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高考题历年三角函数题型总结


高考题历年三角函数题型总结
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第 几象限,则称 ? 为第几象限角.
y P T v O M A x

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ?

360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半 n
*

轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?
l . r

? 终边所落 n

? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

C ? 2r ? l , 8、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , 则l ? r ? ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正.

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

-1-

11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

? sin
? 2?

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; 1 ? tan2 ? ? sec 2 ? ; 1 ? cot2 ? ? csc 2 ?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

(3) tan ? ? cot ? ? 1 ; cos ? ? sec ? ? 1 ; sin ? ? csc ? ? 1 13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:奇变偶不变,符号看象限. 重要公式
⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? .

-2-

⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

公式的变形:

tan? ? tan? ? tan( ? ? ? ) ? ?1 ? tan? tan? ? ,

cos

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ; tan ? ? ? ? 2 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?
? . ?

辅助角公式

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

万能公式 万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形:
sin ? ? 2 tan

?
2 ?

2 , cos? ? 2

1 ? tan2 1 ? tan

?
2 , tan? ? 2

2 tan

?
2

1 ? tan

2 ?

1 ? tan2

?
2

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再 将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; (横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍 y ? sin?? x ? ? ? 的图象; (横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? B ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则
1 1 ? ? ymax ? y min? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: ??
-3-



函 质



y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

最值

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性
2? 奇函数

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2? 偶函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴 x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? 对称中心 ? ? 2 ?

无对称轴

三角函数题型分类总结
一.求值 1、 sin 330? = 2、 (1)(07 全国Ⅰ)
tan 690 ° =

sin585o =
12 ,则 sin ? ? 13
.

? 是第四象限角, cos ? ?

(2) (09 北京文)若 sin ? ? ?

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5
-4-

(3) (09 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? (4)

12 ,则 cos A ? 5 cos(

.

? 是第三象限角, sin(? ? ? ) ?

1 ,则 cos? = 2

5? ??)= 2
. .

3、(1) (07 陕西) 已知 sin ? ?

5 , 则 sin 4 ? ? cos4 ? = 5
3 ? ,则 2 cos(? ? ) = 5 4

(2)(04 全国文)设 ? ? (0, ) ,若 sin ? ?

?

2

(3) (06 福建)已知 ? ? (

?

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) = 2 5 4
3 的是( 2

4(07 重庆)下列各式中,值为

)

(A) 2sin15? cos15? (B) cos 2 15? ? sin2 15? (C) 2 sin2 15? ? 1 (D) sin2 15? ? cos 2 15? 5. (1)(07 福建) sin15 cos 75 ? cos15 sin105 = (2)(06 陕西) cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 =
o o o o

。 。

(3) sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? 6.(1) 若 sinθ +cosθ =

? 3 (2)已知 sin( ? x) ? ,则 sin 2 x 的值为 4 5
(3) 若 tan ? ? 2 ,则

1 ,则 sin 2θ = 5

sin ? ? cos ? = sin ? ? cos ?

, ? 2) ,则 cos? = 7. (08 北京)若角 ? 的终边经过点 P(1
8. (07 浙江)已知 cos(

tan 2? =

?
2

? ?) ?

? 3 ,且 | ? |? ,则 tan ? = 2 2

9.若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? = ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
( B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0 0 0 0

10.(09 重庆文)下列关系式中正确的是 A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0



C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

3 2 2 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 2 5 7 16 9 7 A. B. ? C. D. ? 25 25 25 25 12 ? ? 12.已知 sinθ =- ,θ ∈(- ,0) ,则 cos(θ - )的值为 13 2 4
11.已知 cos( ? ?

?

)?









-5-

7 2 7 2 B. 26 26 13.已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30
A.- A.1 B.

C.-

17 2 26

D.

17 2 26
( )

3 2

C.0

D.-1 ( )

14.已知 sinx-siny= - A.

2 2 ,cosx-cosy= ,且 x,y 为锐角,则 tan(x-y)的值是 3 3

2 14 2 14 2 14 B. - C.± 5 5 5 15.已知 tan160o=a,则 sin2000o 的值是 a a 1 A. B.- C. 2 2 1+a 1+a 1+a2

D. ?

5 14 28

( 1 D.- 1+ a2

)

16. ? tan x ? cot x ? cos x ?
2

( ) (B) sin x (C) cos x (D) cot x ( )

(A) tan x

17.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是: (A) ?

?? ? ? , ? ?3 2?

(B) ?

?? ? ,? ? ?3 ?

