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第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克


中 等 数 学 

第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克  
中 图分 类 号 : 4 4 7  G2.9 文 献标 识 码 :   A 文 章 编 号 : 0 5—6 1 (0 0 0 0 2 0   10 4 6 2 1 )9— 0 8— 5

赛事 简介 : 中等数 学》 由《 编辑部 和 陈省身杯 组委会 联 合主 办 的第一 届 陈省 身杯 全 国高 中 

数 学奥林匹克夏令营于2 1 年 7月 1 _2 在北京举行。其间由本刊部分编委对参加比 00 2日 0日  
赛的 学员进 行 了专题 辅导及 方法培 训 , 于 7月 l 日、9 日晚进行 了两天考试 , 并 8 1 每天 3小时考  4道题 ( 题 5 每 0分) 。来 自全 国各地 的 百余 名 学生参 加 了此 次 比赛 。 多名 学 生获得 了好 成 绩  ( 奖名单 见封底 ) 获 。明年我 们将继 续举 办第二 届 陈省 身杯 全 国高 中数 学奥林 匹克夏令 营 。  

第 一 天 
1 在 △ A C中 , E分 别 为边 A A   . B D、 B、 C

第 二 天 
5 已知 △ A C 的 内 切 圆 o,分 别 与 边  . B B C  B 于 点 D、 F,lB 、 1 C、A A  1 E、 A 、IC 分  与  △ A C的 外 接 圆 o 0交 于 点 £  、 L   B 、 N,D、 ME、 分别 与 O  于 点 P、 R 过 P作    0交 9、 . 的垂线  , Q作 Q 的垂线 f, 尺作  过    过
R C的垂 线 Z. 明 : 、 、  证     Z  三线 共点.   6 设 正实数 n b c满足 n . 、、  +b  = .  +C 3  
证明:  
1  
J  

的 中点 , E 与 C 交 于 点 G, A E 的 外  B D △ B
接 圆与△ A D 的外 接 圆交 于 点 P( C P≠A)  , A G的延 长 线 与 △ A D 的 外 接 圆 交 于 点 L C  

(≠ . L  ) 求证 :L D  P ∥C . 2 已知集合  .
r  


  l
J  

1 .    、
-  r J  

{ , l  ( Y    )y ≥
L  
r  

} ,   + 7,  + }  

J  
l  

1 .    
_  T

Ⅳ= (,)y   { Y I≤一    
L  

1  

1  

1  

.  

+ 而  

+  

≥  L

( Y) (, I X) + - o ≤  . %, ={ y ( o ( Y) r} o x )  -       试求 最大 的 r使得 D ( 。Y ) ,    ,。 CMfⅣ  q_ 3 求 方 程 3 +4 .    : n  的 正 整 数 解 

7 设 0 b为正整数 ,  。 以 口+ . 、 口 +b 除 6的 

商为 g 余 数 为 r且 q , ,  +r=200 求 口    1. 6
的值.  

( nk , 中, P,,) 其 P为质数 , . k>1   4 平面上 满足任 意三点不共 线 的 n个点  . P , … , 构 成 的集 合 为 D, 任 意 两 点  。P , P 在 之间连 一条线段 , 每条线 段 的长互 不相 等. 且  
在一个 三角形 的三条边 中 , 长度非最 长 、 非  也 最 短 的边称 为该三 角形 的“ 中边 ” 若一 个三  ; 角形 的三条 边都是 中边 ( 一定是 这 个 三角  不

8 一名科 学 家 发 明 了一 台时 间机 器 , . 形  似一 条地铁环 形轨 道. 现在 (00年 ) 第一  21 为

站 台 , 2 3 … , 0 第 , , 20 9站 台依 次为 2 1 0 1年 ,  
21 , 0 2年 …… ,0 8年 , 20 0站 又 回到 现  41 第  1 在( 出发站 台 ) 后来 , 台机 器 出 现 了程 序  . 这

错误, 使得其 运行规 则变 为 : 客指定 一个 时  乘 问( 即站 台号 ) 机 器 首 先 到 达 指 定 站 台 , , 然 
后每 隔 4站 , 靠在 第 5站 , 停 若所停 靠 的站 台 

形 的 中边 ) 则 称 这 个三 角 形 为 集合 D 中 的  ,




个“ 中边三角形 ” 一 条不 过点 P ( :12  .  i ,, n 的直线 z ) 将集 合 D 分 成两 个 子集 D 、   


号为 2的正 整数次 幂 , 向后退 2站停靠 ( 则 如  1—2— — — 3—3 一 … )若在 第一 站  7 +2  7  2 0 5 ; 台停靠 , 停止工作 . 问 : 则 试   ( ) 台机器 能否 迷 失在 时 问轨 道 中而  1这
无 法 回到现 在 ( 即不 在第一 站 台停靠 )  ?

