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2006年高考第一轮复习数学:2.4 函数的奇偶性


2.4 函数的奇偶性 ●知识梳理 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) 〔或 f(x) + f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数 f( x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- x) =f( x) 〔或 f( x) - f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数 的必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0. (4)奇函数的反函数也为奇函数. (5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶 函数之和. ●点击双基 1.下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关 于 y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是 奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)=0〔x∈(-a,a) 〕. 答案:A 2.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,有 g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数. 答案:A 3.若偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角,且 α ≠β ,则下列不等式中正确的是 A.f(cosα )>f(cosβ ) B.f(sinα )>f(cosβ ) C.f(sinα )>f(sinβ ) D.f(cosα )>f(sinβ ) 解析:∵偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,∴f(x)在区间[0,1]上为增 函数.由α 、β 是锐角三角形的两个内角, ∴α +β >90°,α >90°-β .1>sinα >cosβ >0. ∴f(sinα )>f(cosβ ). 答案:B 4.已知 ( f x) =ax2+bx+3a+b 是偶函数, 且其定义域为 [a-1, 2a] , 则 a=___________, b=___________. 解析:定义域应关于原点对称, 故有 a-1=-2a,得 a= 1 . 3 又对于所给解析式,要使 f(-x)=f(x)恒成立,应 b=0. 答案: 1 3 0 5.给定函数:①y= 1 (x≠0) ;②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+ x 2 ? 1 ). x 在 这 五 个 函 数 中 , 奇 函 数 是 _________ , 偶 函 数 是 _________ , 非 奇 非 偶 函 数 是 __________. 答案:①⑤ ② ③④ ●典例剖析 【例 1】 已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2) C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0) 剖析:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)在[-2,0]上单调递减. ∵y=f(x)是偶函数, ∴f(x)在[0,2]上单调递增. 又 f(-1

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