(C) ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

(D) ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?
( )

18.已知 cos(α -

π 4 7π 3 , 则 sin(α ? )的值是 )+sinα = 6 5 6
(B)

(A)-

2 3 5

2 3 5

(C)-

4 5

(D)

4 5
( )

19.若 cosa ? 2 sin a ? ? 5, 则 tan a = (A)

1 2

(B)2

(C) ?

1 2

(D) ? 2

20.

3 ? sin 700 = 2 ? cos 2 100
A.





1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

二.最值 1.(09 福建)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是= 2.①(08 全国二) .函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为 ? ②(08 上海)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 ③(09 江西)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? 3.(08 海南)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值为 。 。

?
2

,则 f ( x) 的最大值为 最大值为 。

-6-

4.(09 上海)函数 y ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是 5. (06 年福建)已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? 6.(08 辽宁)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ?

.

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于 , ? 3 4? ?


? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x

? 7.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 8.将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像向右平移了 n 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 n 的最小正值是 A.

7π 6

B.

π 3

C.

π 6

D.

π 2


9.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为( A.1 10.函数 y=sin( A. ?
4

B. 2

C. 3

D.2 ( )

? x+θ 2

)cos( B. ?
2

? x+θ 2

)在 x=2 时有最大值,则θ 的一个值是 C. 2?
3

D. 3?
4

11.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x 在区间 ? A.1 B.

?? ? ? 上的最大值是 , ?4 2? ?
D.1+ 3

(

)

1? 3 2

C.

3 2

12.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。

三.单调性 1.(04 天津)函数 y ? 2 sin( A. [0,

?
6
,

? 2x) ( x ?[0, ? ]) 为增函数的区间是
]
C. [ ,



).

?
3

]

B. [

? 7?

? 5?
3 6

12 12

]

D. [

5? ,? ] 6
( )

2.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是 A. ? ? , ?

? ? ?? ? ? ??

B. ? , ?

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ?
( D. [ ? )

3.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是 A. [ ?? , ?

5? ] 6

B. [ ?

5? ? ,? ] 6 6

C. [ ?

?
3

, 0]

?
6

, 0]
( )

4. (07 天津卷) 设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R) ,则 f ( x) 3?
-7-

A.在区间 ?

? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6? ?
?? ?? ? ?

B.在区间 ? ??, ?

? ?

?? 上是减函数 2? ?

C.在区间 ? , ? 上是增函数 3 4 5.函数 y ? 2cos2 x 的一个单调增区间是 A. ( ?

D.在区间 ? , ? 上是减函数 3 6 ( C. ( )

? ? 5? ? ? ?

? ?

6.若函数 f(x)同时具有以下两个性质:①f(x)是偶函数,②对任意实数 x,都有 f( ? ? x )= f( ? ? x ),则 f(x)的解析式
4
4

, ) 4 4

B. (0,

?
2

)

? 3?
4 , 4

)

D. (

?
2

,? )

可以是 A.f(x)=cosx 四.周期性 1. (07 江苏卷)下列函数中,周期为 A. y ? sin B.f(x)=cos(2x ?





?
2

)

C.f(x)=sin(4x ?

?
2

)

D.f(x) =cos6x

? 的是 2
C. y ? cos





x 2

B. y ? sin 2 x

x 4

D. y ? cos 4 x

2.(08 江苏) f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?

x ). 2 4.(1) (04 北京)函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是
3.(04 全国)函数 y ?| sin | 的最小正周期是(
2

. ).

(2) (04 江苏)函数 y ? 2 cos x ? 1 ( x ? R) 的最小正周期为( 5.(1)函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 (2)(09 江西文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 (3). (08 广东)函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x 的最小正周期是

. . ( )

(4)(04 年北京卷.理 9)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是 6.(09 年广东文)函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为
2

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2
. )

7.(浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x) ? 1 的最小正周期是

x 1 8.函数 f ( x) ? ? cos2 wx (w ? 0) 的周期与函数 g ( x) ? tan 的周期相等,则 w 等于( 2 3 1 1 (A)2 (B)1 (C) ( D) 2 4 五.对称性
-8-

1.(08 安徽)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是

( D. x ?



?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

?
12
( )

2.下列函数中,图象关于直线 x ? A y ? sin( 2 x ?

?
3

对称的是

?
3

)

B y ? sin( 2 x ?

?
6

)

C y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D y ? sin(

x ? ? ) 2 6
( )

3. (07 福建)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象 3?
π 对称 4 π 对称 3

A.关于点 ? , 0 ? 对称

?π ?3

? ?

B.关于直线 x ?

C.关于点 ? , 0 ? 对称

?π ?4

? ?

D.关于直线 x ?

4.(09 全国)如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 ( 3



5.已知函数 y=2sinwx 的图象与直线 y+2=0 的相邻两个公共点之间的距离为 A.3 B.

