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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)


考点 5
【考点分类】

函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)

热点一 函数的单调性
1.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减 的是( (A) y ? )

1 x

(B) y ? e

r />?x

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? lg | x |

2.【2012 年高考(天津文) 】下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为(



A. y ? cos 2 x

B. y ? log 2 | x |

C. y ?

e x ? e? x 2

D. y ? x ? 1
3

3.【2012 年高考(陕西文) 】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(



A. y ? x ? 1

B. y ? ? x

2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

4.(2012 年高考(安徽文) )若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____

【方法总结】
1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法:

(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求 定义域,再利用单调性定义确定单调区间.(3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图 象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调 区间. 3.函数单调性的应用:f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则 f(x1)<f(x2) ? f(x1)-

f(x2)<0,若函数是增函数,则 f(x1)<f(x2) ? x1<x2,函数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉
抽象函数的符号, 化为一般不等式(或方程)求解, 但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.

热点二 函数的奇偶性
5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】定义域为 R 的四个函数

y ? x3 , y ? 2 x , y ? x 2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是(
A . 4 B. 3 C. 2

) D.1

6.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1) +g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 B.3 C.2 D.1 )

7.(2012 年高考(广东文) )(函数)下列函数为偶函数的是(

) D. y ? ln x 2 ? 1
[来源:学科网 ZXXK]

A. y ? sin x

B. y ? x 3

C. y ? e x

8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科】

已知函数 f ? x ? ? ln A. ?1

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3 x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( ? 2?
C. 1 D. 2

?



B. 0

9. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (山东 卷) 】 已知函数 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? 则 f ? ?1? ? ( A. ?2 ) B. 0 C. 1 D. 2

1 , , x

10.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,

a2 ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为______. 当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? x

11.(2012 年高考(重庆文) )函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? ________.

12.【2013 年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数. 当 x ? 0 时,

f ( x) ? x 2 ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为

.

13.(2012 年高考(课标文) )设函数 f ( x) =

(x +1) 2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m= ____ x2 ? 1

2 ? g ( x)max ? g ( x)min ? 2.

【方法总结】
1.利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件. (2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断 f(-x)=-f(x),或 f(-x)=f(x)是否对定义域内的 每一个 x 恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例). 注意:分段函数判断奇偶性 应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的 关系时,才能判断其奇偶性. 2.函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式, 或充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程, 从而可得 f(x) 的解析式.
[来源:学|科|网]

(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法: 利用 f(x)±f(-x)=0 产生关于字母的恒等式, 由系数的对等性可得知字母的值.

(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称 的 区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

热点三 函数的周期性
14.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科】x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数
f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为(

) C.增函数 D. 周期函数

A.奇函数

B.偶函数

15.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】设 f ? x ? 是以 2 为周期的函数,且当 x ? ?1,3 ? 时,

f ? x? =

.

.

【方法总结】
2π 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法, 形如 y=Asin(ωx+φ), 用公式 T=|ω|计算. 递 推法:若 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期 T=2a.换元法:若 f(x +a)=f(x-a),令 x-a=t,x=t+a,则 f(t)=f(t+2a),所以周期 T=2a.

热点四 函数性质的综合应用
17.【2013 年全国高考统一考试天津数学(文)卷】已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递 增. 若实数 a 满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是(
2



(A) [1,2]
?1 ? (C) ? , 2 ? ?2 ?

? 1? (B) ? 0, ? ? 2?

(D) (0, 2]

18.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】设函数 f ( x) ?

e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对


数的底数) 。若曲线 y ? sin x 上存在点 ( x0 , y0 ) 使 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A) [1, e] (B) [e ? 1,1]
?1

(C) [1, e ? 1]

(D) [e ? 1, e ? 1]

?1

19.(2012 年高考(重庆理) )已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f ( x) 为[0,1]上的增函数”是

“ f ( x) 为[3,4]上的减函数”的( A.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件

) B.充分而不必要的条件 D.充要条件

20.(2012 年高考(山东理) )定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? ?1

[来源:Zxxk.Com]

时, f ( x) ? ?( x ? 2) ,当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x . 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? f (2012) ? (
2

)

A. 335

B.338

C.1678

D.2012

【方法总结】 在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的 性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.
[来源:学科网 ZXXK]

(1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负 号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再 利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.

【考点剖析】
一.明确要求
1.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性. 2.理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性. 3.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值.

二.命题方向
1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点. 2.函数的奇偶性是高考考查的热点. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及 求参数值等问题是重点,也是难点. 3.题型以选择 题和填空题为主,函数性质其他知识点交汇命题.

