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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导:联赛训练之集合 函数 不等式


全国高中数学联赛

金牌教练员讲座

兰州一中数学组

第十一讲:联赛训练之集合 函数 不等式
一,基础知识导引 <一>,集合 1,集合的性质 集合中的元素是确实的,互异的,无序的. 2,集合的表示方法 (1)列举法:如{1,2,3,4} (2)描述法:如 S ? { x P ( x )} . 3,

集合的元素个数 有限集合 A 的元素个数记作 A ,我们有下面的容斥原理 (1) A ? B ? A ? B ? A ? B , (2) A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? B ? C ? C ? A ? A ? B ? C 4,最小数原理 (1)设 M 是正整数集的一个非空子集,则 M 中必有最小数 (2)设 M 是实数集的一个有限的非空子集,则 M 中必有最小数. <二>函数 1,函数的图象 (1)函数的图象的平移变换与伸缩变换: 平移变换: y ? f ( x )
向 右 平 移 a个 单 位 向 上 平 移 b个 单 位 y ? b ? f (x ? a)

伸缩变换: y ? f ( x )

x伸 长 到 原 来 的 A倍 1 y伸 长 到 原 来 的 B倍 B

y ? f(

1 A

x ) (A>0,B>0)

(2)函数的图象的对称变换与翻折变换 对称变换:通过点对称进行研究, 翻折变换: y ? f ( x )
保 留 y轴 右 边 的 图 像 ,去 掉 y轴 左 边 的 图 像 再 作 关 于 y轴 对 称 的 图 像 保 留 x轴 上 方 的 图 像 并 将 x轴 下 方 的 图 像 翻 折 到 x轴 上 方 去 y ? f ( x );

y ? f (x)

y ? f (x)

1,函数的性质

1

(1)奇偶性:定义域关于原点对称,且 f ( ? x ) ? f ( x ) (偶)或 f ( ? x ) ? ? f ( x ) (奇) (2)单调性: x1 ? x 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (增)或 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (减) (3)周期性:对于 T ? 0 ,有 f ( x ? T ) ? f ( x ) , 2,函数的最大值与最小值 (1)对于定义域 D 内的任意 x ,存在 x 0 ? D ,使得 f ( x ) ? f ( x 0 ) ,则 f m ax ( x ) ? f ( x 0 ) ; 对于定义域 D 内的任意 x ,存在 x 0 ? D ,使得 f ( x ) ? f ( x 0 ) ,则 f m in ( x ) ? f ( x 0 ) (2) f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 内连续,则 f ( x ) 必有最大值与最小值. (3) f ( x ) ? g ( x ) 恒成立 ? f m in ( x ) ? g m an ( x ) 或 [ f ( x ) ? g ( x )] m in ? 0 . <三>,不等式 (1),均幂不等式链 设 a1 , a 2 , ? ? ?, a n ? R ,则
?

n 1 a1 ? 1 a2
2

? ??? ?

1 an

(调和平均) ?

n

a1 ? a 2 ? ? ? a n (几何平均)

?

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n n

(算术平均) ?

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n
2

2

(平方平均) ?

k

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n
k k

k

n

n

( k 次方平均, k ? 2 ),等号成立的条件是 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n . (2),柯西不等式 设 a1 , a 2 , ? ? ?, a n 与 b1 , b 2 , ? ? ?, b n ? R ,则
( a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? ? ? a n b n ) ? ( a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n )( b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n )
2 2 2 2 2 2 2

等号成立的条件是 (3),排序不等式

a1 b1

?

a2 b2

? ??? ?

an bn

.

设有两个有序实数组: a1 ? a 2 ? ·· ? a n ; b1 ? b 2 ? ·· ? b n . i1 , i2 , ·· in 是 · · · 1,2,··,n 的任一排列,则有 ·
a 1 b1 ? a 2 b? ··+ a n b n · 2

(同序和) (乱序和) (反序和)

? a1bi ? a 2 bi +··+ a n b i · 1 2 n
? a1b n ? a 2 b n ?1 +··+ a n b1 ·

2

当且仅当 a1 ? a 2 ? ··= a n 或 b1 ? b 2 ? ··= b n 时,等号成立. · ·
二,解题思想与方法导引. 1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 5,换元法 6,配方法 三,习题导引 <一>选择题 3,分类讨论思想. 7,判别式法 4,转化 8,局部调整法.

