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证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)


证明数列不等式的常用放缩方法技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进 行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如: ⑵将分子或分母放大(或缩小)

a2 ?1 ? a



n(n ? 1) ? n

⑶利用基本不等式,如: lg 3 ? lg 5 ? (

n(n ? 1) ?
⑷二项式放缩:

n ? (n ? 1) 2

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2

0 1 n 1 , 2 n ? C n0 ? C n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)( n ? 2)

(5)利用常用结论: Ⅰ. 1
k

的放缩 :

2 2 2 ? ? k ? k ?1 2 k k ? k ?1

Ⅱ. 1 的放缩(1) :
k
k
2

1 1 1 (程度大) ? 2? k (k ? 1) k k (k ? 1)
k 1 1 1 1 1 (程度小) ? ? ( ? ) k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1
2

Ⅲ. 1 的放缩(2): 1 ? 2 2

4 1 1 (程度更小) Ⅳ. 1 的放缩(3): 12 ? 2 ? 2( ? ) 2 k 4k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 k

Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例: f ( x) ?

x ( x ? 0) ,从而实现利用函数单调性质的放缩: 1? x

f (a?b) ? f (a ? b) 。
一. 先求和再放缩

例 1. a n ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,求证: sn ? 1 n ? (n ? 1)

例 2. an ? ( )

1 3

n

, 前 n 项和为 Sn ,求证: sn ?

1 2

二. 先放缩再求和 (一)放缩后裂项相消

2 1 s2 n ? s 2 n ,其前 n 项和为 n ,求证: 例 3.数列 , 1 1 1 1 1 s2 n ? 1 ? ? ? ? ... ? ? 2 3 4 2n ? 1 2 n 解:
{an }

an ? (?1) n ?1

1 / 13

b n?


1 2n(2n ? 1) , {bn } 的前 n 项和为 Tn bn ? 1 1 1 1 ? ( ? ) 2n(2n ? 2) 4 n ? 1 n

当 n ? 2 时,

? s2 n ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 2 12 30 4 3 4 4 5 6 4 n ?1 n 7 1 2 ? ? ? 10 4n 2

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手法。值得注意的是若从 第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始放大,命题才得证,这就需要尝试和创新 的精神。 (二)放缩后转化为等比数列。 例 4.

{bn }

满足:

b1 ? 1, bn ?1 ? bn 2 ? (n ? 2)bn ? 3

(1) 用数学归纳法证明:

bn ? n

Tn ?
(2) 解:(1)略(2) 又

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? T ? 3 ? b1 3 ? b2 3 ? b3 3 ? bn ,求证: n 2 ? bn?1 ? 3 ? bn (bn ? n) ? 2(bn ? 3)
, n? N
*

? bn ? n
bn ? 3 ? 2n ?1 (b1 ? 3) ? 2n ?1

? bn ?1 ? 3 ? 2(bn ? 3)
迭乘得:

点评:把握“ ”这一特征对“ ”进行变形,然后去掉一个正项,递推关系 放缩,这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法,似乎是不可能的,为 什么?值得体味! 三、裂项放缩 n n 例 5.(1)求 ? 2 的值; (2)求证: ? 1 ? 5 . 2 2 3 k ?1 4 k ? 1 k ?1 k 2 1 1 ,所以 n 2 1 2n 解析:(1)因为 2 ? ? ? ? 1? ? ? 2 4n 2 ? 1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2 n ?1 4 k ? 1 k ?1 n 1 1 1 ? 2 5 (2)因为 1 ?1 1 1 4 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?
n2 ? 1 n ? 4
2

1 1 ? n ?1 , n ? N * bn ? 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n?1 ? ? n?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 bn ?1 ? bn ? (n ? 2)bn ? 3 bn ? 3 ?

?

4n 2 ? 1

? 2? ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?k
k ?1

2

?3

5

2n ? 1

2n ? 1 ?

3

3

奇巧积累: (1) (3) T
1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4 n 2 4 n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
r ?1 r ? Cn ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) Cn C ?1 n

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n 2 ?1 3? 2

1 5 ? n(n ? 1) 2

2 / 13

(5)

1 1 1 ? ? 2 (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n
n

(6)

1 ? n?2 ? n n?2
? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 1 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 (2n ? 3) ? 2 n

(7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1)
n

2 1 ? 1 (8) ? ? ? ?? n ?

