 16

25x +4y -100=0

2

2

x2+ 8y2=1

( D.相同的长、短轴

A )

11、已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 2 k ?8 9
9

高二,我在努力,我再努力!

分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, a ? k ? 8 , b ? 9 ,得 c ? k ? 1 .由 e ?
2 2 2

1 ,得 k ? 4 . 2

当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ? 1 ? k .
2 2 2

1 1? k 1 5 ? ,即 k ? ? . ,得 2 9 4 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
由e ? 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k ? 8 与 9 的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在 x 轴上,也 可能在 y 轴上.故必须进行讨论.

八、椭圆的离心率 5、 离心率公式:______________ 6、 椭圆离心率范围:______________ 7、 椭圆离心率几何意义:离心率越大,椭圆越_____________,离心率越大,椭圆越_____________ 8、 离心率的计算: (1)直接找 a、b、c (2)找 a、b、c 关系式(方程) ,注意齐次式的处理 x2 y2 12、(2013· 高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点, PF2 a b ⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( ) 3 1 A. B. 6 3 1 3 C. D. 2 3 解析:选 D.

x2 y2 13、(2013· 高考福建卷)椭圆 Γ: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭 a b 圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 解析:已知 F1(-c,0),F2(c,0), 直线 y= 3(x+c)过点 F1,且斜率为 3, ∴倾斜角∠MF1F2=60° . 1 ∵∠MF2F1= ∠MF1F2=30° , 2 ∴∠F1MF2=90° ,∴|MF1|=c,|MF2|= 3c. 由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a,
高二,我在努力,我再努力! 10

如图,由题意知 |PF2| 1 sin 30° = = , m |PF1| 2 ∴|PF1|=2|PF2|. 又∵|PF1|+|PF2|=2a, 2a ∴|PF2|= . 3 2a |PF2| 3 3 ∴tan 30° = = = . |F1F2| 2c 3 c 3 ∴ = .故选 D. a 3

x2 y2 14、(2013· 高考辽宁卷)已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相交于 A,B 两点, a b 4 连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF= ,则椭圆 C 的离心率 e=________. 5 解析:设椭圆的右焦点为 F1,因为直线过原点,所以|AF|=|BF1|=6,|BO|=|AO|.在△ABF 中,设|BF|=x,由余弦 4 定理得 36=100+x2-2×10x× ,解得 x=8,即|BF|=8.所以∠BFA=90° ,所以△ABF 是直角三角形,所以 2a=6+8 5 1 5 =14,即 a=7.又因为在 Rt△ABF 中,|BO|=|AO|,所以|OF|= |AB|=5,即 c=5.所以 e= . 2 7 5 答案: 7 快速练习: 15、 (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T5)设椭圆 C :

c 2 ∴离心率 e= = = 3-1. a 1+ 3 答案: 3-1

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上 a 2 b2


C 的离心率为( 的点, PF2 ? F 1F 2 , ?PF 1F 2 ? 30 ,则
A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将 PF1 , PF2 用半焦距 c 表示出来,然后借助椭圆的定义,可得 a,c 的关系, 从而得离心率. 【解析】选 D. 因为 PF2 ? F 1F 2 , ?PF 1F2 ? 30 , 所以 PF2 ? 2c tan 30 ?

2 3 4 3 c, PF1 ? c。 3 3

又 PF1 ? PF2 ?

c 1 3 6 3 , c ? 2a ,所以 ? ? 3 a 3 3
3 ,选 D. 3

即椭圆的离心率为

16、 【2014 高考江西卷文第 14 题】设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交 a 2 b2

B 两点, F1B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1B ,则椭圆 C 的离心率等于________. 于 A,

高二,我在努力,我再努力!

11

x2 y 17. 【2014 高考安徽卷文第 21 题】设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线 a b
交椭圆 E 于 A, B 两点, | AF1 |? 3 | BF1 | (1) 若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (2) 若 cos ?AF2 B ?

2

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

【答案】 (1) 5 ; (2) 【解析】 试题分析: (1)由题意 | 定义可得 4a ? 16,|

2 . 2

AF1 |? 3| F1B |,| AB |? 4 可以求得 | AF1 |? 3,| F1B |? 1 ,而 ?ABF2 的周长为16 ,再由椭圆

AF1 | ? | AF2 |? 2a ? 8 . 故 | AF2 |? 2a? | AF1 |? 8 ? 3 ? 5 . ( 2 )设出 | F1B |? k ,则 k ? 0 且

| AF1 |? 3k ,| AB |? 4k . 根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出 a, k 的关系 (a ? k )(a ? 3k ) ? 0,从而 a ? 3k , | AF2 |? 3k ?| AF1 |,| BF2 |? 5k
, 则

| BF2 |2 ?| F2 A | ? | AB |

2



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