D. :若无论 这 r个点 如何分 布 , L 也无 论 f 如何  选取 , 总存 在一个子 集 D (   k∈ { , ) 使得  12} ,
D  中存在 中边三角形. n的最小值. 求  

2 1 第 9期  0 0年

2  9

( ) 最 终 能 够 回到 现 在 , 该 机 器 最  2若 则 多能停靠 多 少个 站 台?  

抛 物线 关 于点 B 14 对 称. ( ,)  
从 而 , nⅣ在 坐标 系 中所 对应 的 图形   

参 考 答 案 
第 一 天 
1 如 图 1 联 结  、 、 C、 D、 . . , 朋 P P 阳  

以点  为 中心对 称 , 且所 包 含 的最 大半 径 的  圆应 为  的 内切 圆.   下 面证 明 : 圆的 圆心为 B  该 . 否则 , 该 圆 圆 心 为 B ( 设   ≠B) 半 径 为  , r取 点 B 关 于 日的对 称点 B . 以 日 .   :则  为 圆  心 、 为半 径 的圆也 是  的 内切 圆. r   作两 圆的两条 外公切 线.   因为  是 凸 的 , 以 , 所 上述 两条 外公 切线  及两 圆所 围区域在 7的 内部. 1   从 而, 以点  为 圆心 、 为半 径 的 圆在  r 的 内部 ( 含 边 界 ) 于是 , 不 . 以点 B 为 圆 心 的 

图 1  

内切 圆半径 大于 r矛盾 . ,  

因为  B P= A P, D   C  
CEP =   ABP ,  

因 关于点 B对称 , 以,   所 其内切圆o 
就 是 以 B为 圆心 -    9Y= 其 半径 为 r  n .
设 o  与 Y= 1 切于点 C 口 6 .    ( , ) 则 

相 内切 的oB, 设 

所 以 , D P∽ △ C P  △ B E .

故    B=D   A D  P B=
sn i 


s   C P— i  C P’ i n D s n A  

DCP  sn i 

BAP 

① 

b= .    
设B C的 中点为 F 则  .
BF  n   F
,  

① 

Y=  
一  

在点 C的切线 z 方程 为 

cF —s  

一  

c. AFsn i 



Y= (    一口 )+b .  

故A     B:

队A sn  C— i

BAF ‘  

.  

② 

显然 , Cj f 即  B  _ ,
Ⅱ一  

由式 ① 、 ②得 
sn i 
一  

1旦  2


: 一1 一  

.  



式① 代人 式② 整理得 0 8 8= .  一 a一 0  
CAP — sn i  BAF ’  

sn i 

解得 a=一 2或 1 √   ± s.

从 而 , B P= C F= C L   A   A   A.   故  P D= B P= C L= C L C   A   A   P.  

因此 , /C .   / D 
2 设  . )=   ,  

又0 C √号 “I 将  r l () ?一,口  曰 =   1
的值 代入 知 , r n的最小值 为 。曰的半 径 , 当  即

Ⅱ1 吼 / :+      

.  

g ) 一  7 一 ( 2地 ( =  +=寺  )     1  + 一 
则 MAⅣ≠  


) ( 有 实解  ≤g )

所 r  .   o = √  
3 显然 , 4 5 授 P= , . 3  +  =  ,口 2 凡=5 k=   , 2 是方程 的一 组解.   以下 不妨设 P为奇质 数 , 2 +1 则  P= l .