1,设全集 I ? { ( x , y ) x , y ? R } ,集合 M ? { ( x , y )

y?3 x?2

? 1} , N ? { ( x , y ) y ? x ? 1} ,

那么 C I M ? C I N 等于 A, ? B,{(2,3)}
2

C,(2,3)

D, { ( x , y ) y ? x ? 1}

2,函数 f ( x ) ? lo g 1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是
2

A, ( ? ? , ? 1)

B, ( ?? ,1)

C, (1, ?? )

D, (3, ? ? )

3,若非空集合 A ? { x 2 a ? 1 ? x ? 3 a ? 5} , B ? { x 3 ? x ? 3 3} ,则能使 A ? ( A ? B ) 成立 的所有 a 的集合是 A, { a 1 ? a ? 9} B, { a 6 ? a ? 9} C, { a a ? 9} D, ?

4,设 f ( x ) 是一个函数,使得对所有整数 x 和 y ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 6 xy ? 1 和 f ( x ) ? f ( ? x ) ,则 f (3) 等于 A,26 5,函数 f ( x ) ?
x 1? 2
x

B,27
? x 2

C,52

D,53

A,是偶函数但不是奇函数 C,既是偶函数又是奇函数 6,若对任何 x ? [0,1] ,不等式 1 ? kx ?
1 1? x

B,是奇函数但不是偶函数 D,既不是偶函数也不是奇函数
? 1 ? lx 恒成立,则一定有

A, k ? 0, l ? <二>填空题

1 3

B, k ? 0, l ?

1 2? 2

C, k ?

1 4

,l ?

1 3

D, k ?

1 2

,l ?

1 2? 2

7,一次函数 f ( x ) ? ax ? b 的图象经过点(10,13),它与 x 轴的交点为 ( p , 0) ,与 y 轴的交点为
(0, q ) ,其中 p 是质数, q 是正整数,则满足条件的所有一次函数为

. .
3

8,函数 f ( x ) ? x ? a 在区间 [ ? 1,1] 上的最大值 M ( a ) ?
2

9,已知 f ( x ) 是定义域在 (0, ? ? ) 上的音调递增函数,且满足 f (6) ? 1 , f ( x ) ? f ( y ) ? f ( )
y

x

1 ( x ? 0, y ? 0 ) ,则不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 的解集是 x

.

10,设 x , y , z , t 满足 1 ? x ? y ? z ? t ? 100 ,则

x y

?

z t

的最小值为

.

11,已知 A ? { x x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R } , B ? { x 2
2

1? x

? a ? 0, x ? 2 ( a ? 7 ) x ? 5 ? 0, x ? R } .
2

若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是
2 2

.

12,使不等式 sin x ? a cos x ? a ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 恒成立的负数 a 的取值范围 是 <三>解答题 .

13,是否存在实数 a ,使函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? a 的定义域为 [ ? 1,1] ,值域为 [ ? 2, 2] .
2

若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由.

14,设二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a , b , c ? R , a ? 0 )满足条件:
2

(1)当 x ? R 时, f ( x ? 4) ? f (2 ? x ) ,且 f ( x ) ? x ; (2)当 x ? (0, 2) 时, f ( x ) ? (
x ?1 2 ) ;
2

(3) f ( x ) 在 R 上的最小值为 0. 求最大的 m ( m ? 1) ,使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m ] ,就有 f ( x ? t ) ? x .

4

15,求方程

1 x

?

1 y

?

1 z

?

4 5

的正整数解.