(9)

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k ( n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n( n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?
n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(10)

(11)

1 n

? 2 ( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

(12) (13)

2n 2n 2n 2 n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) 2 n ?1 ? 1 2 n ? 1
n

1 n
3

?

1 n?n
2

?

? ? 1 1 1 ?? ?? ? ? n(n ? 1)( n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n ?1 ? n ?1 1

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ?1 ? 2 n ? n ?1

1 n ?1

?

1 n ?1

(14) (15)

2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ?
k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

2n 1 2n ? n ? 3 2 ?1 3

(16)

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)

(17)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j 2 ? 1)

?

i? j i2 ? 1 ? j2 ?1

?1

例 6.(1)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2
3 5

1 7 1 ? ? (n ? 2) (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 2

4 16 36 2 4n 4n 1 1 ? 3 1 ? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) (3)求证: ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3 n

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 2
4 16 36 4n 4 2 n 4 n

(3) 先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

, 再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项 , 最后就可

以得到答案 (4)首先

1 n

? 2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ?1 ? n

,所以容易经过裂项得到

2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

再证
1 n ? 2 ( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? n? 2 1 1 ? n? 2 2

而由均值不等式知道这是显然成立的,所以

1?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

例 7.求证:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n 3

3 / 13

解析:一方面:因为

1 ? n2

1 n2 ? 1 4

?

1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

1 1 n ? 1? ? n(n ? 1) n ?1 n ?1 6n 1 1 1 6n 当 n ? 3 时, n ? ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 , (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n n ? 1 (n ? 1)( 2n ? 1) 6n 1 1 1 当 n ? 2 时, ? 1 ? ? ? ? ? 2 ,所以综上有 (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n 6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n 3 n n n 2 例 8.已知 an ? 4 ? 2 , T ? ,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n n 2 a1 ? a2 ? ? ? an 4 9 n 2?3 3? 4
n n 解析: T ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 4 (4n ? 1) ? 2(1 ? 2n ) n

另一方面:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2

1? 4

1? 2

3

所以

Tn ?

2n 2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? (2 ) ? 3 ? 2n ? 1 (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3 3 3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 (2 ? 2 n ? 1)( 2 n ? 1) 2 ? 2 n ? 1 2 n ?1 ? 1 ?

1 1 1 1 从而 T ? T ? T ? ? ? T ? 3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n 1 2 3 n 2? 3 3 7 2 ?1

1 ? 3 ?? 2n ?1 ? 1 ? 2

四、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例 9. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1 和
3 5 2n ? 1 1 1 1 1 1 也可以表示成为 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 2n ? 1
1 2n ? 1
a?m

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? 2n ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1)
a

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得
2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
1 3 5 2n ? 1
1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

1 1 1 例 10.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2 解析: 运用两次次分式放缩: 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n (加 1) ? ? ??? ? . ? ??? ?
1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n
2

(加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ??? ? (3n ? 1) ? ? ? ??? ? ? . ? ??? ? 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ?1 4 7 所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

4 / 13

五、均值不等式放缩 例 11.设 S n ? 1 ? 2 ?

2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) . 求证 n(n ? 1)
2

? Sn ?

(n ? 1) 2 . 2

解析: 此数列的通项为 ak

? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

k ? k ?1 1, n n 1 , ? k ? k (k ? 1) ? ?k? ? ? k ? S n ? ? (k ? ) 2 2 2 k ?1 k ?1

即 n(n ? 1) ? S
2

n

?

n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? . 2 2 2
ab ? a?b 2

注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式
2 n k (k ? 1) ? k ? 1则得 S ? (k ? 1) ? (n ? 1)( n ? 3) ? (n ? 1) ? n 2 2 k ?1

,若放成

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n 1 1 ??? a1 an ? n a1 ? a n ? a1 ? ? ? a n ? n
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 11. 已知函数 f ( x) ?
1 , a>0,ba.0, 若 1 ? a ? 2 bx
f (1) ? 4 5

,且

f ( x) 在 [0 , 1] 上的最大值为

1 ,求证: 2

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

解析:

1 1 ? . 2 n?1 2 4x 1 1 1 f ( x) ? ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n?1 ) ? n ? n?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2

例 12.求证:1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1
1 1 1 1 ?1 1? 1 2 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

解析:一方面: (法二)
?