2 x~1 ≤0有 实解 . 4  

故  n/≠ . v    

在平 面 直 角 坐 标 系 中 ,  ( 与 Y= Y=  )  

g ) ( 的顶 点分 别为 o( ,)A 2 8 , 两条  o0 、( ,) 且

3  

+4  

中 等 数 学 


( + )3 3 一 x +  x  … +   . 3 4(  一    4 3 一 4 一 4 )  

于是 , n , 7I 7  

^ 2 ^ 3 , =   =  , =    ,


由  >1 得 4     即  , 9I ,   n
3“’    -0 ro   9 .   +4 “ = ( d4 1  o

P5莩^l   4: , : P  .
则 P 、  P 、   P 两 两 的距 离互 不 相  。P 、  P 、   同 , P P 、 3 、 P 、 5 4 P  为 中边 , 且 2 3 P PlP15 尸 P 、 4  

由二项式定 理得 
3  


:3×9 :3 7+2)   (  

3 1 7×   2 ) (  x 2一    +   E( 1 + ) 卜 ( o 9 , 2  6 2   r d4 )  Z o
4  


但是 , 不存在 中边三 角形.   若 n<1 , 么 , 于 D 、  中少 于 五个  0那 对  D 点 的情况 , 只要 在 前 面 的例 子 中删去 若 干个 
点, 仍然 不存在 中边三 角形.  

=4 1 ( 4+2)  

4 Z 4×   2) ( ×1 2一  +     (6 + ) 卜’r d4 ) 5 l 8 2 ( o 9 . o  

综上 , n的最小 值为 1. 1  

故 3 + 4 一(7 + 4 2   m d4 )   4  7 l 1) 卜 ( o 9 .  

第 二 天 
5 如图 2 联 结  、 c 尸 P . , P 、 E、   因为 P D是 
B C 的 角 平  P

由 4   3“ 4¨ ) 得  9 (   +     , I
4 I7  1 ) I1l 2  I4 + )  9 (7 + 4  (1 + ) (1 2 , 即 4 + -0 m d7 . Z 2 ( o  )   此 同余 式 的解 为 Z 3 m d7 . - ( o  )  

故 P= 1 -0 r d7 . 2 +l ( o  ) o   又 P为质数 , 因此 , P只能为 7 .   注意到 
3 +4 =2 1 7 + 1   8        8 634


分线 , 以 , 所  
pB BD   

PC  CD 
BF  


CE ‘  

l   7l=4 × 3 . 85 9 79 

又  F P B  
=   ECP ,  
图2  

但 39为 质 数 , 上 式 不 可 能 写 成 n 7 故   (t ) k >2 形式 , 即当 P为奇质数 时无解 .  
综上 , 方程 只有 一组正 整数解  ( ,, P / )=( , , ) / , 252 .   4 n的最小值 为 1. . 1  

△FP B 
∽ 八 ECP.  

故  F B= E C P   P 
=> FPE = =    BPC =   BAC.  

当 n 1时 , ≥1 无论 2 如何 选 取 , 总存 在一  个 子集 , 妨假设 为  。满 足 D 不 ,  中至少有 六 
个 点.   考虑 D, 中的所有三 角形 的中边 , 并将 其  染 为红色 , 然后 将其他 边染 为蓝色.   由拉姆塞 定理 知 , 定存 在一 个 同色 三  一

因此 , A F、 P、、 E四点共 圆.   注意到  、 ,, 四点 共 圆 , E、、 且 , 直  为
径, 则  A I 9。 即  过△ A C的内心 , P =0, B .   同理 , 、 也 过△ A C的内心 ,   Z 。 B .  
6 证 法 1 因( 1 。 a+1 >0 所 以 , . a一 ) ( )- ,  
r +2≥ 口 + r 1 上     上+ .  

角形. 由于每 个三 角 形都 有 中边 , 因此 , 个  这 同色三 角形一定 是红色 的. 故在 D。 中存 在 中 
边 三角形 .  

同理 ,’ 2  + b 十 ≥6 b+l  ,
c  +2≥ c  +c+ 1 .  

下 面证 明 : n 0时 , 在 点 集 D 和  当 ≤1 存 直线 z使得 D 、 : , ,D 中均不存在 中边 三角形.   若 n= 0 考 虑在直线 Z 1, 两侧 的两个子集 
D 、  中均有 五个点 , 分布情 况相 同.  D 且   假设 D  中 的 五 个 点 为 P 、   P 、     P 、 , P 、 P , 在 圆周 上依逆 时针 的次序 排列 ,  且 设 

故 
≥ 

+  
+ 

_+ i 
+ ~3+2 ’ 一  


1  

l  

1  

由柯 西不 等式得 
l  
+ 

l  
+ 

1  

21 0 0年第 9期 
≥ 

3  l

_ I 而
+   +  

 
≥, .  

