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从一道高考题谈隐棱二面角的求法


20 02 《数 学 教 学 通 讯 》

年6 ( 下)

重庆

?

1 8

从 一 道 高考 题 谈 隐 校
(浙 江 绍 兴 华 甫 高 级 中 学



而 偏的 求 注
孟利 忠
,
,

3120 39)

我 们 先 给 出 2 0 0 1 年 全 国 高 考 数 学 试 卷 的一 道 立 体
几 何解 答题
:

从 而 可 进 一 步作 出 二 面 角 的平 面 角来 求 解
解法
l
:

如图
,

2

,

延长 B A CD


/ 俄 八 笋 厂 井 S |


如图
的 四棱 锥
=
,

1

,

在 底 面 是 直 角梯 形

1
,

相交于点
?

E

连结
,

SE

,



SE
BC

是所
,

一 日 、 、 才 图


乙 O 、 / 一 l

S 一 A BC D

艺A B C
,

求 二 面 角 的棱
~
SE
ZA D
,

丫 AD

90
~

0

,

SA
~ ~

上 面
_

AB CD
~

SA

=

A B 一

c B

, 二 1 AD =

?



(I ) 求 四棱 锥 S 一 ABCD

A


D

/

召C
.

/ 了 了 了 护 E 7 尸

C

:
,



EA 二 A B 二 SA
丫 SA

,

. ,
,



SB

土 面 AB CD
,

得 面 SE B I 面 E B C

EB

是交
土 面

的 体积 ;
( l ) 求面 S CD 与面 S B A



l

线

,


,

BC



EB

,

:

.

BC


“ ” ,

SE B

故 S B 是 SC 在面 S E B 上 的
… CS

成 的 二 面角 的 正 切

.

射影
即空 间想 象
) 问
,

,

上SE

,



乙B S C 是 所 求 二 面 角 的 平 面 角



,

这 是 一 道 考 查 立 体几何 两 大 法 宝
,

丫 sB = :
.

丫丽 砚不面面
ta n

抓乞 B c
,



=

1 Bc
,

土sB

,

能力 与 逻 辑 思 维 能力 的 好题 尤 其 是 第 (
,

l

求一 个
.

乙 。: 。 一



隐棱 (不 直 接 给 出 棱 ) 二 面 角 的正 切 可 谓 独 具 匠 心 求
二 面 角是 众所 周 知 的 高考 热 点 而 求 隐 棱 二 面 角 则 使
,

, p所 求 二 面 角 的 正 切 为

卒 平
. c

,

.

人 耳 目一 新 它 注 重 了对 数 学 知识 和 能 力 的 多 角 度 多 层 次 的 考 查 本 文 以 此 题 第 ( I ) 间为例 谈 谈求隐棱 二
.

,



,

二 射 影法
若锐 二 面 角
、.



面 角 的 五 种 处 理 方 法 供参考

,

.

a

的 一 个 面 上 的 一 个封 闭 图 形 的 面 积
.

、 _ 一。 * o 为 S 它 在 另 一 个 面 上 的 射影 为 S 。 则有 c
_
,

_ _

,

*

.

,

。:

_

_ _

_

,

““

=
,

S


,

‘。





一 直 接法
所谓 直接 法就 是去作 出二 面角 的 棱 即 通 过延 长
,




谓射影法 就是 利用 这一结 论求 二 面角的 大小 它 的显

著优 点 是 可 回 避 作 二 面 角 的棱 及 其平 面 角
解法
召C

.

共 面 但 又 分 别 位 于 二 面 角 的 两 个 面 内的 线 段 得 到 两
,

2

:

如图
,


1

,

设所 求二 面 角 为

a

,

同解法
SA B

1
,

证出

个 面 的一 个 公 共 点 连 结 两 个公共 点 即 得 二 面 角 的 棱
,

,

一 面 S AB

:

A D

/

BC

,

:

.