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? ? 2 ? ( 3 n ? 1 )( n ? 1 ) 3 n ( n ? 2 ) ( n ? 1 )( 3 n ? 1 ) ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?2n ? 1? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 1 ? ?

另一方面: 六、二项式放缩

1 1 1 2n ? 1 2n ? 2 ? ??? ? ? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

0 1 n 1 , 2 n ? C n0 ? C n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)( n ? 2)
3 8 . (n ? 1)( n ? 2)

例 13.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ?

3 2 2 1 n 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 , 1 1 2 3 (1 ? ) ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? C n ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? 2 2 2 8 8 2 2

解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到 ( 3 ) n ? (1 ? 1 ) n ,展开得

即 (1 ? 1 ) n
2

?

(n ? 1)( n ? 2) ,得证. 8

例 14.

an ? 2 ? 3n ,

试证明:.

n 1 1 1 1 ≤ ? ?? ? ? 4n ? 2 a1 a2 an 4

a1 a2 an 4 3 1 1 1 0 1 一方面 (1 ? ) ? ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 4 3n 4
5 / 13

解析: an ? 2 ? 3n ,从而 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) , n

1 1 2n n ,所以,综上有 )? ? ? 2n ? 1 4 2 n ? 1 4n ? 2 n 1 1 1 1 ≤ ? ?? ? ? . 4n ? 2 a1 a2 an 4 例 15. 求证: 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3. n 1 1 1 2 n 1 简证如下:利用二项展开式进行部分放缩: an ? (1 ? 1 ) n ? 1 ? Cn ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n nn 4 3 4

所以 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? n

只取前两项有 a ? 1 ? C 1 ? 1 ? 2. 对通项作如下放缩: n n
n 1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 C k ? ? ? ?? ? ? ? . k! n n n k! 1 ? 2? 2 2 k ?1 n n ?1 故有 a n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? (1 / 2) ? 3. 2 22 2 1 ? 1/ 2 2 n ?1
k n

例 16.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ?
n

1 ln 2 . )? 2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 七、部分放缩(尾式放缩) 1 4 例 17.求证: 1 ? 1 ? ? ? ?
3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n?1 ? 1 7

1 1 1 1 11 1 1 解析: 1 ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n?1 ? 1 4 7 3 ? 2 n?1 ? 1 28 3 ? 2 2 3 ? 2 n?1
1 11 1 4 47 48 4 ? ? ? ? ? ? 1 84 84 7 28 3 1? 2

例 18. 设 a

n

? 1?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: an ? 2. n 2a 3
2

解析: a ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 . n a a 2 2 2 a 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 ( 只 将 其 中 一 个 k 变 成 k ? 1 , 进 行 部 分 放 缩 ), 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ,
k k (k ? 1) k ?1 k
3 n 2 3 n

于是 a

n

2 例 19. 设 数 列 ?a n ? 满 足 a n?1 ? a n ? nan ? 1?n ? N ? ? , 当 a1 ? 3 时 证 明 对 所 有 n ? 1, 有 (i)a n ? n ? 2 ;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n

(ii)

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析: (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时 a k ?1 ? a k (a k ? k ) ? 1 ? a k (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 a k ?1 ? 2a k ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得
1 1 ? k ?1 . ak ? 1 2

a k ?1 ? 1 ? 2(a k ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注 : 上 述 证 明 (i ) 用 到 部 分 放 缩 , 当 然 根 据 不 等 式 的 性 质 也 可 以 整 体 放 缩 : a k ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii) 就直接使用了部分放缩的结论 a k ?1 ? 2a k ? 1 八、数列递推关系放缩 例 20. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1 ,求证: 1 ?
a1

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

解析:

a n ? 2 ? a n ?1 ? n ? 2 ? a n ? a n ?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an a n ?1

6 / 13

所以就有 1
a1

?

