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向量(最新整理--适合中等成绩学生打基础)


1. O, F 是不共线的任意三点, 若 E, 则以下各式中成立的是( → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE → → → → → → C.EF=-OF+OE D.EF=-OF-OE . 2.(2009 年高考湖南卷)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 ( ) → → → A.AD+BE+CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → C.AD+CE-CF=0

)

→ → → D.BD-BE-FC=0 . 3.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满 → → → 足 2AC+CB=0,则OC=( ) → → A.2OA-OB 2→ 1→ C.3OA-3OB → → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.-3OA+3OB → → → 4.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若OA-3OB+2OC=

→ |AB| 0,则 等于________. →| |BC → → 5.(原创题)设 a,b 是两个不共线的向量,若AB=2a+kb,CB= → a+b, =2a-b, A, D 三点共线, CD 且 B, 则实数 k 的值等于________. 6.如图,已知梯形 ABCD 中, AB‖CD,且 AB=2CD,E,F 分别是 → → DC,AB 的中点,设AD=a,AB=b,试 → → → 用 a,b 表示DC,EF,FC. 1.下列结论中,不正确的是( . )

→ → → → A.向量AB,CD共线与向量AB‖CD同义 → → → → B.若向量AB‖CD,则向量AB与DC共线 → → → → C.若向量AB=CD,则向量BA=DC D.只要向量 a,b 满足|a|=|b|,就有 a=b

2.设 a,b 是任意的两个向量,λ∈R,给出下面四个结论: ①若 a 与 b 共线,则 b=λa. ②若 b=-λa,则 a 与 b 共线. ③若 a=λb,则 a 与 b 共线. ④当 b≠0 时, 与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ=λ1, a 使得 a=λ1b. 其中,正确的结论有( ) A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④ 3.(2008 年高考湖南卷)设 D, F 分别是△ABC 的三边 BC, E, CA, → CE → AF → 则AD → → → AB 上的点, → =2BD,→ =2EA,→ =2FB, → +BE+CF与BC 且DC ( B.同向平行 D.既不平行也不垂直 → → → → 4.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若PA+PB+PC=AB, 则( ) A.点 P 在△ABC 外部 B.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在线段 AC 上 → CD 1 → 5. 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, → =2DB,→ =3CA 若AD → +λCB,则 λ 等于( ) 2 A.3 1 C.-3 1 B.3 2 D.-3 ) A.反向平行 C.互相垂直

m 6.设两个向量 a=(λ+2,λ2-cos2α),b=(m,2 +sinα),其中 λ, λ m,α 为实数.若 a=2b,则m的取值范围是( )

A.[-6,1] B.[4,8] C.(-∞,1] D.[-1,6] 7.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共 线,则 λ=________. 8.设 e1,e2 是不共线向量,e1-4e2 与 ke1+e2 共线,则实数 k 的 值为________. 9.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别 → → → → 交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m +n 的值为________.

10.如图所示,D,E 分别是△ABC 中 AB,AC 边中点,M,N → → 分别是 DE, 的中点, BC 已知BC=a,→ =b, BD 试用 a, 分别表示DE, b → → CE和MN. 11.设 i,j 分别是平面直角坐标系 Ox,Oy 正方向上的单位向量, → → → 且OA=-2i+mj,OB=ni+j,OC=5i-j,若点 A,B,C 在同一条 直线上,且 m=2n,求实数 m,n 的值. 12.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的 中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP:PM 的值. 1.(2009 年高考重庆卷)已知向量 a=(1,1), b=(2,x).若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 2.(2008 年高考辽宁卷)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2), → → B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为( ) 1 7 B.(2,-2) A.(2,2) C.(3,2) D.(1,3) 3. 已知向量 a=(1,2), b=(0,1), u=a+kb, 设 v=2a-b, u‖v, 若 则实数 k 的值为( ) 1 A.-1 B.-2 1 D.1 C.2 4.(原创题)已知 a=(2,3),b=(-1,2),则 a+b 所在直线的斜率 为________. 5.(2009 年高考安徽卷)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是 → → → 边 CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+AF,其中 λ,∈R,则 λ+= ________. 1→ → 1→ → 6.已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC=3AB,DA=-3BA,求点 C, → D 的坐标和CD的坐标. 1.在三角形 ABC 中,已知 A(2,3),B(8,-4),点 G(2,-1)在 → → 中线 AD 上,且AG=2GD,则点 C 的坐标是( ) A.(-4,2) B.(-4,-2)

