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江苏省徐州市2008~2009学年度第一学期期中考试高一数学试题


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2008~ 学年度 徐州市 2008~2009 学年度第一学期期中考试

高 一 数 学 试 题
(时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 填空题:(本大题共 小题, :(
1.设 a=0.3 ,b=2 , c = log 2
2 0.5

2 ,试比较 a、b、c 大小关系_________(用“<”连接)

2.满足 A ? {a, b, c}且A ∩ {a, b} = {a}的集合 A 的个数有

?x , x > 0 ; x2 ,④ y = ? 3.已知函数 f (x) =| x | ,在① y = x ,② y = ( x ) ,③ y = x ? ? x, x < 0 . 与 f (x) 为同一函数的函数的个数为
2

2

4.如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标 分别为 (0,,,,, ,则 f ( f (1)) = 4) (2 0) (6 4)

y 4 3 2 1 O A C

B 1 2 3 4 5 6

x

5.函数 f(x)=a 6.函数 f ( x) =

x-1

+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是___________

x(2 ? x) + x 的定义域为

7. 用二分法求函数 y = f ( x) 在区间 [ 2,4] 上零点的近似解,经验证有 f ( 2) ? f ( 4) < 0 。若 给定精确度 ε = 0.01 ,取区间的中点 x1 = 零点 x0 ∈ _____________(填区间) 8. 某人 2008 年 1 月 1 日到银行存入一年期存款 a 元,若按年利率为 x,并按复利计算,到 2011 年 1 月 1 日可取回款 元

2+4 = 3 ,计算得 f (2) ? f ( x1 ) < 0 ,则此时 2

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9.已知集合 A = {x | x ? a = 0}, B = {x | ax ? 1 = 0}, 且A ∩ B = B, 则实数a等于 ______ 10.已知 f (3 ) = 2 x log 2 3 则 f ( 2
x

1004

) 的值等于

11.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ∞) 上为增函数,且 f (1) = 0 ,则不等式 x[ ( f ( x) ? f ( ? x) + 的解集为

]? 0

12.设定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? f ( x + 2 ) = 13 ,若 f (1) = 2 ,则 f ( 99 ) = 13.设 a > 1 ,若对于任意的 x ∈ [ a,a ] ,都有 y ∈ ? a,a 2 ? 满足方程 log a x + log a y = 3 , 2 ? ? 这时 a 的取值的集合为

14.函数 y = f ( x ) 为偶函数且在 [0,+∞ ) 上是减函数,则 f ( 4 ? x 2 ) 的单调递增区间为

请在答题卷指定区域内作答, 二、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卷指定区域内作答,解答应 解答题:(本大题共 小题, :( 写出文字说明,证明过程或演算步骤)。 写出文字说明,证明过程或演算步骤)。

15.计算:(本题满分 15.计算:(本题满分 14 分) :( (1) ( ?3 ) 3 + (0.01) (2) log 2.5

3 8

2

?

1 2

? ( 2 ? 1) ?1 + ( 3 ? 2 ) 0

6.25 + lg 0.01 + ln e + 21+log 2 3

16.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = 1 + .(本题满分

x ?x

2

( ?2 < x ≤ 2 )

(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域、单调区间。

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17.(本小题满分 17.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = log a ( x + 1) , g ( x) = log a (4 ? 2 x) ( a > 0 ,且 .(

a ≠ 1 ).

(Ⅰ)求函数 f ( x ) ? g ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求使函数 f ( x ) ? g ( x ) 的值为正数的 x 的取值范围.

18.(本小题满分 18.(本小题满分 16 分)设 a 为实数,函数 f ( x ) = x + | x ? a | +1 , x ∈ R . .(
2

(Ⅰ)若 f ( x ) 是偶函数,试求 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 f ( x ) 的最小值; (Ⅲ)王小平同学认为:无论 a 取何实数,函数 f ( x ) 都不可能是奇函数. 你同意他的观点吗?请说明理由.

