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专题十一 数形结合思想


专题十一 数形结合思想 考点整合 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结 合起来思索, 使抽象思维和形象思维相结合, 通过 “以 形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象 的数学问题直观化、 生动化,能够变抽象思维为形象 思维,有助于把握数学问题的本质。另外,由于使用 了数形结合的方法, 很多问题便迎刃而解,且解法简 捷,从而起到优化计算的目的。 华罗庚先生曾指出: “数与形本是相倚依,焉能 分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数 形结合百般好,隔裂分家万事休。 ”这充分说明了数 形结合在数学学习中的重要性, 是中考数学的一个最 重要数学思想。 考点一 与数轴结合的问题 本类题的关键之一是从数轴上的位置判断实数 a 的取值范围,关键之二是运用二次根式的性质 a2= |a|进行化简. 在解决含绝对值的代数式化简或计算问 题时,利用数轴进行分析是我们常用的方法. 考点突破 考点一 与数轴结合的问题 例 1(2013 云南曲靖模拟) 实数 a,b 在数轴上的 位置如图 X9-1 所示, 则 为________. [解析] ∵由数 轴可知: b < 0 < a , |b| > |a|,∴a+b< 0, ∴ (a+b)2 +a=|a+b|+a=-a-b+a=-b, 故答案为:-b. 练习 1. (2013 云南昭通模拟)实数 a、b 上在数轴 上对应位置如图 3 -3-6 所示,则
| a ? b | ? b2 等 于 ( ) A.a B.a-2b

考点二 与函数图象结合的问题 根据函数图象求函数解析式、 方程或不等式的解 等问题, 是利用数形结合思想解决函数问题的主要题 型.解决这类问题的关键是要熟悉函数的性质,以及 函数与方程、不等式之间的关系. 考点三 与几何图形结合的问题 可以是解决直角三角形的内容,可以是圆的有 关知识,可以是求代数式最小值的问题,通过“变数 为形”转化为几何中的轴对称、最短路线问题,解答 的关键是建立几何模型, 利用数形结合求解. 这类问 题既考查学生的阅读能力, 又考查学生的创新思维能 力,是近几年中考命题的重点之一.



+a 的化简结果

山)如图,A、B 两点在数轴上表示的数分别为 a、b, 下列式子成立的是 A.ab>0 B.a+b<0 C. (b-1) (a+1)>0 D. (b-1) (a-1)>0 【解析】根据 a、b 两点在数轴上的位置判断出其取 值范围,再对各选项进行逐一分析即可. a、b 两点在数轴上的位置可知:-1<a<0,b>1, ∴ab<0,a+b>0,故 A、B 错误; ∵-1<a<0,b>1, ∴b-1>0,a+1>0,a-1<0 故 C 正确,D 错误. 故选 C. 【答案】C 考点二与函数图象结合的问题 例 3(2013,山东济南)某公司推销一种产品,设 x (件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,图 3- 3- 1 已表示了公司每月付给推销员推销费的 两种方案,看图解答下列问题: (1)求 y1 与 y2 的函数解析式; ( 2 )解释图中表示的两种方案是如何付推销费 的? (3)果你是推销员,应如何选择付费方案?

C.-a

D.b-a

答案 :B 例 2(2013,四川乐

解: (1) 解法一:由图②可知甲步行的速度为 2(km/h).