C.(4,-2) D.(4,2) 2.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向 量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向 量 d 为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 3. 平面直角坐标系中, 为坐标原点, O 已知 A(3,1), B(-1,3). 若 → → → 点 C 满足OC=αOA+βOB,其中 α,β∈R 且 α+β=1,则点 C 的轨 迹方程为( ) A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 1 → 4.已知 A(7,1),B(1,4),直线 y=2ax 与线段 AB 交于 C,且AC= → 2CB,则实数 a 等于( ) A.2 B.1 4 5 C.5 D.3 5.(2010 年无锡调研)已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb m ) 与 a-2b 共线,则 n 等于( 1 A.-2 B.2 1 C.2 D.-2 → → → 6.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m- 2),若点 A,B,C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条件是( ) 1 A.m≠-2 B.m≠2 C.m≠1 D.m≠-1 → → → → 7.若点 O(0,0),A(1,2),B(-1,3),且OA′=2OA,OB′=3OB, → 则点 A′的坐标为________,点 B′的坐标为________,向量A′B′ 的坐标为________. 8.已知向量集合 M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={b|b=(- 2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则 M∩N=________. 9.若向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且 α-β=kπ(k∈Z),

则 a 与 b 一定满足: 与 b 夹角等于 α-β; ①a ②|a|=|b|; ③a‖b; ④a⊥b. 其中正确结论的序号为________.

10.如图所示,已知点 A(4,0),B(4,4), C(2,6),求 AC 和 OB 的交点 P 的坐标. → 1→ 11.在平行四边形 ABCD 中,AE=3AB, → 1→ → AF=4AD,CE 与 BF 相交于 G 点.若AB=a, → → AD=b,试用 a,b 表示AG. 12.已知向量 u=(x,y),与向量 v=(y,2y-x)的对应关系用 v= f(u)表示. (1)证明: 对任意的向量 a, 及常数 m, 恒有 f(ma+nb)=mf(a) b n, +nf(b)成立; (2)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)与 f(b)的坐标; (3)求使 f(c)=(p,q)(p,q 为常数)的向量 c 的坐标. 1. 已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120°, 若向量 c=a+b, a⊥c, 且 |a| ) 则 的值为( |b| 1 2 3 A.2 B. 3 C.2 D. 3 2.(2009 年高考陕西卷)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1, → → → → → 点 P 在 AM 上且满足AP=2PM,则PA(PB+PC)等于( ) 4 B.-3 4 4 C.3 D.9 3.(2010 年江苏四市调研)已知圆 O 的半径为 a,A,B 是其圆周 → → 上的两个三等分点,则OAAB=( ) 4 A.-9 3 3 A.2a2 B.-2a2 3 3 C. 2 a2 D.- 2 a2 4.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(ab)b,则|c| =________.

→ 5. (原创题)三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线,→ |=3, BC |AB AP → → =-2,则|AC|=________. 6.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120°. (1)计算|4a-2b|; 1.(2009 年高考全国卷Ⅰ)设非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|, a+b=c,则〈a,b〉=( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 2.共点力 F1(lg2,lg2),F2(lg5,lg2)作用在物体 M 上,产生位 移 s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功 W 为( ) A.lg2 B.lg5 C.1 D.2 5 3.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5,若(a+b)c=2, 则 a 与 c 的夹角为( ) A.30°或 150° B.60°或 120° C.120° D.150° aa 4.若向量 a 与 b 不共线,ab≠0,且 c=a-( )b,则向量 a 与 ab c 的夹角为( ) π A.0 B.6 π π C.3 D.2 5.设 A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点, → → → 若OA与OB在OC方向上的投影相等,则 a 与 b 满足的关系式为( ) A.4a-5b=3 C.4a+5b=14 B.5a-4b=3 D.5a+4b=14

→ → → → 6.在△ABC 中,(BC+BA)AC=|AC|2,则三角形 ABC 的形状一 定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 → 7. 已知向量OA=(2,2),→ =(4,1), x 轴上一点 P, → BP有 OB 在 使AP → 最小值,则 P 点的坐标是________. 8.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: ①(ab)c-(ca)b=0

②|a|-|b|<|a-b|; ③(bc)a-(ca)b 不与 c 垂直; ④非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|, a 与 a+b 的夹角为 60°. 则 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 9.在长江南岸渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的 速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为________.

10.已知|a|= 3,|b|=2. (1)若 a 与 b 的夹角为 150°,求|a+2b|; (2)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角大小. 11.(2009 年高考湖北卷)已知向量 a=(cosα, sinα), b=(cosβ, sinβ), c=(-1,0). (1)求向量 b+c 的长度的最大值; π (2)设 α=4,且 a⊥(b+c),求 cosβ 的值. 12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 m 3A 3A A A =(cos 2 ,sin 2 ),n=(cos 2 ,sin 2 ),且满足|m+n|= 3. (1)求角 A 的大小; → → → (2)若|AC|+|AB|= 3|BC|,试判断△ABC 的形状. (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?

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