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8.4.1圆的标准方程教案


【教学目标】
知识目标: 1 了解圆的定义;2 理解用解析法推导圆的标准方程的过程 3 掌握圆的标准方程:会根据圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标;能根据条件写出圆的标准方程; 能力目标: 1 培养学生用代数方法研究几何问题的能力; 2 培养学生的数形结合思想的思维习惯; 3 注意培养学生观察问题、发现问题、解决问题的能力. 情感目标: 1 培养学生主动探究知识、合作交流的意识; 2 学习中感受学习乐趣,体验成功。 3 培养学生勇于发现,探索求知的精神。

【教学重点】
圆的标准方程求法及其应用.

【教学难点】
会根据不同的已知条件求圆的标准方程;

【教具准备】 多媒体课件 【教学过程】
<温故知新,启发导入>

导学提纲

问题 1 你是如何使用圆规画圆? 将圆规的两只脚张开一定的角度后, 把其中一只脚放在固定点 O,另一只 脚紧贴点所在平面上,然后转动圆规一周 (圆规的两只脚张开的角度不变) ,画出的图形就是圆. 问题 2 不以规矩,无以成方圆。没有规,你能画圆吗? 让学生举例:比如 1 在纸中心固定一个钉子, 然后绑一根线,在线的那头绑只笔来画。 2 比着圆形器物的边缘画,如瓶盖,硬币等。 3 用右手小指作为圆心,用手绕着圆心画圆 4 电脑上画圆的工具,绘图软件,常用的一种工具,画好后打印出来。 5 先画十字坐标,以十字坐标的交点为圆心,定好上下左右的半径, 画出正方形。采用切 割法,先把正方形切成正八边形,再切成正十六边形,正 32 边形得近似圆 问题 3 古时墨子说:圆,一中同长也.圆的定义是什么? 圆的定义:在平面内,到某个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 (其中定点叫做圆心,定长叫做半径) 问题 4 如何确定圆的方程?(要确定圆关键是什么?) 由圆的定义,运用坐标法求出圆的方程。其中圆心和圆上一动点到圆心的距离是关键。

<深入探究,获得新知>

1、思考:如何由圆的定义,运用坐标法建立圆的方程? 圆的标准方程的推导过程
如图,设 M(x,y)是圆上任意一点, 根据定义点 M(x,y)到圆心 C(a,b)的距离等于 r,则|MC|= r 。 由两点间的距离公式 ︱MC︱= ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 得

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

把上式两边平方,得 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 这种通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,达到数形结合的方法称为解析法 (也称坐标法)

2、圆的标准方程:满足条件 r >0

y r C(a,b) 0 x
y r 0C M(x,y) x

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ( 其中圆心 C(a, b), 半径 r )

M(x,y)

x2 ? y2 ? r 2 ( 其中圆心 C 在原点 (0,0) , 半径 r )

3、确定圆的标准方程的条件
由圆的标准方程知有三个参数 a、b、r, 只要求出 a、b、r,这时圆的方程就被确定. 因此,确定圆的方程,需三个独立的条件,(圆心是圆的定位条件,半径是圆的定型条件) <例题变形,巩固新知> 圆的标准方程的运用 运用一:已知圆心和半径,求圆的标准方程

运用二:已知圆的标准方程,求圆心和半径

例 1 求以点 C (?2,0) 为圆心, r ? 3 为半径的圆的标准方程. 解 因为 a ? ?2, b ? 0, r ? 3 , 故所求圆的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 . 改 例 1 为 . 求 以 点 C(-1, 6)为 圆 心 , 半 径 为 3 的 圆 的 标 准 方 程 。 则 例 1 中 的 解 法 如 何 修 改 ? (由 学 生 完 成 ) 例 2、 根 据 圆 的 方 程 写 出 圆 心 和 半 径 解: 原方程可化为
2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5

( x ? 2)2 ? ? y ? (?1)? ? ( 5)2 ,

则 a ? 2, b ? ?1,

r? 5,

所以,圆心的坐标为 C (2, ?1) ,半径为 r ? 5 . 方法总结:在圆 的 方 程 中,圆心坐标是取方程中 x 项和 y 项后的相反数,圆的半径是取等号后面数值 的开方数

<运用知识,强化训练> 分“辨、认、巩、探”四块训练

“辨”
说出下列方程是否是圆的标准方程,若是,说出圆心坐标和半径。
2 2 (1) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 3 (2) ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 0 (3) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? ?1 只有第 ( 1) 题是圆的标准方程 , 圆心为 C (1,2),半径r ? 3 -

“认”
1.根据下面条件,求出圆的标准方程,并画出图形. (1)圆心 C (?1, 2) ,半径 r ? 2 ;
(2)圆心 C (0, ?3) ,半径 r ? 3 . 2.根据下列圆的标准方程,分别求出圆心的坐标与半径,并画出图形.

(1) ( x - 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9

(2) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 2

(3) x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

“巩”
圆的定义 平面内与定点距离等于定长 的点的轨迹 (集合) 用集合表示圆 圆的方程

?M

MC ? r

?

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

M C
C

M

y C O x
圆 心 (a ,b), 半 径 r

“探”
求圆心在点 C(- 3,- 4) ,半径是 1 的圆的方程?并判断点 M(1,-2)是否在圆上。

分析:先求出圆的标准方程,再选两种不同方法
方法 1:用几何方法 如图,

若 MC ? r,则M不在圆上 若 MC ? r,则M在圆上
M3

M1

方法 2:用代数方法 把点 M(1,-2)代入方程 若满足方程式,则点 M 在圆上。若不满足方程式,则点 M 不在圆上 <激发新疑,课程延伸>

M2

延伸 1 把圆的标准方程展开后是什么形式方程?此方程有什么特点? 分析:比如 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 展开后 延伸 2 求以点 (?2,5) 为圆心,并且过点 (3, ?7) 的圆的标准方程 分析:三个字母系数 a, b, r 中,缺半径 r 。由练习中“探”可得圆上一点到圆心的距离= 半径 r

<理论升华和总结> 几何问题 1、 几何对象的性质,位置关系 2、 建立直角坐标系 设动点 P(x,y) 代数问题的解 根据题意找等式 列方程并化简 代数问题

<继续探索,活动探究> 1、读书部分:阅读教材 8.4.2 和 8.4.3 相关内容 2、书面作业:习题 8.2 A 1(1)(2)(3),2(1) 3、贴近生活 目标检测:圆在生活中的应用

如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆拱跨度 AB=20m,拱高 OP=4m,在建造时每隔 4m需要用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度(精确到 0.01m).

P2

y P x

A

A1

A2 O

A3

A4

B

【努力达到的方向】 1、通过指导落实学案,使学生在“做”中学,这不仅有利于课上有意注意的保持,而且方便 学生在课后及时复习,写出反思,并结合“课堂评价表”,共同作为对学生进行多元评价的依 据。 2、力求将全班学习、小组讨论和个人独立研究三者有机结合,给学生以思考、讲解和展示 的机会。 3、本节课是圆的第一次课,注重将本节课与后几次课进行衔接和拓展 4、让学生体会数学源于生活,贴近生活。 【教学效果反思】 1. 采用竞赛形式使得学习过程更具趣味性,能激发学生的学习热情。 2、采用小组学习法,组内强弱搭配,组的每位学生的能力得到均衡,培养学生的协作意识 和参与意识,使学生参与课堂的主动性都有所增强。 3.运用多媒体的动画效果让学生更好地理解圆的定义和推导方程过程,突破了难点 。 4. 本节课我贴近生活, 让学生感受数学源于生活, 但是没能做到将数学教学与专业相结合。


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