19.( 19.(本小题满分 16 分)某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的 利润与投资成正比,其关系如图 1 所示;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其 关系如图 2 所示(利润与投资单位:万元)。 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

y

y 2.5

0.45 0 1.8 x 0

图1

图2

4

x

20、(本小题满分 16 分)设函数 y= f ( x ) = ax + 、(本小题满分 、(

1 (a ≠ 0) 的图像过点(0,-1)且与直 x+b

线 y= -1 有且只有一个公共点;设点 P(x0 ,y0)是函数 y= f ( x) 图象上任意一点,过点 P 分别 作直线 y=x 和直线 x=1 的垂线,垂足分别是 M,N. (1)求 y = f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y = f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心 Q; (3 ) 证明: 线段 PM, 长度的乘积 PM ? PN 为定值; PN 并用点 P 横坐标 x0 表示四边形 QMPN 的面积..

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高 一 数 学 试 题 答 案
一、填空题: 填空题:
1,b<c<a 8, a (1 + x) 3 13, 2,2 3,1 4, 0 5,(1,4) 6, (0,2] 12, 7, ( 2,3)

9,1 或-1 或 0 10,2008 11, ( ?1, ∪ (0, 0) 1) 14, (? ∞. ? 2] , [0,2]

13 2

{a a ≥ 2}

二、解答题: 解答题: 15. 解:(1)原式= 2 ? 2 +

1 13 + 2 × 3 = ;……………7 分 2 2
……………14 分

(2)原式=

49 ? 2 4

?1 ? x 16.解:(1) f ( x) = ? ? 1
(2)如图……………8 分

(?2 < x < 0) (0 ≤ x ≤ 2)

……………4 分

(3)值域为 [1,3) …………11 分 单调减区间为 (?2, 0] ……………………………………………………14 分

17,解:(Ⅰ)由题意可知,

f ( x) ? g ( x) = log a ( x + 1) ? log a (4 ? 2 x) ,

……………1 分

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由? ∴

?x +1 > 0 ? x > ?1 , 解得 ? , ?4 ? 2 x > 0 ?x < 2
?1 < x < 2 ,

……………3 分

∴函数 f ( x ) ? g ( x ) 的定义域是 (?1, 2) . (Ⅱ)由 f ( x ) ? g ( x ) > 0 ,得

……………6 分

f ( x) > g ( x) ,
① ……………8 分

即 log a ( x + 1) > log a (4 ? 2 x) ,

当 a > 1 时,由①可得 x + 1 > 4 ? 2 x ,解得 x > 1 , 又 ?1 < x < 2 ,∴ 1 < x < 2 ; 当 0 < a < 1 时,由①可得 x + 1 < 4 ? 2 x ,解得 x < 1 , 又 ?1 < x < 2 ,∴ ?1 < x < 1 . 综上所述:当 a > 1 时, x 的取值范围是 (1, 2) ; 当 0 < a < 1 时, x 的取值范围是 (?1,1) .

……………10 分 ……………12 分

……………14 分

18. 解:(Ⅰ)∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f ( ? x ) = f ( x ) 在 R 上恒成立, 即 ( ? x ) 2 + | ? x ? a | +1 = x 2 + | x ? a | +1 , 化简整理,得 ax = 0 在 R 上恒成立, ∴a = 0. (另解 :由 f ( x ) 是偶函数知, f (?1) = f (1) 即 ( ?1) 2 + | ?1 ? a | +1 = 12 + |1 ? a | +1 整理得 | a + 1|=| a ? 1| ,解得 a = 0 再证明 f ( x ) = x 2 + | x | +1 是偶函数,所以 a = 0 ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a = 0 ,∴ f ( x ) = x 2 + | x | +1 , ∵ x ≥ 0 , | x |≥ 0 ,∴ f ( x ) ≥ 1 ,当且仅当 x = 0 时, f ( x ) = 1 ,…………8 分
2

……………3 分 ……………5 分

∴当 x = 0 时, f ( x ) 的最小值为 1. (Ⅲ)王小平同学的观点是正确的. 若 f ( x ) 是奇函数,则 f ( ? x ) = ? f ( x) 在 R 上恒成立, ∴ f (0) = ? f (0) ,∴ f (0) = 0 , 但无论 a 取何实数, f (0) =| a | +1 > 0 ,

……………10 分 ……………11 分

……………14 分

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∴ f ( x ) 不可能是奇函数.