三.规律总结
一条规律

奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x), 则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则:y=f(x)是以 2(b-a)为 周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= =2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|. 1 1 或 f(x+a)=- ,那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T f?x? f?x?

【考点模拟】
一.扎实基础 1.【山东省济南市 2013 届高三高考第一次模拟考试】“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的
( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2. 【2013 河北省名校名师俱乐部高三 3 月模拟考试】下列函数中,在 (?1,1) 内有零点且单调递增的是(
A. y ? log 2 ( x ? 2) 【答案】B 【解析】在 (?1,1) 上递增的函数只有 A、B,又 A 与 x 轴的交点为 (?1,0) , B为(0,0) ,所以选 B. B. y ? 2 ? 1
x



C. y ? x 2 ?

1 2

D. y ? ? x

3

3. 【浙江省镇海中学 2013 年高三考前模拟】 已知函数 f ( x) ? x ? b cos x , 其中 b 为常数. 那么 “b ? 0” 是 “ f ( x)

为奇函数”的(

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

4. 【山东省枣庄市 2013 届高三第一次模拟考试】若 y ? f ( x) 既是周期函数,又是奇函数,则其导函数
y ? f '( x) (
) B.既是周期函数,又是偶函数 D.不是周期函数,但是偶函数

A.既是周期函数,又是奇函数 C.不是周期函数,但是奇函数

5. 【山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试】已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) ,且 f ( x ?1) 为偶函数,
则实数 a 的值可以是( (A) ) (C) 4 (D) 6

2 3

(B) 2

6. 【山东省济宁市 2013 届高三上学期期末考试】下列函数中,既是偶函数,又在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的函数
是( ) B. y ? x
?1

A. y ? ? x

C. y ? x

2

D. y ? x

1 2

7. 【山东省济宁市 2013 届高三上学期期末考试】已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数.若对于 x ? 0 ,都有

f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ,且当 x ? ? 0, 2 ?时,f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? , 则 f ? 2012 ? ? f ? ?2013? ? (
A.1 B.2 C. ?1 D. ?2

)

8. .【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】函数
是(
A.奇函数

,则

)
C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

B.偶函数

9. 【上海市青浦 2013 届高三一模】已知 f ( x) ? ?
则 a 的取值范围是 .

?(2 ? a ) x ? 1 , x ? 1 ?a
x

, x ?1

满足对任意 x1 ? x2 都有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 成立,

a ?1 ? ∴ ? 2?a ?0 ? ?( 2 ? a ) ? 1 ? 1 ? a1 ?

?3 ≤ a<2. 2

10.【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试卷】已知函数 f ( x) =|x-a|(a 为常数).若 f ( x) 在区间[1,+∞)上是
增函数,则 a 的取值范围是________.

二.能力拔高
? x 2 ? 2 x( x ? 0) 11.【河北省保定市 2013 年高三第一次模拟考试】已知函数 f ( x ) ? ? 为奇函数,则 ? g ( x)  (x ? 0)
f ( g (?1)) ? (
A、-20 ) B、-18 C、-15 D、17

12.【山东省泰安市高三第一轮复习质量检测】设奇函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,且 f ? ?1? ? ?1 ,若函数,

f ? x ? ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的 x ? ? ?1,1? 都成立,则当 a ? ? ?1,1? 时 t 的取值范围是(
A. ?2 ? t ? 2 C. t ? ?2或t ? 0或t ? 2



1 1 ?t ? 2 2 1 1 D. t ? ? 或t ? 0或t ? 2 2
B. ?

? x 2 ? ax, x ? 1 ? 13.【河北省保定市 2013 年高三第一次模拟考试】已知函数.f (x) = ? 2 在 R 上单调递减,则实数 a 的取 ? ? ax ? x, x ? 1
值范围是( A、a>-2 ) B、-2<a<-1 C、a≤-2 D、a≤-

1 2

14. 【2013 年浙江省高考测试卷】若函数 f(x) ( x ? R )是奇函数,函数 g(x) ( x ? R )是偶函数,则(
A.函数 f[g(x)]是奇函数 C.函数 f(x)g(x)是奇函数 B.函数 g[f(x)]是奇函数
[来源:学科网 ZXXK]



D.函数 f(x)+g(x)是奇函数

15. 【深圳市南山区 2013 届高三上学期期末考试】定义运算 a ? b = a 2 ? b 2 , a ? b = (a ? b) 2 ,则
f(x) = 2? x 为( (x ? 2) ? 2
)

A.奇函数

B.偶函数

C.常函数

D.非奇非偶函数

? ?x 16. 【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数:① f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ,② f ( x) ? cos( ? ) ,③ 2 2
f ( x) ? |x ? 1| 2 .则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是(
命题 p : f ( x) 是奇函数; 命题 r : f ( ) ?
1

)

命题 q : f ( x ? 1) 在 (0,1) 上是增函数;

1 1 ; 命题 s : f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称 2 2 A.命题 p、q B.命题 q、s C.命题 r、s D.命题 p、r

17.