1 1 1 ??? ? ? a n ?1 ? a n ? a 2 ? a1 ? 2 a n ?1 a n ? a 2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 a n a1

例 21.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 解析:
a n ?1 ?
2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 n 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2

2n ? 2 ? 1

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)
1 2n ? 3 1 2n ? 2

a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? ? 1 ? (2n ? 2) ? ?1

所以 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2

例 22.

解析: 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
a n ?1

2n ? 2 ? 1 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 ,从而 ? a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n ?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)
1 2n ? 1 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? ?

九、函数放缩 例 23.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . n
n

2

3

4

3

6

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n
x x

2

3

4

3n

1 1 1 ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 3

因为 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 ?1 1? ?1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 3n ? 2 3 ? ? 4 5 6 7 8 9 ? 2 ?1 3 ? ?2

?

? 3 n ?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 n ?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? n ? ? n ?1 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 3 ? ? 2?3 ? 6
n

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6 n
2 3 4 3 6 6
? ? ? 2 例 24.求证:(1) ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 2n ? n ? 1 (n ? 2) ? ? ? 2(n ? 1) 2 3 n

解析:构造函数

f ( x) ?

? ln n 2 ln x ,得到 ln n ? 2 x n? n

2 ,再进行裂项 ln n ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 2

n

n

1 ,求和后可以得到答案 n(n ? 1)

函数构造形式: ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2) 例 7.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3 n ?1 2
n n ?1 1 n

解析:提示: ln(n ? 1) ? ln n ? 1 ? n ? ? ? 2 ? ln n ? 1 ? ln n ? ? ? ln 2
n ?1

n

函数构造形式:
3 4

1 ln x ? x ? 1, ln x ? 1 ? x
5 ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

例 25.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?

解析:构造函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到: 1 2 ? x ,令 f ' ( x) ? 0 有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 , f ( x) ? ?1 ?
'

x ?1

x ?1

所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln( x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1 所以 ln n n ? 1 ,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n ? n(n ? 1) (n ? N *,n ? 1)
n ?1 ? 2

3

4

5

n ?1

4

十、分类放缩 例 26.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 n ? 2n ? 1 2

7 / 13

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ??? 3 2 4 4 2n ? 1 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n ( n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?

例 27. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若 数列 {bn } 满足 b
n

?

数 n 都有 Tn ? A ?并证明你的结论。

f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常数 n3
f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n

A,使得对于任意正整

解析:首先求出 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,∵ b

n

?

2k ?1 ? 1 2k ?1 ? 2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,∵ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ,? 2 3 n 8 2 3 4 4 2 5 6 7 8 1 1 1 1 1 ,故当 n ? 2k 时, k k ?1 ? ??? ?2 ? ? Tn ? ? 1 ,
2k 2k 2
2

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 22m?2 时,必有 T ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A .
n

2

故不存在常数 A 使 Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立.

练习: 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例 1、已知 an ? 2 ? 1(n ? N ). 求证:
n *

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ... ? n (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1

证明: ?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2

?

a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an ?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2
若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证 明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k ? 2 ,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例 2、函数 f(x)=
4x 1? 4
x

,求证:f(1)+f(2)+?+f(n)>n+

1 2
n ?1

1 ? (n ? N * ) . 2

证明:由 f(n)=

4n 1? 4
n

=1-

1 1 ? 1? n 1? 4 2 ? 2n
1 2?2
1

得 f(1)+f(2)+?+f(n)> 1 ?

?1?

1 2?2
2

???1?
8 / 13

1 2? 2n

1 1 1 1 1 1 ? n ? (1 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? (n ? N * ) . 4 2 4 2 2 2

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对 左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分 子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
n

例 3、已知 an=n ,求证:∑
k=1 n

k ak
n
2

<3. 1 (k-1)k(k+1) =1 ?

