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高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总——集合和函数


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高中数学竞赛(00-06 年)试题分类汇总——集合和函数
一、 选择题(每小题 6 分)
2

1.(00 全国)设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x ( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A){2} (B){?1} (C){x|x≤2}
2 2

?2

= 10 x },则 A ? CR B 是

(D) ?

2.(01 全国)已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x -3x-a +2=0,x∈R}的子集的个 数为( ) A.1


B2


C.4

D.不确定


解:M 表示方程x -3x-a +2=0 在实数范围内的解集.由于 Δ =1+4a >0, 所以M含有 2 个元素.故集合M有 2 =4 个子集,选C. 3.(02 全国)函数 f (x)=log1/2(x -2x-3)的单调递增区间是( (A) (-∞,-1)
2 2 2

) (D) (3, +∞)

(B) (-∞,1)

(C) (1,+∞)
2

解:由 x -2x-3>0 有 x<-1 或 x>3,故函数 log1/2(x -2x-3)的定义域为 x<-1 或 x>3。 二次函数 u=x -2x-3 在 (-∞, -1) 内单调递减, (3, 在 +∞) 内单调递增。 log1/2u 而 在(0,+∞)上单调递减,所以 log1/2(x -2x-3)在(-∞,-1)单调递增,故选 A。 4.(02 全国)函数 f(x)=x/1-2 -x/2 (A)是偶函数但不是奇函数 (C)既是偶函数又是奇函数
x 2 2





(B)是奇函数但不是偶函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数

解:函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),当 x≠0 时,因为 f(-x)=(-x)/(1-2 )-(-x)/2=(-x2 )/(2 -1)+(x/2)=(x+x(2 -1))/(1-2 )+(x/2)=(x/(1-2 ))x+(x/2)=(x/(1-2 ))-(x/2)=f(x),所以 f(x)为偶函数,显然 f(x)不是奇函数,故选 A。 5.( 06 全 国 ) 已 知 集 合 A ? x 5x ? a ? 0 , B ? x 6x ? b ? 0 , a, b ? N , 且
x -x x x x x x

?

?

?

?

A? B ? N ?2 , 3 , 4 ? ? ,则整数对 ?a, b ? 的个数为
A. 【解】 20 B. 25 C. 30



) D. 42

5x ? a ? 0 ? x ?

a b ; 6 x ? b ? 0 ? x ? 。要使 A ? B ? N ? ?2,3,4? ,则 5 6

? b ?1 ? 6 ? 2 ? 6 ? b ? 12 ? 1 1 ,即 ? 。所以数对 ?a, b ? 共有 C6C5 ? 30 。 ? a 20 ? a ? 25 ? ?4 ? ? 5 ? 5 ?
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【答】 ( C )

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6.( 06 全 国 ) 设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 , 则 对 任 意 实 数 a , b , a ? b ? 0 是

?

?

f (a) ? f (b) ? 0 的
A. 充 分 必 要 条 件 ( ) C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 B. 充 分 而 不 必 要 条 件

【解】显然 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 为奇函数,且单调递增。于是,若 a ? b ? 0 ,则

?

?

a ? ?b , 有 f ( a)? f ( b) 即 f ( a)? ? f ( b) 从 而 有 f ( a)? f ( b) 0 反 之 , 若 ? , ? . ,

f (a) ? f (b) ? 0 ,则 f (a) ? ? f (b) ? f (?b) ,推出 a ? ?b ,即 a ? b ? 0 。 选 A .

e x ? e?x 7.(04 天津)已知函数 f ( x) ? x 的反函数是 f e ? e ?x
( D ) (A) k ? (0, )

?1

| f ?1 (?0.8) | ( x) ,且 ? k ,则 | f ?1 (0.6) |

1 2

(B) k ? ( ,1)

1 2

(C) k ? (1, )

3 2

(D) k ? ( ,2)

3 2

8.(05 天津)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数.如果对于任意的 a、b∈R 都满足 f(ab) ( ) (A)是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (B)是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数 = af(b) + bf(a) , 则 函 数 f(x)

解:A. 由 f(-1)=-f(1)+f(-1)有 f(1)=0,而 f(1)=-2f(-1),∴f(-1)=0,∴ f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x). 9.(06 天津)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? a 恒成立,则 a
2

的取值范围是( D (A)? 2 ? a ? 1 10.