【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】已知
) B1 C. 2 D.4

函数 y ? f ( x) 是 x ? R 上的奇函数且满足 f ( x ? 5) ? f ( x), f ( x ? 1) ? f ( x) ,则 f (2013) 的值为( A.0

【答案】A

18. 【上海市奉贤 2013 届高三一模】已知函数 f(x)是(-?,+?)上的偶函数,g(x)是(-?,+?)上的奇函数,g(x)=f(x-1),
g(3)=2013,则 f(2014)的值为 .

19. 【2013 年“江南十校”高三学生第二次联考(二模)测试】已知 f(x)是定义在 (??, ??) 上的奇函数,当 x ? 0
时, f ( x) ? x ? 2 x ,若函数 f(x)在区间[-1,t]上的最小值为-1,则实数 t 的取值范围是
2

.

?? 1 20. 【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试卷】设函数 f ( x) ? ? ?x ?1
g ( x) ? f ( x) ? ax, x ?[?2,2] 为偶函数,则实数 a 的值为


?2? x ?0 0? x?2

,若函数

从而有 a ? 1 ? a ,得 a ?

1 . 2

三.提升自我 21. .【2013 年浙江省第二次五校联考】设 a ? 0, 且a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a
( )

x ?1 在 (1, ??) 单调递减,则 f ( x) x ?1

A.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单调递增 B.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单调递减 C.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单调递增 D.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单调递减

22. 【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知 f ( x) 是定义域为实数集 R 的偶函数, ? x1 ? 0 ,
若 x1 ? x2 , 则 ? x2 ? 0 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 3 如果 f ( ) ? ,4 f ( log 1 x ) ? 3 , 那么 x 的取值范围为 ( ? 0. x 2 ? x1 3 4 8



(A) ( 0 ,

1 ) 2

(C) ( , 1 ] ? ( 2 , ? ? )

1 2

1 , 2) 2 1 1 (D) ( 0, ) ? ( , 2 ) 8 2
(B) (

?log 1 x ? 0, ? log 1 x ? 0, ? 8 ? 8 1 1 ∴ ? 1, 或 ? 1 , 解得 2 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 .∴ 2 ? x ? 2 .故选 B. ? log 1 x ? ?log 1 x ? ? 3 3 ? 8 ? 8
23. 【湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三五月第二次模拟考试】已知函数 f ( x) ( x ? R) 是偶函数,且
f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ?[0,2] 时, f ( x) ? 1 ? x ,则方程 f ( x) ?
A.8 B.9 C.10

1 在区间 [?10 ,10] 上的解的个数是( 1? | x |
D.11



1 1 24.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】给出定义:若 m ? < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做 2 2
离实数 x 最近的整数,记作 {x} ,即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x )=x ? {x} 的四个命题: ① y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称 中心,其中 k ? Z ;

③函数 y =f (x ) 的最小正周期为; ④ 函数 y =f (x ) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2


则上述命题中真命题的序号是 【答案】①③

25. 【北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学期联考】
已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式
2

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q



【考点预测】
1. 若 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+?)上单调递增,则下列结论:①y=|f(x)|是 偶函数;②对任意的 x?R 都有 f(-x)+|f(x)|=0;③y=f(-x)在(-?,0]上单调递增;④y=f(x)f(-x)在(-?,0]上单调递增.其中 正确结论的个数 为( A.1 【答案】B B 2 ) C.3 D.4

2. 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是





A. y ? 2| x| C. y ? 2 x ? 2 ? x

B. y ? 1g ( x ? D. y ? 1g

x 2 ? 1)

1 x ?1

3. 已知 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内有且只有一个根 x ? 区间 ?0,2013 ? 内根的个数为( A.2011 B.1006 ) C.2013 D.1007

1 ,则 f ( x) ? 0 在 2

4. 函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如,函数

f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题:
①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).

5.设 y ? f ( x) 为 R 上的奇函数,y ? g ( x) 为 R 上的偶函数, 且 g ( x) ? f ( x ? 1) ,g (0) ? 2 . 则 f ( x) ? 需写出一个满足条件的函数解析式即可)

. (只


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