证明:∑
k=1

k a
2 k

n

=∑
k=1

1 k3

<1+∑
k=2

n

<1+∑
k=2 n

2 (k-1)(k+1) ( 1 (k-1) - 1 (k+1)

k+1 + k-1 )
)

?
k ?2

n

k ?1 ? k ?1 (k ? 1)(k ? 1)

=1+ ∑ (
k=2

=1+1+

1 2 2 1 - - <2+ <3. (n+1) 2 2 n

本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标. 4、放大或缩小“因式” ; 例 4、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an , 0 ? a1 ?
2
n 1 1 , 求证: ?(ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? . 32 2 k ?1

证明 ? 0 ? a1 ?
n

1 1 1 1 2 , an?1 ? an ,? a2 ? a12 ? , a3 ? ?. ?当k ? 1时, 0 ? ak ? 2 ? a3 ? , 2 4 16 16
1 n 1 1 (ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? an ?1 ) ? . ? 16 k ?1 16 32

? ?(ak ? ak ?1 )ak ? 2 ?
k ?1

本题通过对因式 ak ? 2 放大,而得到一个容易求和的式子 5、逐项放大或缩小 例 5、设 a n ? 1 ? 2 ? 证明:∵ ∴ n?

?(a
k ?1

n

k

? ak ?1 ) ,最终得出证明.

2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) 求证:

n(n ? 1) ? n 2 ? n

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2 1 2n ? 1 n(n ? 1) ? (n ? ) 2 ? 2 2

2n ? 1 2 n(n ? 1) (n ? 1) 2 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? an ? ∴ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? an ? , ∴ 2 2 2 n(n ? 1) ?
9 / 13

本题利用 n ?

n(n ? 1) ?

2n ? 1 ,对 an 中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简 2

的目的。 6、固定一部分项,放缩另外的项; 例 6、求证:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 1 2 3 n 4

证明:?

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n(n ? 1) n ? 1 n

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? 2 ? ( ? ??? ? )? ?( ? )? . 2 1 2 3 n 2 2 3 n ?1 n 4 2 n 4

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别 对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2 1 3 5 2n ? 1 1 2、设 n 为自然数,求证 (2 ? )( 2 ? )( 2 ? ) ?(2 ? )? . n n n n n!
1、设 n 为大于 1 的自然数,求证 3、若 n 是自然数,求证 证明:?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n
= ? ( ? ) ? ( ? ) ??? (

?

1 1 1 1 1 1 ? ) 1 2 2 3 n ?1 n 1 = 2 ? ? 2. n 1 1 1 1 注意:实际上,我们在证明 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中,已经得到一个更强的结论 1 2 3 n 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 n 12 2 2 32 n 1 1 1 1 4、求证: 1 ? ? ? ??? ? 3. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1 1 证明:由 ? ? k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 1? 2 ? 3 ? ?? k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 1 1 1 得1 ? ? ? ??? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1? n 1 1 1 1 2 ? 3 ? 1 ? 3. ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 n ?1 1? 2
10 / 13

1 1

5、若 a, b, c, d?R ,求证: 1 ?
+

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d + 证:记 m = ∵a, b, c, d?R ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d ∴m ? ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d ∴1 < m < 2 即原式成立。 m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c

6、当 n > 2 时,求证: log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ log n (n ? 1) ? 0,

log n (n ? 1) ? 0
2 2

? log n (n 2 ? 1) ? ? log n (n ? 1) ? log n (n ? 1) ? ∴ log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? log n 2 ? ? ? n ? ?1 ? 2 ?
∴n > 2 时,
2

log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1

7、 思路分析: 对于学生来说,他们非常清楚证明此题的方向,即先放缩再求和,但是学生的问题就是放缩的误差过 大,而不能判断是什么原因导致的误差过大 . 学生解法:

11 / 13

提出以下改进方案 . 方案 1 :通项放缩不变,减少放缩的项数 尝试 1 :第一项不放缩,从第二项开始放缩

仍然失败,不过离成功更近了 . 尝试 3 :前三项不放缩,从第四项开始放缩

终于成功了! 方案 2 :减小通项的放缩误差

12 / 13

反思:对于改进 1 ,尽管最后没有成功,但从上面方案 1 的最终成功可以得到启发,改进为在求和 时第一项不放缩,从第二项开始放缩。

不等式得证 . 解题要在已有的知识基础上,探索解题思路的发现过程。

13 / 13


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