2? ,则 w 的值为( 3



3 2

C.

2 3

D.

1 3

六.图象平移与变换 1.(08 福建)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移

2.(08 天津)把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 横坐标缩短到原来的

? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式为 2 ?
3

个单位长度,再把所得图象上所有点的

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4 ? 4.(09 湖南)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? ) 的图象,则 ? 等于 6 ? 5.要得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,需将函数 y ? sin 2 x 的图象向 平移 个单位 4
3.(09 山东)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 6(1) (07 山东)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? 平移 个单位

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2

? ?

?? ? 的图象向 ??

(2) (全国一 8)为得到函数 y ? cos ? 2 x ? 向 平移 个单位

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 3?

-9-

(3)为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 个单位长度

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向

平移

7.(2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移
( )

| ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是
A

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

8.将函数 y = 3 cos x-sin x 的图象向左平移 m(m > 0)个单位,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小正 值是 (D ) 2? 5? ? ? A. B. C. D. 6 3 3 6 9.函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后, 得到函数 y=-f′(x)的图象, 则 m 的值可以为 ( )

? A. 2
10.若函数 y=sin(x+ A. (-

B. ?

C.- ?

D.-

? 3

? 3

? 2
( )

)+2 的图象按向量 a 平移后得到函数 y=sinx 的图象,则 a 等于 B. (

,-2)

? 3

,2)

C. (-

11.将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移 则 f(x)是 A.cosx B.2cosx

? 2 个单位,再作关于 x 轴的对称曲线,得到函数 y=1-2sin x 的图象, 4
( ) D.2sinx

? 3

,2)

D. (

? 3

,-2)

C.Sinx

12.若函数 y ? 2 sin?x ? ? ? 的图象按向量 ( A.

?
6

, 2) 平移后,它的一条对称轴是 x ?

?
4

,则 ? 的一个可能的值是

? ? ? C. D. 3 6 12 ? ? 13.将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 ( ? , 0) 中心对称,则向量 ? 的坐标可能为 3 12 ? ? ? ? A. ( ? , 0) B. ( ? , 0) C. ( , 0) D. ( , 0) 12 6 12 6 ? ? 14. (湖北) 将函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图象 F 按向量 ( ,3) 平移得到图象 F? ,若 F? 的一条对称轴是直线 x ? ,则 ?
5? 12
B.

3

4

的一个可能取值是 A.

( B. ?

)

5 ? 12

5 ? 12

C.

11 ? 12

D. ?

11 ? 12

七.图象 1. (07 宁夏、海南卷)函数 y ? sin ? 2 x ?

y
? ? 3

? ?

1
? 6

π? ?π ? ? 在区间 ? ,π ? 的简图是 3? ?2 ? y 1
? ? ?? O 3 2 ? 6





? ? 2

O

?

x

? x

?1

? -1 10 y

A.

B.

y

2(浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( (A)0 (B)1 (C)2

1 x 3? ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的交点个数是 2 2 2
(D)4 ( )

3.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:那么ω = A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3

4. (2006 年四川卷)下列函数中,图象的一部分如右图所示的是

( )

?? ? ? 6? ? ?? ? (C) y ? cos ? 4 x ? ? 3? ?
(A) y ? sin ? x ?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

5.(2009 江苏卷)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭 区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

6.(2009 宁夏海南卷文)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则

? 7? f? ? 12

? ?? ?



π 5π? 7.(2010· 天津)下图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间? ?-6, 6 ?上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将 y =sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )

- 11 -

π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 π? π? ? 8.(2010· 全国Ⅱ)为了得到函数 y=sin? ?2x-3?的图象,只需把函数 y=sin?2x+6?的图象 π A.向左平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π B.向右平移 个长度单位 4 π D.向右平移 个长度单位 2 ( ) ( )

π? 9.(2010· 重庆)已知函数 y=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示,则

π A.ω=1,φ= 6 π C.ω=2,φ= 6

π B.ω=1,φ=- 6 π D.ω=2,φ=- 6 ( )

π? ? π? 10.已知函数 y=sin? ?x-12?cos?x-12?,则下列判断正确的是 π ? A.此函数的最小正周期为 2π,其图象的一个对称中心是? ?12,0? π ? B.此函数的最小正周期为 π,其图象的一个对称中心是? ?12,0? π ? C.此函数的最小正周期为 2π,其图象的一个对称中心是? ?6,0?
- 12 -

π ? D.此函数的最小正周期为 π,其图象的一个对称中心是? ?6,0? π 11.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,则实数 a 的值为 8 A. 2 B.- 2 C.1 D.-1 ( )

π? ? π? 12.(2010· 福建)已知函数 f(x)=3sin? ?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同.若 x∈?0,2?, 则 f(x)的取值范围是________. 1 13. 设函数 y=cos πx 的图象位于 y 轴右侧所有的对称中心从左依次为 A1, A2, …, An, ….则 A50 的坐标是________. 2 π? 14.把函数 y=cos? ?x+3?的图象向左平移 m 个单位(m>0),所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是________. 15.定义集合 A,B 的积 A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}.已知集合 M={x|0≤x≤2π},N={y|cosx≤y≤1},则 M×N 所对应的图形的面积为________.