) (B)? 2 ? a ? 1 (C)? 3 ? a ? ?2 (D)? 3 ? a ? 1

} (06 天津) 已知集合 B 是集合 {1,2,?,100 的子集, 且对任意 x ? B , 都有 2 x ? B ,
) (C)69 个 (D)70 个

则集合 B 中的元素最多有( A (A)67 个 (B)68 个

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 11.(01 全国)函数 y=x+ x 2 ? 3x ? 2 的值域为_______________. 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 2

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解:先平方去掉根号. /(2y-3). 由y≥x, 得y≥ (y -2) (2y-3) ?解得 1≤y<3/2, / . 或y≥2. 由于 能达到下界 0,所以函数的值域为[1,3/2]∪[2,+∞]. 说明:(1)参考答案在求得 1≤y<3/2 或y≥2 后,还用了较长的篇幅进行了一番验证, 确无必要. ? (2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试. 12.(02 全国) 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, f(1)=1 且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1)≤f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= 。


?由题设得(y-x) =x -3x+2,则x=(y -2)







解:由 g(x)=f(x)+1-x 得:f(x)=g(x)+x-1,所以 g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5, g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1.即 g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x). ∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x). ∴g(x+1)=g(x).即 g(x)是周期为1的周期函数,又 g(1)=1,故 g(2002)=1. 13.(02 全国)若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是 。

解:
2 2 2

由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,所以只须求
2

x-y 的最小值.令 x-y=u 代入 x -4y =4,有 3y -2uy+(4-u )=0.这个关于 y 的二次方程显然有实 根,故 Δ =16(u -3)≥0,∴u≥√3.当 x=(4/3)√3,y=(√3)/3 时,u=√3.故∣x∣-∣y∣的最 小值为√3. 14.(03 全国)已知 a,b,c,d 均为正整数,且 loga b ? b-d = .
3 5

2

3 5 , c d ? ,若 a-c=9,则 log 2 4 d c

解:由已知可得: a 2 ? b , c 4 ? d ,从而 a ? ( )2 , c ? ( )4 ,因此 a|b,c|d.又由 a

b a

?b d2 ? ? 2 ?9 b d2 b d2 b 2 d 4 ? c - c = 9 , 故 ( ) ? ( ) ? 9 , 即 ( ? 2 )( ? 2 ) ? 9 , 故 得 ? a ,解得 a c a c a c b d2 ? ? ?1 ? a c2 ?
?a ? 25 , c ? 16 ?b ? 125 , d ? 32 .故 b-d=93. ?
15.(03 全国)不等式 | x | -2x -4| x | +3 < 0 的解集是________________ 解:由原不等式分解可得(| x |-3)(x +| x |-1)<0,由此得所求不等式的解集为 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 3
2 3 2

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(?3 , ? 5 ?1 5 ?1 )?( , 3) . 2 2
2 1-x

16.(03 全国)已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R=,B={x|2

+a≤0,x -2(a+7)+5

2

≤0,x∈R},若 A ? B,则实数 a 的取值范围是___________________. 解:易得:A=(1,3),设 f ( x) ? 21? x ? a , g( x) ? x2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ,要使 A ? B ,只 需 f (x)、g (x)在(1,3)上的图象均在 x 轴下方,其充要条件是 f (1)≤0,f (3)≤0,g (1) ≤0,g (3)≤0,由此推出-4≤a≤-1. 17.( 04 全 国 ) 设 函 数

f : R ? R, 满足f (0) ? 1 , 且 对 任 意

x, y ? R, 都有 f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y)
? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。
解:?对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2,

?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2

? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2
即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。 18.( 05 全 国 ) 已 知

f (x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 减 函 数 , 若

1 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 4a ? 1) 成立,则 a 的取值范围是 0 ? a ? 或1 ? a ? 5. 3
解:? f (x) 在 (0,??) 上定义,又 2a2 ? a ? 1 ? 2(a ? )2 ?