四,解答导引 1,B M 表示直线 y ? x ? 1 上除去点(2,3)的部分, C I M 表示点(2,3)和除去直线 y ? x ? 1 的部 分, C I N 表示直线 y ? x ? 1 上的点集,所以, C I M ? C I N 表示的点集仅有点(2,3),即 { ( 2, 3)} . 2,A
f ( x ) 的定义域为 ( ? ? , ? 1) ? (3, ? ? ) ,而 u ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4 在 ( ? ? , ? 1) 上单
2 2

调递减,在 (3, ? ? ) 上单调递增,所以, f ( x ) 在 ( ? ? , ? 1) 上单调递增,在 (3, ? ? ) 上单调递减.
?2a? ? 3 ? 由 A ? ( A ? B ) 知 A ? B ,所以 ? 3 a ? 5 ? 2 2 ,解得 6 ? a ? 9 . ?3a ? 5 ? 2 a ? 1 ?
2

3,B

4,A 令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? ? 1 ,令 y ? ? x ,得 f ( x ) ? 3 x ? 1 ,所以 f (3) ? 26 . 5,A
f (1) ? ? 3 2

, f ( ? 1) ? ?

3 2

.有 f (1) ? f ( ? 1)
2
2 2 2 3 2

6,D 由 (1 ? kx ) 1 ? x ? 1 ,得 (1 ? x )(1 ? kx ) ? 1 ,于是 k x ? 2 kx ? 1 ? k x ? 2 kx ? x ? 1 , 又 x ? [0,1] ,有 k x ? ( k ? 2 k ) x ? 1 ? 2 k ? 0 ,得 k ?
2 2 2

1 2

.

5



1 1? x

? 1 ? lx ,得

1 1? x

? 1 ? 2 lx ? l x ,有 l x ? ( l ? 2 l ) x ? 1 ? 2 l ? 0 ,
2 2

2

2

2

x ? [0,1] ? l ?

1 2? 2

.

7, f ( x ) ? ? 13 x ? 143 或 f ( x ) ? ? x ? 23 .

由题意得 1 0 q ? 1 3 p ? p q ,

有 ( p ? 1 0 )( q ? 1 3) ? 1 3 0 . p 只能是 11,23. 当 p ? 11 时, q =143; 当 p ? 23 时, q ? 23.
1 ? 1 ? a ,当 a ? ? ? 2 8, ? . 1 ?a, 当 a ? ? ? 2

数形结合,分类讨论.

9, { x 0 ? x ?

?3 ? 3 17 2

}.

? x ( x ? 3) ? 6 ? 由 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 f (6 ) 及单调性,知 f ( x ( x ? 3) ? f (6)) ? f (6) ,得 ? . 6 x ?x ? 0 ?

1

10,

1 5

.

1 ? x ? y ? z ? t ? 100 ,

x y

?

z t

要最小,则 x ? 1, t ? 100 , y 尽量大, z 尽量小,

于是 y ? x ,得

1 y

?

y 100

? 2

1 100

?

1 5

,这时 x ? 1, x ? y ? 10, t ? 100 .

11, ? 4 ? a ? ? 1 .

1? x 2 可得 A ? { x 1 ? x ? 3} ,设 f ( x ) ? 2 ? a , g ( x ) ? x ? 2( a ? 7 ) x ? 5

要使 A ? B ,只需 f ( x ) , g ( x ) 在(1,3)上的图象均在 x 轴的下方,则 f (1) ? 0 , f (3) ? 0 ,
g (1) ? 0 , g (3) ? 0 ,由此可解得结果.

12, a ? ? 2 .

原不等式可化为 (co s x ?
a ?1 2

a ?1 2

) ? a ?
2 2

( a ? 1) 4

2

,
a ?1 2

由 ? 1 ? cos x ? 1 , a ? 0 ,
a ?1 2
2

? 0 知当 cos x ? 1 时,函数 y ? (co s x ?
a ?1 2 ( a ? 1) 4
2

)

2

有最大值 (1 ?

) ,于是 (1 ?
2

) ? a ?
2 2

,解得 a ? ? 2 或 a ? 1 (舍去).