16.若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数解 x1、x2,求 a 的取值范围,并求 x1+x2 的值.

π 1? 17.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R 的最大值是 1,其图象经过点 M? ?3,2?. (1)求 f(x)的解析式; π? 3 12 (2)已知 α,β∈? ?0,2?,且 f(α)=5,f(β)=13,求 f(α-β)的值.

π π 1 1 1 +φ?(0<φ<π),其图象过点? , ?. 18.(2010· 山东)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin? ? ?6 2? 2 2 ?2 (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 2

?0,π?上的最大值和最小值. ? 4?
- 13 -

八.解三角形
o 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ?

2.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 2 cos A

, AC 的取值范围为

.

3.(09 福建) 已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为

a?b?c 等于 sin A ? sin B ? sin C 5.已知△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 7 ,则 cos C 的值为
? 4、在△ABC 中, A ? 60 , b ? 1, 面积是 3 , 则



6.设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

3 c. 5

7.在 △ ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值;

5 4 , cos C ? . 13 5 33 ,求 BC 的长. 2

(Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ?

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c , a ? 2 3 , tan
- 14 -

A? B C ? tan ? 4, 2 2

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

9.设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求: (Ⅰ)

a 的值; c

(Ⅱ)cotB +cot C 的值.

10.已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

11.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

九..综合 1. (04 年天津)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当 x ? [0,

?
2

]

- 15 -

时, f ( x) ? sin x ,则 f (

5? ) 的值为 3
? ?
( )

2.(04 年广东)函数 f(x) f(x) 是 ? sin 2 (x ? ) ? sin 2 (x ? ) 4 4 A.周期为 ? 的偶函数 B.周期为 ? 的奇函数 C. 周期为 2 ? 的偶函数 D..周期为 2 ? 的奇函数 3. ( 09 四川)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 4.(07 安徽卷) 函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ①图象 C 关于直线 x ?

?

2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

(

)

? ]上是增函数 2

?
3

) 的图象为 C, 如下结论中正确的是

11 2? ? 对称; ②图象 C 关于点 ( ,0) 对称; 12 3 ? 5? ③函数 f ( x)在区间 (? , )内是增函数; 12 12
④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

? 个单位长度可以得到图象 C. 3
( )

5.(08 广东卷)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x) 是 A、最小正周期为 ? 的奇函数 B、最小正周期为

? 的奇函数 2 ? C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数 2 1 x 3? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的交点个数是 C 6.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( ? 2 2 2
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4 ( ) 7.若α 是第三象限角,且 cos A.第一象限角 C.第三象限角

? 2

<0,则

? 是 2
?
? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) 等于 6 6 6

B.第二象限角 D.第四象限角

8.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A、2 或 0 B、 ?2 或 2 C、0 D、 ?2 或 0

?

?





十.解答题 1. (05 福建文)已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;

- 16 -

(Ⅱ)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

2(06 福建文)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x, x ? R. (I)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (II)函数 f ( x) 的图象可以由函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到?

3. (2006 年辽宁卷)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求: (I) 函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II) 函数 f ( x) 的单调增区间.

4.(07 福建文)在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 边的长.

5. (08 福建文)已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m n ? 0. (Ⅰ)求 tanA 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ?R)的值域.

6.(2009 福建卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4
- 17 -

? 2

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的解析式; 3

并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

7.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值;

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

8.知函数 f ( x) ? 2cos (Ⅰ)求 ? 的值;

2

? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? . 2

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

9.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

, ] 上的值域 12 2

? ?

- 18 -

10.已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称 轴间的距离为 (Ⅰ求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍,纵坐标 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

11.已知向量 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cosx, cos x) ,记函数 f ( x) ? a ? b 。 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并求此时 x 的值。

?

?

? ?

12 (04 年重庆卷.文理 17) 求函数 y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 4 x 的最小正周期和最小值; 并写出该函数在 [0, ? ] 的单调递增区间.

13.(2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

- 19 -

14.(2009 陕西卷文) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

15.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

16.(08 全国二 17)在 △ ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

5 3 , cos B ? . 13 5

- 20 -


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