1 4

7 ? 0; 8

3a2 ? 4a ? 1 ? (3a ? 1) ? (a ? 1), 仅当 a ? 1 或 a ?

1 2 时, 3a ? 4a ? 1 ? 0.(?) 3
是 减 函 数 ,

? f (x)



(0,??)



? 2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 4a ? 1, ? a 2 ? 5a ? 0,? 0 ? a ? 5,
结合(*)知 0 ? a ?

1 或 1 ? a ? 5. 3

19.( 04 天 津 ) 若 关 于 x 的 方 程 100 .

x lg 2 a ? 1 ? x 只有一个实数解,则 a 的值等于 x ? lg a

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20.(05 天津)已知二次函数 f(x)满足 f(-1)=0,且 x≤f(x)≤ 恒成立,那么,函数 f(x)的解析式为______ 三、解答题(每小题 20 分)

1 2 (x +1)对一切实数 x 2

1 2 (x+1) ___________. 4

1 13 21.(00 全国)若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求 2 2
[a,b]. 答案: [1 3] [?2 ? 17, ] ,或 22.( 02 全 国 ) 设 二 次 函 数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R,a≠0) 满 足 条 件 : 1 ) 当 x∈R ( 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x;92)(2)当 x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2) ;(3)f(x) ; 在 R 上的最小值为 0.求最大的 m(m>1), 使得存在 t∈R, 只要 x∈[1,m], 就有 f(x+t)≤x。
2 2

13 4

解:∵f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于 x=-1 对称,∴-b/2a=-1,b=2a.

由(3)x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0, 由(1)得 f(1)≥1,由(2)得 f(1)≤1,∴f(1)=1, 即 a+b+c=1,又 a-b+c=0,∴b=1/2,a=1/4,c=1/4, ∴f(x)=(1/4)x +(1/2)x+(1/4).
2

假设存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x.取 x=1 有 f(t+1)≤1.即 ((1/4)(t+1)) +((1/2)(t+1))+(1/4)≤1,解得-4≤t≤0.对固定的 t∈[-4,0],
2 ( 2

取 x=m,有 f(t+m)≤m,即((1/4)(t+m) )+ (1/2)(t+m))+(1/4)≤m,化简有 m -2(1-t)m+(t +2t+1)≤0 解得 1-t-(
2 2

?4t )≤1-t+ ?4t 于是有 m≤1-t+ ?4t ≤1-(-4)+

?4t =9.当 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9],恒有
f(x-4)-x=(1/4)(x -10x+9)=1/4(x-1)(x-9)≤0.所以 m 的最大值为9。
2

23.( 04 全 国 ) 已 知 ? , ? 是 方 程 4x ? 4tx ?1 ? 0 (t ? R) 的 两 个 不 等 实 根 , 函 数
2

f ( x) ?


2x ? t 的定义域为 ?? , ? ? 。 (Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ; (Ⅱ)证明: x2 ? 1


ui ? (

?

2

0? i

,

) ,

(若

1 u1 ? ,i s

2 , n u2 ?

s3

u3 ? i )

n



1 1 1 3 ? ? ? 6。 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4

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2 2 解: (Ⅰ)设 ? ? x1 ? x2 ? ? , 则4x1 ? 4tx1 ?1 ? 0, 4x2 ? 4tx2 ?1 ? 0,
2 ? 4( x12 ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0, ? 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ?

1 ?0 2

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

2 x2 ? t 2 x1 ? t ( x2 ? x1 ) ?t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2? ? ? 2 2 x2 ? 1 x12 ? 1 ( x2 ? 1)( x12 ? 1)
1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 2

又 t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ?