1.6 = 0.8

因此甲在每个景点逗留的时间为 2.6-1.6 1.8-0.8- =0.5(h). 2 解法二:甲沿 A→D 步行时 s 与 t 的函数关系式为 s =2t.设甲沿 D→C 步行时 s 与 t 的函数关系式为 s=2t+b.则 2× 1.8+b=2.6.∴ b=-1. 解: (1)y1=20x,y2=10x+300. (2)y1 是不推销产品没有推销费,每推销 10 件产品得推销费 200 元,y2 是保底工资 300 元,每 推销 10 件产品再提成 100 元. (3)若业务能力强,平均每月保证推销多于 30 件时,就选择 y1 的付费方案;否则,选择 y2 的 付费方案. 点拨:图象在上方的说明它的函数值较大,反 之较小,当然,两图象相交时,说明在交点处的函 数值是相等的. 练习 2 (2013 云南大理模拟) 某景区的旅游线路 如图 X9-2①所示,其中 A 为入口,B,C,D 为风 景点,E 为三岔路的交汇点,图①中所给数据为相应 两点间的路程(单位:km).甲游客以一定的速度沿线 路“A→D→C→E→A” 步行游览,在每个景点逗留 的时间相同,当他回到 A 处时, 共用去 3 h.甲步行的路程 s(km) 与游览时间 t(h)之间的部分函数 图象如图②所示. (2)解法一:甲步行的总时间为 3-0.5×2=2(h). ∴甲的总行程为 2×2=4(km). ∴ C , E 两点 间的路程 为 4 - 1.6 - 1 - 0.8 = 0.6(km). 解法二:设甲沿 C→E→A 步行时,s 与 t 的函数 关系式为 s=2t+m.则 2×2.3+m=2.6.∴m=-2.∴s =2t-2. 当 t=3 时,s=2×3-2=4. ∴ C , E 两点 间的路程 为 4 - 1.6 - 1 - 0.8 = 0.6(km). (3) 他 们 的 约 定 能 实 现 . 乙 游 览 的 最 短 线 路 为 : A→D→C→E→B→E→A( 0.4× 2+0.8=4.8(km). (1)求甲在每个景点逗留的时间,并补全图象; (2)求 C,E 两点间的路程; (3)乙游客与甲同时从 A 处出发,打算游完三个 景点后回到 A 处,两人相约先到者在 A 处等候,等 候时间不超过 10 分钟. 如果乙的步行速度为 3 km/h, 在每个景点逗留的时间与甲相同, 他们的约定能否实 现?请说明理由. 或 A→E→B→E→C→D→A),总行程为 1.6+1+0.6+ 4.8 ∴乙游完三个景点后回到 A 处的总时间为 +0.5× 3 3 =3.1(h).∴ 乙比甲晚 6 分钟到 A 处. 1 练习 3 如图 X9-3 是二次函数 y=- x2+2 的图 2 象在 x 轴上方的一部分, 若这段图象与 x 轴所围成的 阴影部分面积为 S,试求出 S 取值的一个范围. ∴s=2t-1.当 s=1.6 时,2t-1=1.6, t=1.3. 因此甲在每个景点逗留的时间为 1.3-0.8=0.5(h).补全图象如下:

解:方法一:由题意可知,这段图象与 x 轴的交点为 A(-2,0),B(2,0),与 y 轴的交点为 C(0,2).显 然,S 在△ ABC 面积与过 A,B,C 三点的⊙ O 半圆 面积之间. 1 ∵ S△ABC=4, S⊙O=2π ,∴ 4<S<2π . 2 方法二: 由题意可知, 这段图象与 x 轴的交点为 A(- 2,0),B(2,0),与 y 轴的交点为 C(0,2).显然, 这段图象在半径为 3,2 的两个半圆所夹的圆环内, 1 1 ∴ π ·( 3)2<S< π ·22, 2 2 3 即 π <S<2π . 2 考点三 与实际结合的问题 例 4 (2013 云南红河模拟) 阅读材料:例:说明 代数式 x2+1+ 小值. 解 : x2+1 + - +4 = - +12 + - +22,如图 X9-4,建立平面直角坐标系, 点 P(x,0)是 x 轴上一点, 则 与点 A(0,1)的距离, - +12可以看成点 P - +22可以看成点 P 与点 - +4的几何意义, 并求它的最

员张平根据往年的销 售情况,对今年这种 蔬菜的销售价格进行 了预测,预测情况如 图 3-3-2, 图中的抛 物线(部分)表示这 种蔬菜销售价与月份 之间的关系,观察图 象,你能得到关于这 种蔬菜销售情况的哪 些信息? 答题要求: (1)请提供四条信息; (2)不必求函数的解析. 解: (1)2 月份每千克销售价是 3.5 元;7 对月份 每千克销售价是 0.5 元; (3)l 月到 7 月的销售价 逐月下降; (4) 7 月到 12 月的销售价逐月上升; ( 5) 2 月与 7 月的销售差价是每千克 3 元; (6)7 月份 销售价最低,1 月份销售价最高; (7)6 月与 8 月、 5 月与 9 月、4 月与 10 月、3 月与 11 月,2 月与 12 月的销售价分别相同. 练习 5 【例 3】 (2005,江西课改,8 分)某报社为 了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况, 对 读者作了一次问卷调查, 要求读者选出自己最喜欢 的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图 3l 司所示的条形统计图:

