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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,学科网只有一项是符合题目要求 的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} ) D. {1,2} )

r />
2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,zxxk z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. -5 B. 5 C. - 4+ i ) D. 5 ) D. 1 D. - 4 - i

3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 B. 2 C. 3

4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

A. 5

B.

5

C. 2

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良学科网的概率是 0.75,连续两为优良的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底 面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3


7.执行右图程序框图, 如果输入的 x,t 均为 2, 则输出的 S=( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2



10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. ) D. 9

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 B. 2 C.

10

5

30 10

D.

2 2

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? 则 m 的取值范围是 ( ? f ? x0 ? ? ? ?m , m 2



A.

? ??, ?6? ? ? 6, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??
第Ⅱ卷

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ? ?

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,学科网每个试题考生必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 15.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________. 16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元) 的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预 测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
?

b?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

20. (本小题满分 12 分)
2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, 直线 MF 1与C

a

b

的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a,b. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x zxxk (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)
交 E.

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 ? O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 ? O 相 于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 ? O 于点 证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2 23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? , ? ? ?0, ? ? .



? ?

? 2?

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确 定 D 的坐标.

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.


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