A D

一 面




.




x

轴压 缩到 原 来的


6





i (x ) =

10 9

2

(x +

2)

的图像

.

— 一 —
沿 , 轴压 缩 到 原 来 的






h (x )
,


l 一 s

n

(Z x
,



) 丁 O

例 3


已 知 函数 f
,

x (
<

) 二

x 一 1 2 】

,

a

<

b

<
e



,



f( a ) > f( ) >
(A )
a

b ) 则( f(
,

( 第七 届 希 望 杯 试 题 ) )
0


( 工) = i



s



in (Z x



) 上移 丁 D

<

0

b 2

<
‘.

0

,

c

(B ) +
2
,

a

< <

0 b
,

)

0

,

>

0

.


+

个单位 、
例 2

,

) x (
.





(2 x

+

晋 备
,

, 十

a (C ) 2 一 <

(D ) 2

Z

t

2

.

: 简 析 略 证 先 作 出 f (x ) 一

一 1 的图像
x

,

保 留x 轴
,

‘ 已 知 函 数 f (二 ) = 2 十 ‘ 的 图 像 求 作 10

9

:

x (


上 方的 部 分 将

,

x

轴下 方 的 部 分 沿
,

轴向上翻折 可 知
,

) 2

的 图像 简析 略 证
一 l
e w
~

函数 f ( o x ) 在 (一 c

的 上 是 单调 减 的 在 ( 0
o
,

,

十 c o ) 上

,

:

x ( f
e w

) 一



; (x )



兰 投 二鱼堑;



) x (

是 单 调 增 的 必有
,

a

<



>

o

,

又 f (a ) > f( ) 即 1 一

10 9

2二

竺 丝Z 全竺





9 2二

兰壁三 上 竺 竺

2



> 2 一


1

,

答 案 为 (D )

.

?

82

?

重庆
,

20 02 《数 学 教 学 通 讯 》



6 (下 )

△ S C D 在 平 面 凡1 月 上 的 射 影 为 △ S 八B
:
.

解法
A I夕 〔D
, .

4

:

如图
,

4

,



:

SA 土 面

c o s a



S S


B 公、 飞
,

△ 、(





而 S
,

乙s, 。

1







S A 土 月D



A B



A D

l
5 l I e w
l

卜 竹 含 巴

,



SD 一 DC





c s

_

:
,

.

A D

土 面 S乃B 即 已 找出平面
,

引 门 一 己 ? 钩 \刃 图 生 D \

~ 了飞

SA B

的垂线

A D

,

但平面
,

SDC


A

:

.

5

乙 、c D




4


垂线难 以 作 ( 找) 出 如何 办? 可

直 接 作 巴过 点
_

A


,

八E

土 平面

COS a

上二
二二二

2

兰I
4
,

沂了
3

S lr

于E

,

连结

D E 则 艺D AE
.


,

从而

,

a n 。

作 求 二 面 角 大 小 相 等 用 体积 法 即 由 V
可求 得
A E

s 一 ,

、 一 vn 丫
~

一 、


。。





丫万
6
.

.



co s

乙D A E 二

一E A D 一

一 一二



。 p所求 二 面 角 的正 切 为



,

川J


: “

ta n

乙D

AE

杯万
2
.

三 替棱 法
立 体几 何课 本
P



v ~ 一_ 一 、 _ 布 牙 犷 以 肌 水 一 圈 用 止 切 诅 刀 一 下‘
上 。 。,


_

-

3 有 这样 一个 命题 2
,

如果两个相

交平 面 分 别 经 过 两 条 平 行 线 中 的 一 条 那 么 它 们 的 交

五 平移 法
通 过 把 二 面角 的 一 个 或 两 个 面作 平 移 使 它 们 产 生交线 把所求二 面 角转 化为 平移后 的显 棱二 面 角来
,



线 和 这 两 条直 线 平 行
, ,

” ,

因此 如 果 在 二 面 角 的 两 个 面 上
,

,

能 找到 一 组 平 行 线 则 它 们 也 平 行 于 二 面 角 的 棱 这 时 就 毋 须 作 出棱 即 可 根 据 定 义 作 出二 面 角 的 平 面 角 求 解 这 就是 所 谓 替 棱 法
,
.