则 

3  

一 一

 

9   9   ,   口  +6 。+C 3+6 —3 +6— 1  ‘
≥ 

故 

故  证 法 2 由柯 西不 等式得 
1   】   1  

+  

+  

≥? .  

7 不妨 设 。 . . ≤b  

+ 而  
≥ 
q  

+  

由 0 b  一口 =( —n ( +口 ,  +  >b 2 b ) b ) 得 
q≥ b 一0  .

又由 0  +b ≥Ⅱ + b ( b , 。   a =。 a+ ) 得 
g≥ 口.  

(  +  + 2 口 b c )+( b+c 3‘ 0+ )+  

另一方面 , 由带余除法的性质有 
0≤ r< Ⅱ + b  .

又 由幂平均 不 等式得 

(  

)( 丁  1 ≤
.  

) ÷  

故0 < ≤r 口+b= 口+0+( 口 ≤3 . b一 ) g   由 q r 20 0 得   + =   1 ,
g  ≤ 2 01 < g +3 .   0   g 

 + 6 +C ≤ 3   2 即  n

类 地由 ≤ 似, 半 (  
得 0+6+ ≤3 则  C .
9  

)_ ÷l ,  

此不等 式 的正整 数解 只有 g= 4 此 时 , 4,  
r=7   4.

贝   +  = 4 Ⅱ+b +7   0 n b 4( ) 4, ( 2 ) +( — 2 = 4+  22 1 4   0— 2  b z ) 7 2 2 =   Z x 0
记  =m n l 一 2 ,b一 2 } i{   2  I 2  , I  I  Y:m x I 2   I 一 2l. a { 。一 2 , b 2  } I    则  +     4 =2 m d8 . Y =10 2 - ( o  )  

(2 2   Ⅱ +b +c)+( 口+b+ )+3 c  
≥  = ?  .

故 

+  

+  

≥? .  
( 0.  > ) 则 


故 、 为正奇 数. Y均   由 ≤ ,     得 
Y ≤   +Y    = 1 0 2≤ 2  ,  4 y  

证 法 3 设  )=  
(  )=一 2   x+1   ( +    +1 ’ ) 
>0  .

2 ≤) 2 3 , . ≤3  

于是 , Y的可能值 只有 2 、52 、9 3 , 3 2 、7 2 、1  共五个 .  
当 Y=2 、5 2 、 9时 , =5 3 4 7  3 2 、7 2   1,1,

3 32 1均无 正整数 解. 1 ,0 ,  
当 Y= 1时   
ll一  ,   6 I     b一

因此 , ) 凸 函数.   是   由琴生 不等 式得 

!  
≥ 

上  

!  
3  

上 !    

从而 ,  

口  +口 +1 ’b  +b+1 。  +c+1 c  

{一 ;正数为 l2   整解   2 的 a 6  -
( , )=( 3 5 ) ( 15 ) 口b 1 ,3 , 3 ,3 .  

(  

)(    +

)‘ +  -
) }  

经检验 , 口 6 当( ,)=(3 5 ) , 7 1 ,3 时 与 4:r  
<口+b= 6矛盾 ; 6   当 ( ,)=( 15 ) , 口6 3 ,3 时  
口  +b  =3 7 0=4 ×8 +7    7 4 4 4.

再 由幂平均 不 等式得 

a+( 丁b ≤ + c 

3  2

中 等 数 学 

满足条 件.   综上 , 只有一组解 
(,bg r 6 , ,)=( 15 , 7 ) / , 3 ,3 4 4 . 4,   此时 ,b 3  5 16 3 a = 1X 3:   4 .  

( ) 第 20 9站 台 到第 1站 台这 段 轨  2记  0
道为 .  

设机 器经 过  的次 数为 s共停 靠 t , , 站   其中, 停靠 在 2的 正 整数 次幂 号 的站 台有 
次 , 余站 台为 “次. 其 则 
2O 9 +1  0s =Ⅱ+ ( 一1 2 =Ⅱ+ t 5—   5 “ )一 v 5一 7.  