13,解: f ( x ) ? ( x ? a ) ? a ? a ,对称轴是 x ? a .
2

6

(1)当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是减函数, 有 ?
? f (a ) ? ?2 ? f ( ? 1) ? 2

? f ( ? 1) ? 2 ? f (1) ? ? 2

,得 a ? ? ;

(2)当 0 ? a ? 1 时,有 ?

,得 a ? ? ;

(3)当 ? 1 ? a ? 0 时,有 ?

? f (a ) ? ?2 ? f (1) ? 2

,得 a ? ? 1 ;
? f ( ? 1) ? ? 2 ? f (1) ? 2

(4)当 a ? ? 1 时, f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是增函数,有 ?

,得 a ? ? .

于是存在 a ? ? 1 ,使 f ( x ) 的定义域为 [ ? 1,1] ,值域为 [ ? 2, 2] . 14,解:由 f ( x ? 4) ? f (2 ? x ) , x ? R ,可知二次函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ? 1 , 又由(3)知,二次函数 f ( x ) 的开口向上,即 a ? 0 , 于是可设 f ( x ) ? a ( x ? 1)
2

(a ? 0 )
1?1 2 ) ? 1 ,所以 f (1) ? 1 ,
2

由(1)知 f (1) ? 1 ,由(2)知 f (1) ? ( 得 1 ? a (1 ? 1) ,有 a ?
2

1 4

,
2

所以得 f ( x ) ? 因为 f ( x ) ?
1 4

1 4

( x ? 1) .
2

( x ? 1) 的图象开口向上,而 y ? f ( x ? t ) 的图象是由 y ? f ( x ) 的图象平移

t 个单位得到.要在区间 [1, m ] 上,使得 y ? f ( x ? t ) 的图象在 y ? x 的图象的下方,且 m

最大,则 1 和 m 应当是关于 x 的方程
1 4 ( x ? t ? 1) ? x
2



的两个根 令 x ? 1 代入方程①,得 t ? 0 或 t ? ? 4 . 当 t ? 0 时,方程①的解为 x1 ? x 2 ? 1 ,这与 m ? 1 矛盾! 当 t ? ? 4 时,方程①的解为 x1 ? 1, x 2 ? 9 ,所以 m ? 9 . 又当 t ? ? 4 时,对任意 x ? [1, 9] ,恒有
( x ? 1)( x ? 9 ) ? 0 ,即

1 4

( x ? 4 ? 1) ? x
2

也就是 f ( x ? 4 ) ? x ,
7

所以, m 的最大值为 9. 15,解:由对称性,不妨设 x ? y ? z ,则
1 x 1 x 1 x 1 y 1 z 4 5
15 4

?

1 y

?

1 z

,



?

?

?

?

,得 x ?

.

又 x 是正整数,所以 x ? 1 或 2 或 3. (1)若 x ? 1 ,
1 y 2 y ? 1 z 1 y ? ? 1 5 1 z 4 5 1 2 3 10
20 3

无正整数解,

(2)若 x ? 2 ,则

?

?

?

?

?

,得 y ?

,

y 是正整数,且 y ? 2 ,于是 y ? 3, 4, 5, 6 .

当 y ? 3 时, z ? ? 3 0 (舍去);当 y ? 4 时, z ? 20 ;当 y ? 5 时, z ? 1 0 ;当 y ? 6 , z ? 7 .5 (舍去).
2 y 1 y 1 z 4 5 1 3 7 15
30 7

(3)若 x ? 3 ,则

?

?

?

?

?

,得 y ?

,

y 是正整数,且 y ? 3 ,于是 y ? 3 或 4,

经检验,这时方程无正整数解, 所以原方程的正整数解为 ( x , y , z ) ? (2, 4, 20) 或(2,5,10).

[参考题]:
k 是实数, f ( x ) ?

x ? kx ? 1
4 2

x ? x ?1
4 2

,对任意三个实数 a , b , c , 存在一个以 f ( a ), f ( b ), f ( c ) 为
1 2 ? k ? 4)

三边长的三角形,求 k 的取值范围.(答案: ?

8


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