B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和, 它的最小值就是 PA+PB 的最小值. 设点 A 关于 x 轴的对 称点为 A′,则 PA= PA′ ,因此,求 PA + PB 的最小值,只需求 PA′+PB 的最小值, 而 点 A′、B 间的直线段 距离最短,所以 PA′ +PB 的最小值为线段 A′B 的长度.为此,构造直角 三角形 A′CB, 因为 A′C=3, CB=3, 所以 A′B=3 2, 即原式的最小值为 3 2. 练习 4 (2013 ,重庆)某农场种植一种蔬菜,销售 ⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息; ⑵请根据条形统计图中的数据补全如图 3-3- 3 所示的扇形统计图(要求:第二版与第三版相邻人 并说明这两幅统计图各有什么特点? ⑶请你根据上述数据, 对该报社提出一条合理的 建议。 解:⑴:参加调查的人数为 5000 人;

说明:只要符合题意,均得满分. ⑵如图 3-3-5 所示: 条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读 者人数. 扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的 读者人数占所调查的总人数的百分比. ⑶如:建议改进第二版的内容,提高 文章质量,内容更贴近生活,形式更活泼些. 练习 6、 (2013 年广东省 )如图 ,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆 , ∠ ABC=90 ° , 弦 BD=BA,AB=12,BC=5, BE⊥DC 交 DC 的延长线 于点 E. (1) 求 证 : ∠ BCA= ∠ BAD; (2)求 DE 的长; (3)求证:BE 是⊙O 的切 线. 解析: (1)∵AB=DB,∴∠BDA=∠BAD,又∵∠BDA=∠BCA,∴∠ BCA=∠BAD. (2) 在 Rt △ ABC 中 ,

【解析】 (1)过点 B 作 BE⊥ AD 于点 E,然后根据 AB=40m,∠ A=30°,可求得点 B 到 AD 的距离; (2)先求出∠ EBD 的度数,然后求出 AD 的长度, 然后根据∠ A=30°即可求出 CD 的高度. 解: (1)过点 B 作 BE⊥ AD 于点 E, ∵ AB=40m,∠ A=30°, ∴ BE=AB=20m,AE= =20 m, 即点 B 到 AD 的距离为 20m; (2)在 Rt△ ABE 中, ∵ ∠ A=30°, ∴ ∠ ABE=60°, ∵ ∠ DBC=75°, ∴ ∠ EBD=180°﹣60°﹣75°=45°, ∴ DE=EB=20m, 则 AD=AE+EB=20 +20=20( 在 Rt△ ADC 中,∠ A=30°, ∴ DC= =10+10 . )m.

AB 2 ? BC 2 ? 122 ? 52 ? 13 ,易证△ACB∽△ DE BD DBE,得 , ? AB AC 12 ? 12 144 ∴DE= ? 13 13
AC= (3)连结 OB,则 OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠BAC+∠BCD=180°, 又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAC,由(1)知∠ BCA=∠BAD,∴∠BCE=∠OBC,∴OB∥DE ∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE 是⊙O 的切线.

+1) ,

答:塔高 CD 为(10+10

28、 (2013,四川泸州)如图,为了测出某塔 CD 的高度,在塔前的平地上选择一点 A,用测角仪测得 塔顶 D 的仰角为 30°,在 A、C 之间选择一点 B(A、 B、C 三点在同一直线上) .用测角仪测得塔顶 D 的 仰角为 75°,且 AB 间的距离为 40m. (1)求点 B 到 AD 的距离; (2)求塔高 CD(结果用根号表示) .

练习 7 (2013,山东烟台)天塔是天津市的标志 性建筑之一,某校数学兴趣小组要测量天塔的高度, 如图, 他们在点 A 处测得天塔最高点 C 的仰角为 45°, 再往天塔方向前进至点 B 处测得最高点 C 的仰角为 54°,AB=112m,根据这个兴趣小组测得的数据,计 算天塔的高度 CD(tan36°≈0.73,结果保留整数) .

∵ 在 Rt△ ACD 中,∠ ACD=∠ CAD=45°, ∴ AD=CD, ∵ AD=AB+BD, ∴ BD=AD﹣AB=CD﹣112(m) , ∵ 在 Rt△ BCD 中,tan∠ BCD= ∠ CBD=36°, ∴ tan36°= , ,∠ BCD=90°﹣

【解析】 首先根据题意得:∠ CAD=45°,∠ CBD=54°, AB=112m, 在 Rt△ ACD 中, 易求得 BD=AD﹣AB=CD ﹣112;在 Rt△ BCD 中,可得 BD=CD,tan36°,即可 得 CD,tan36°=CD﹣112,继而求得答案. 解:根据题意得:∠ CAD=45°,∠ CBD=54°, AB=112m,

∴ BD=CD,tan36°, ∴ CD,tan36°=CD﹣112, ∴ CD= ≈ ≈415(m) .

答:天塔的高度 CD 为:415m.


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