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小学六年级数学竞赛讲座第12讲 抽屉原理(二)


第十二讲抽屉原理(二)
模块一、最不利原则: 例 1.现有一个袋子,里面装有 18 种不同颜色的玻璃球,每种颜色的玻璃球各有 40 个,则在这个袋子中至 少要取出个玻璃球,才能保证取出的球至少有三种颜色,且每种颜色的球都至少有 10 个。 解:这 18 种颜色的球中有二种颜色的球都取出来,为 40× 2=80 个, 其余各种颜色的球都取出 9 个,为 16× 9=144 个, 这时再从中任意取出 1 个球就能保证满足条件。 所以至少要取出 80+144+1=225 个球。 例 2.一个袋子中共有 45 个球,其中标注 1 的有 1 个 2 的有 2 个,3 的有 3 个,…,标注 9 的有 9 个,那 么最少取出个球才能保证取出来的球中必有两个球的编号相差 2. 解:把编号为 9 和 8 的球都取出来有 9+8=17 个, 再取编号为 5 和 4 的球,有 5+4=9 个,再取编号为 1 的 1 个球, 现在已经有 17+9+1=27 个球,再任意取一个球,能保证必有 2 个球的编号相差 2, 所以最少取出 27+1=28 个球。 例 3.某商店举行抽奖活动,在箱子里放有红色、蓝色、黄色小球各 100 个,若 50 个同色小球可以换一共 布偶,80 个同色小球可以换一个零食包,且每个小球只能换一次奖,小明去抽奖,每次只能从箱子中不放 回地随机抽取一个小球,他最少需要抽取次才能保证他可以换到两种奖品各一个。 解:小明取出三种颜色的球都是 79 个,再任取 1 个球, 即共抽取 79× 3+1=238 次能保证可以换到两种奖品各一个。 模块二、构造抽屉进阶: 例 4. (1)证明:在边长为 3 的等边三角形中任意放入 10 个点,其中至少有 2 个点的距离不大于 1. (2)如图,将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色(每一列三个小方格涂的颜 色均不相同) ,证明:不论如何涂色,其中至少有两列,它们的涂色方法相同。 解: (1)如图,将边长为 3 的等边三角形分成 9 个小三角形, 每个小三角形的边长为 1,将 10 个点放入 9 个三角形中, 根据抽屉原理,一定有一个三角形中有 2 个点,这两个点之间的距离不大于 1.

3 (2)用红、黄、蓝三种颜色来染色,在一列中有 A3 ? 6 种不同的的排列顺序,

现在一共有 7 列,用 6 种方法来染色,根据抽屉原理,一定有两列是用同一种排列顺序来染色的。 例 5.有 22 个装乒乓球的盒子,装球最多的盒子中装有 x 个乒乓球,如果不论怎么装都至少有 4 个盒子的 乒乓球数相同(不装算 0 个) ,那么 x 的最大值为。 解:如果分别有 3 个盒子装 0 个,1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,6 个, 现在已经装了 3× 7=21 个盒子,取 x=6,第 22 个盒子装的球的个数不大于 6, 那么就至少有 4 个盒子的乒乓球数相同。

例 6. (1)请说明:在任意的 68 个自然数中必有两个数的差是 67 的倍数。 (2)请说明:在 1、11、111、1111、…,这一列数中必有一个是 67 的倍数。 (3)从 1、2、3、4、…、1988、1989 这些自然数中,最多可以取个数,其中每两个数的差不等于 4. 解: (1)67 是一个质数,按一个自然数除以 67 的余数来分类, 即余数分别为 0、1、2、3、…、66,共有 67 种分法,把 68 个数分到这 67 个类别中, 有一个类别中至少有 2 个数,这两个数的差是 67 的倍数; (2)由(1)知道任意 68 个数中必有两个数的差是 67 的倍数,

?1,在这 68 个数中必有两个数的差是 67 的倍数, 现在取 1、11、111、1111、…、 111 ???
68 个1

?1, 111 ?1(m>n),即 111 ?1? 111 ?1= 111 ? 1000 ? 0 是 67 的倍数, 不妨设这两个数是 111 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
m个1 n个1 m个1 n个1 m?n个1 n个0

? 1000 ? 0 = 111 ?1×1000 ? 0 ,其中1000 ? 0 与 67 互质,所以 111 ?1是 67 的倍数。 而 111 ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
m?n个1 n个0 m ? n个1 n个0 n个0 m ? n个1

(3)1989÷ 4=497……1,把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…、1987、1988、1989,每 4 个分成一组, 即(1、2、3、4);(5、6、7、8);(9、10、11、12);…、(1985、1986、1987、1988),1989 一共有 497 组,和最后一个数 1989, 从(1、2、3、4)开始,隔一组取一组,一共取出 249 组,最后一个 1989 不取: 即(1、2、3、4);(9、10、11、12);…;(1985、1986、1987、1988), ,一共有 249× 4=996 个数, 这些数中每两个数的差都不等于 4,再任取一个数,都会出现某两个数的差为 4。

随堂练习
1.口袋里有 70 只球,其中 20 只是红球,20 只是绿球,20 只是黄球,其余的是白球和黑球。任意从中取 出多少只球,可确保取出的球中至少有 10 只同色的球? 解:把 10 只白球和黑球都取出来,其余再取红、绿、黄球各 9 只,最后再任取一只即可, 所以至少取出 10+3× 9+1=38(只)球。 2.一个口袋中有 50 个编上号码的相同的小球,其中编号为 1、2、3、4、5 的小球分别有 2、6、10、12、 20 个,任意从口袋中取球,至少要取出多少个小球,才能保证取值至少有 2 个编号的小球各有 7 个? 解:先取出编号为 1、2 的 8 个球,再取编号为 5 的 20 个球,和编号分别为 3、4 的球各 6 个,最后任取 1 个,就满足条件。 所以至少取出 8+20+2× 6+1=41(个)球。 3.17 名同学参加一次考试,考试题是 3 道判断题(答案只有对于错) ,每名同学都在答题纸上依次写上了 3 道题目的答案。请问:至少有几名同学的答案是完全一样的? 解:3 道题,每题有 2 种答案,答案种类有 2× 2× 2=8 种,看做是 8 个抽屉, 将 17 个苹果放入 8 个抽屉,根据抽屉原理,至少有 3 个苹果在某一抽屉中, 即至少有 3 名同学的答案完全一样。 4.如图:将 2 行 5 列的方格纸每一格染成黑色或白色,请说明:不管怎么染, 总有两列的染色方式是一样的。

解:对一列两个方格染色,有 4 种不同的方法,现在一共有 5 列, 根据抽屉原理,不管怎样染色,总有两列染色的方式是一样的。 5.从 1、4、7、10、…、37、40 这 14 个数中任取 8 个数,试证:其中至少有 2 个数的和是 41. 解:把这 14 个数分成 7 组(1、40)、(4、37)、(7、34)、(10、31)、(13、28)、(16、25)、(19、22), 组内每两个数的和都是 41,从 7 组中取任 8 个数,至少有 2 个数在同一组内, 这两个数的和是 41.


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