故 f ( x ) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数。.......5 分

1 ?? ? ? ? t , ?? ? ? , 4

? g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f ( ? ) ? f (? ) ?
5? ? t 2 ?1 ? t 2 ? ? 2 2 2 ? 8 t ? 1(2t ? 5) ? ? ? 25 16t 2 ? 25 t2 ? 16
(Ⅱ)证: ?
3

( ? ? ? ) ?t (? ? ? ) ? 2?? ? 2?

? 2? 2 ?? 2 ? ? 2 ?1

......10 分

2 16 ? 24 16 6 ? (i ? 1, 2,3) 2 16 ? 9cos ui 16 ? 9cos 2 ui

??
i ?1
3

3 1 1 3 1 ? ? (16 ? 9cos2 ui ) ? 16 6 (16 ? 3 ? 9 ? 3 ? 9)? sin 2 ui ) ....15 分 g (tan ui ) 16 6 i ?1 i ?1

? ? sin ui ? 1, 且ui ? (0, ), i ? 1, 2,3 2 i ?1
与柯西不等式中,等号不能同时成立,

?

?3? sin 2 ui ? (? sin ui ) 2 ? 1 ,而均值不等式
i ?1 i ?1

3

3

?

1 1 1 1 1 3 ? ? ? (75 ? 9 ? ) ? 6 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 6 3 4

.....20 分

x 24.(04 天津)已知函数 f ( x) ? a ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 )的反函数是 y ? f

?1

( x) ,而

且函数 y ? g (x) 的图象与函数 y ? f

?1

( x) 的图象关于点 (a,0) 对称.
?1

(Ⅰ) 求函数 y ? g (x) 的解析式; (Ⅱ) 若函数 F ( x) ? f 上有意义,求 a 的取值范围.

( x) ? g (? x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3]

x 【解】 (Ⅰ)由 f ( x) ? a ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 ) ,得 f

?1

( x) ? loga ( x ? 3a) …………

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5分 又 函 数 y ? g (x) 的 图 象 与 函 数 y ? f
?1

( x) 的 图 象 关 于 点 (a,0) 对 称 , 则
于 是 ,

g (a ? x) ? ? f ?1 (a ? x)



g ( x) ? ? f ?1 (2a ? x) ? ? l

a

( (?x ? a) . x ? ?a )…………………………………10 分 o g
?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,有 F ( x) ? f 要使 F (x) 有意义,必须 ? 又 a ? 0 , x ? 3a . 故 分

( x) ? g (?x) ? loga ( x ? 3a) ? loga ( x ? a) .

? x ? 3a ? 0, ? x ? a ? 0.
……………………………………………………………………… 15

由题设 F (x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义,所以 a ? 2 ? 3a ,即 a ? 1 . 于是, 0 ? a ? 1 . 20 分 25.(06 天津)已知 ? 、 ? 是关于 x 的二次方程 2 x ? tx ? 2 ? 0 的两个根,且 ? ? ? ,若
2

………………………………………………………………………

函数 f ( x ) ?

4x ? t f (? ) ? f ( ? ) . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)对任意的正数 x1 、 x2 ,求证: 2 x ?1 ???

| f(

x1? ? x2 ? x ? ? x2? )?( 1 ) |? 2 | ? ? ? | . x1 ? x2 x1 ? x2
t , ? ? ? ? ?1 2


【解】 (Ⅰ)由书籍,根据韦达定理有 ? ? ? ?

f (? ) ?

4? ? t 4? ? 2(? ? ? ) 2 ? ? ? ?2 ? ? ? 2 ?1 ? 2 ? ?? 4 ? ? t 4 ? ? 2(? ? ? ) 2 ? ? ? ?2? , ? ? 2 ?1 ? 2 ? ??
………………………………………5 分

f (? ) ?



f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ? ? 2? ? ?2 ??? ???

( Ⅱ ) 已 知 函 数 f ( x) ?

4x ? t ? 2(2 x 2 ? tx ? 2) , ∴ f ?( x) ? x2 ?1 ( x 2 ? 1) 2

而 且 对 x ? [? , ? ] ,

2 x 2 ? tx ? 2 ? 2( x ? ? )(x ? ? ) ? 0 ,于是 f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) ?