8 ( ) 间轨 道共有 20 9个 站 台 , .1时  0 且不  超过 20 9的 2的正整数 次幂为   0
2, 8, 6, 2, 4, 2 2 6, 2 ,  2   4, 1 3 6 1 8, 5 51 10 4.

由规则知  ()  i(
二  

故 =  

.  

+1 k , 3  ( =12,)
1 - 1 :5 ×2 十4 : 6-. 4  

下 面证 明 : 器 不 会 在 同 一 站 台停 靠  机
两次.   否则 , 机器所停 靠 的站台序列构 成循环.  

(  

+1 k= , , ,1  ( 45 … 5 )
5 + 5 :5 ×5 +4 : 6_ 2 4 0  

(  

+1 k= 2 5 , ,0 ) ( 5 ,3 … 4 1 
—  

其结 果是或 者永远 不 能 在第 一站 台停靠 ( 与  () 1 矛盾 ) 或者在第 一个循 环 段就 已停靠 过  , 第 一站 台 , 而停 止 , 从 不会构成 循环 , 盾. 矛  
所以, 0  ≤1 .  

4 1一 次 2 0 6 0    0

2  

(i①2  0—5  i ) —209 ;
(   + ( =1 2 … , ) 2 k , , 6 
3 -* 0 :5 ×6: 2- 3  

考虑机器 每次经 过 A后最 先停靠 的站 台  号 , 包含在 { ,,,, }   其 1234 5 中. 注意到 

 ̄5 2 k= , , ,0 ) k+ ( 7 8 … 12 
:   5l   2 l :5 × 1 2: 0 0  

3   堡 1 4 —8 6    1
1  2 4 2     l  0 一  

2  
0 5-,   0 -1. 0 5 1  0  .

④5  +2 k=13 14, ,0 ) ( 0 ,0 … 4 1 
4 1 次 2 0 7 0 一k  0


09 0 

}  3

(i ①3 — =5+1  i) _8 i ; ②5 3 k ,, ,5   + ( =12 … 2 )
1   1 28 26 :5 ×2 + 1: 5  

故 甲或 者在第 3站 台停 靠 过 , 者在 第  或 42 5站 台停靠 过 , 、、 二者不能都 停靠过.  
从 而 ,≤2 S .  

若 5 , f  :l 则 ≤ 若 = , 2 则第二 圈为 

: l. 47  

③5 +3 后= 62 , ,0 ) 后 ( 2 ,7 … 4 1 
4 1 次    0   0 一k 2 0 8

( ) —2  0—5  i ①4 —2o9 ; v  ̄s 4 k ,, ,2  k+ ( =12 … 1 )
二   4   2 :5 × 1 + 2: 2  

1 .   下面利用 ( ) i 1 中()~( ) 第 一 圈从 3 v将   或 2 4逆 推 回去 : 、  


3  

1或2 蔓 1或 4 ,    

3  

0 7 0  

1o 2 l0 4   2 一   2 

( 七 4 k=1 ,4 … ,0 )   十 ( 3 1 , 24  
24一k 0 次 1O 4  2
—  

2 4+ -5   6 l 6 l 8 2 5 .2 6 2  2   2   3 ̄ 1 3
.  

l 0 2 =5 X2  2   04 +2:  

2  

0 6 0  

2 61.  

 ̄5 + ( = 0 , 6 …, 1 k 4 k 252 , 4 ) 0 0 
二   20 9   0 
.  

4  

0   08

1 3. 3  

v 5 ( : ,, 4 1 )k k 1 …, ) 2 0 

05 . 0   

综上 , n:1 , 若 3 则 = , = 1 ; 7 t 8 2  若 0: 6 , = ,= 5 ; 2 1 则  1 t 7 4  若 口:13 则 = , 7 1 3, 2 0= 8 .   所以, 机器最 多能停靠 82个站 台. 1  

设乘 客指定站 台号为 口 1< ≤20 9 . ( 口  0 )   由()~( ) , 论 。为何 数 , 能使  i v知 无 均 机器 回到现在.  

( 题人 命

李 建泉  李 宝毅  宋强  李涛)  


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