……………16 分

19.解: (1)设投资为 x 万元, A、B 两产品获得的利润分别为 f(x)、g(x)万元, 由题意, f ( x) = k1 x, g ( x) = k2 x , ( k1 , k2 ≠ 0; x ≥ 0) 又由图知 f(1.8)=0.45 ,g(4)=2.5;解得 k1 = ∴ f ( x) = …………… 3
'

1 5 , k2 = 4 4
…………… 8
'

1 5 x( x ≥ 0); g ( x) = x ( x ≥ 0) 4 4

(不写定义域扣 2 分) (2)设对 B 产品投资 x 万元,则对 A 产品投资(10-x)万元, 记企业获取的利润为 y 万元, 则y=

1 5 (10 ? x) + x ( x ≥ 0) 4 4
2

……………10 分

设 x = t ,则 x = t , (0 ≤ t ≤ 10)

1 5 65 (t ? ) 2 + 4 2 16 5 25 65 当 t = 也即 x = 时,y 取最大值 2 4 16 25 15 答:对 B 产品投资 万元,对 A 产品投资 万元时, 4 4 65 可获最大利润 万元。(答 1 分,单位 1 分 ) 16
∴y=?

……………14 分

……………16 分

20.解: (1)∵ 函数 f ( x ) = ax +

1 (a ≠ 0) 的图像过点(0,-1) x+b 1 ∴ f (0) = ?1 得 b=-1 所以 f ( x) = ax + ,……………2 分 x +1 ∵ f ( x) 的图像与直线 y= -1 有且只有一个公共点 1 ∴ ? 1 = ax + 只有一解 即 x[ax + ( a ? 1)] = 0 只有一解 ∴ a=1 x +1 1 ∴ f ( x) = x + ……………4 分 x ?1 1 (2)证明:已知函数 y1 = x , y2 = 都是奇函数. x

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所以函数 g ( x ) = x + 而 f ( x) = x ? 1 +

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x

1 +1 x ?1

可知, 函数 g ( x ) 的图像向右、 向上各平移 1 个单位, 即得到函数 f ( x ) 的图像, 故函数 f ( x ) 的图像是以点 Q (11) 为中心的中心对称图形.………… 9 分 , (3)证明:∵ P 点 ? x0,x0 +

? ?

1 ? ? x0 ? 1 ?

过 P 作 PA⊥x 轴交直线 y=1 于 A 点,交直线 y=x 于点 B, 则 QA=PN=AB=x0 -1 ,QB= 2 ( x0 ? 1) . PA=yP -1= x 0 ? 1 + ∴PM=BM= ∴PM ? PN=

1 , x0 ? 1

∴PB=PA-AB=

1 , x 0 ?1

2 PB = 2
1 2 ( x0 ? 1)

1 2 ( x0 ? 1)



.( x0 -1)=

2 为定值。 2

……………13 分

连 QP ;∵QM=QB+BM= 2 ( x0 ? 1) + ∴ S ?QMP =

1 2 ( x0 ? 1)



1 1 QM × PM = × 2 2 1 1 1 1 [ 2 ( x0 ? 1) + ]. = + 2 2 ( x0 ? 1) 2 4( x0 ? 1) 2 ( x0 ? 1) 1 1 1 1 1 又 S ?QNP = NP × PA = ( x0 -1). ( x 0 ? 1 + )= ( x0 ? 1) 2 + 2 2 x0 ? 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ∴ S QMPN = ( x 0 ? 1) + + + = ( x 0 ? 1) + +1 ……16 分 2 2 2 2 4( x0 ? 1) 2 4( x0 ? 1) 2

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