求 解 这 就 是 平 移 法 运 用 此法 常 需 对 原 几 何 体 辅 之 以
,

,

补 形 以 增 大 平 移 空 间 增 强 平 移 的直 观


,

,

.

解法
N“ 则
,

3

:

如图


3

,

分别 取 SB
AM
,


SC 中点 M N

,

连结
“C
,

MN

L 卜 J S 卜
奋 口 曰 e


解法
图 / 万 了 义 比 、 声 D / 卜
J ?

5

:

如图
,

5

,

延长
,

AD





K

E E

,

N M
… A D




/

Bc

,

合 ‘ N M

又 AD ‘

使A D = D E
C B




结E C
,

H

分别过



作 A S 的 平行 线 使 E F ,

故四 边形
,

CG

~ B K ~ SA


连结 SF



FG



G尺 K S
… A

,

AD N

则可 知几何体 A E C B 一
,

M 是平行四边形
,

D N

… A M


M / D N / 面 S CD
L

S FG K
SF B C


是正方体

分别取 K


G



A

落 决
D
E

(( (

的 中点 H

L
,



与面 S B

1

所 成 二 面角 的梭
,





SA =
,

AB =

l

.

M 是
,

M

,

连结

L

M
,

,

D

H 相交 于点

O

可 知点 O
,


,

5

’ SB 土 A S B 的 中点 : M

,

即 S B 上 L 同理 S C 土 D N
,

为正方体 A

E C B 一 S 声G K

的 中心
,



点 O 在对 角 线 S

C

即 SC 一


L

,


an

艺B SC

就是 所 求二 面 角的 平 面 角 下 同

上 显 然平 面 LM /

平 面 S 八B 故 所 求 二 面 角 可 转 化 为
,

解 法 ; 求得 t


二B s
~

。一


















2

,

即 所求 二 面 角 的 正 切 为
,

平面
一 L
,

L




M ”J



一~

产’ J

~ 一

洲~

M 与 平 面 S C D 所 成 的 二 面 角 即 二 面角
:
,

S 一 D 月
,

了万
2

四边形 D MH L 是正 方形 … L O 上 D H
〔万
,

又四

边 形 SD

是 菱形

,

.

. ,

50 上 D H
,

,



匕SO L


是 二 面角
,

“ 一 D H

一 “ 的平 面

角 S“ 一

AD



L。 -

四 垂 线法
把立 体 儿何 课 本
P4 6



第 5 题结 论 作 引 伸 可 得 如 果

,




L。 一




A s

丫万
一 SL
LO
,

~



厄一




有 两 条 直 线 分 别 垂 直于 一 个 二 面 角 的 两 个 面 则 此 两



. ‘.

ta

n

)L 二 乙S〔 _
,
,



-

Z
.

直线 所 成 的 角 的 大 小 与 二 面 角 的 大 小 相 等 或 互 补 且
,

二 面 角 是锐 角或直 角时相 等 二 面角是 钝角 时互补
,

” ,

~ _ ~ 丫 万 一 子以 历 水 一 四 用 止 刊 刀 下乙
二。
‘尸

_



垂线 法 就 是 利 用 这 一 结 论 只需 作 ( 找 ) 出 二 面角 的 两
,

以 上 介 绍 的 五 种 方 法 均 可有 效 地 解 决求 隐 棱 二 面

面 的垂 线 并 计 算 它 们 所 成 的 角 此 法 可 回 避 作 二 面 角
,

,

角 的问 题 但 在 实 际 应 用 中 应 因 题 制 宜 选 择 最 恰 当 的
,

,

的棱 及 其 平 面 角

.

方法解决

,


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