4x ? t 在 [? , ? ] 上是 x2 ?1

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增函数 ……10 分。 注意到对于任意的正数 x1 、 x2

x1? ? x2 ? x (? ? ? ) x ? ? x2 ? x (? ? ? ) ?? ? 2 ? 0, 1 ?? ? 1 ?0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
即? ?

x1? ? x2 ? x ? ? x2? ? ? ,同理 ? ? 1 ??. x1 ? x2 x1 ? x2

………………………15 分

∴ f (? ) ? f (

x1? ? x2 ? x ? ? x2? ) ? f ( ? ) , f (? ) ? f ( 1 ) ? f (? ) , x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? ? x2? ) ? ? f (? ) . x1 ? x2 x1? ? x2 ? x ? ? x2? )? f( 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ) , x1 ? x2 x1 ? x2
. 而

? f (? ) ? ? f (

于是 ? [ f ( ? ) ? f (? )] ? f (



| f(

x1? ? x2 ? x ? ? x2? )? f( 1 ) |? f ( ? ) ? f (? ) x1 ? x2 x1 ? x2

f ( ? ) ? f (? ) ? 2? ? 2? ? 2 | ? ? ? | ,
∴| f (

x1? ? x2 ? x ? ? x2? )?( 1 ) |? 2 | ? ? ? | . ……………………………………20 分 x1 ? x2 x1 ? x2
1 . x

26.(05 天津)已知函数 f(x)= 1 ?

(1)是否存在实数 a、b(a<b),使得函数 f(x)的定义域和值域都是[a、b]?若存在,请 求出 a、b 的值;若不存在,请说明理由. (2)若存在实数 a、b ? a ? b ? ,使得函数 f(x)的定义域是[a、b],值域是[ma、mb](m≠0), 求实数 m 的取值范围. 解:(1)不存在实数 a、b ? a ? b ? 满足条件.事实上,若存在实数 a、b ? a ? b ? 满足条件, 则有 x≥a>0.

? 1 ?1 ? x , x ? 1 ? 故 f(x)= ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1 ?x ?

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?1 ? 1 ? b, ? f (a) ? b, ? a 1 ? (i)当 a、 b∈(0, 1)时, f(x)= ? 1 在(0, 1)上为减函数, , 所以 ? 即? x ? f (b) ? a, ? 1 ? 1 ? a. ?b ?
由此推得 a=b,与已知矛盾,故此时不存在实数 a、b(a<b)满足条件. (ii)当 a、b∈[1,+∞)时,f(x)= 1?

? f ( a ) ? a, 1 在[1,+∞)上为增函数,所以 ? 即 x ? f (b) ? b,

? 1 ?1 ? a ? a, ? 2 于是 a、b 为方程 x -x+1=0 的实根.而此时方程无实根,故此时也不存在实 ? 1 ?1 ? ? b. ? b ?
数 a、b(a<b)满足条件 (iii)当 a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,显然 1∈[a,b],而 f(1)=0,所以 0∈[a,b], 矛盾. 综上可知,不存在实数 a、b(a<b)满足条件. (2)若存在实数 a、b(a<b)满足 f(x)定义域是[a、b],值域是[ma、mb](m≠0),易得 m >0,a>0. 仿(1)知,当 a、b∈(0,1)或 a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,满足条件的实数 a、b 不存 在. 只有当 a、b∈[1,+∞)时,f(x)= 1?

? f (a) ? ma, 1 在[1,+∞)上为增函数,有 ? x ? f (b) ? mb,

? 1 ?1 ? a ? ma, ? 2 即? 于是 a、b 为方程 mx -x+1=0 的两个大于 1 的实根. 1 ?1 ? ? mb. ? b ?
?m ? 0, ?? ? 1 ? 4m ? 0, ? 1 ? ∴? 只须 ?1 ? 4m ? 0, 解得 0<m< ,所以 m 的取值范围为 0 1 ? 1 ? 4m 4 ? 1, ? ?x ? 2m ? ?1 ? 1 ? 4m ? 2m,
<m<

1 . 4

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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