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平面向量的线性运算


——打造课外辅导第一品牌

尚师教育教师教案表
课 教 题 师 平面向量的线性运算 年 李老师 月 日 星期 _______ 学生签名 _____时______分------______时_______分 年级 九年级 学科 数学 授 课 时 间

作业完成情况 教学内容 教学目标 教学重点 教学难点 线性运算的意义,线性组合的概

念; 线性组合的简单应用. 画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量; 向量的线性组合与分解的的辩证关系. 线性运算的意义,线性组合的概念; 线性组合的简单应用. 线性运算的意义,线性组合的概念; 线性组合的简单应用. 新课内容

知识梳理 六、教学过程设计

(一)温故知新
复习:1.向量的加法和减法的运算方法是什么?怎么表示的?平行四边形法则是 怎么表示的? 2. 已知:向量
? a

? b
? ?

? ? a,b

求: (1) a ? b (2)

? ? a ?b

(二)探索新知
1.思考:已知 a ? a ? a
? 3a

,那么 a ? a ? a

?

?

?

?



几个相同的向量相加,是否能像几个相同的数相加一样呢?

例题 1 已知向量 a ,如何求(1) a ? a ? a
? a

?

?

?

?

学生动手画图验证猜测结论并归纳. 变式:(2)求
? ? ? (? a ) ? (? a ) ? (? a )

=?
-1-

——打造课外辅导第一品牌 2.归纳 我们规定向量的另一种新的运算,即实数与向量相乘的运算: 一般的, n 为正整数,a 为向量, 设 我们用 n a 表示 n 个 a 相加; ? n a 表示 n 个 ? a 用
n ? a 相加..又当 m 为正整数时, m n
? ?

表示与 a 同向且长度为 m

? a

的向量.

[说明] 例题 1 是根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳,体会实数与向 量相乘的几何表示,初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量.
? ? 5 ? a ,? 3a ,? 3 a , ,求作 2 并指出他们的长度和方向.

例题 2
? a

? 已知非零向量 a

例题 3 已知平行四边形 ABCD 中,E、F、G、H、分别是各边的中点 EG 与 FH 相交于点 O.设 .
E
? ? AD ? a , BA ? b

请用向量 a 或 b 表示向量 OE , OF ,并写出图中与向量 OE 相等的量
A H D

?

?

O

G

B F

C

[说明]本例题将平行四边形的性质与向量加法的平行四边法则结合运用. 例题 4 已知点 D、E 分别在 ? ABC 的边 AB 与 AC 上 DE∥BC,3AD=4DB,试 用向量 BC 表示向量 DE .
D A

[说明]本例题引导学生初步认识两个平行向量的代数表达形式
B

E C

-2-

——打造课外辅导第一品牌

(三)巩固练习
1、 k a 表示实数 k 与向量 a 相乘的运算,下列表示运算是否正确: (1) k a 表示为 k × a 或者 k · a ( (2) k a 表示 a
? ?
?

?

?

?

?

?



k



) )
? ?

(3) k a 表示 k a (
? 2、已知非零向量 a

?

,求作 4 a ,-2 a ,-

1 2

?

a

,并指出他们的长度和方向.
? ? ? a , DA ? b

3.如图,矩形 ABCD 中,E、M、F、N 是 AB、DC 的三等分点,设 AB
向量
? ? a,b

试用

表示向量 AE , AD ,并写出图中与 AE , DA 向相等的向量.
A E M B

(四)反思小结
1、这节课你学会了什么? 2、你还有什么疑惑吗?
例题 1 已经知非零向量 a ,求作 (1)
?

D

F

N

C

? ? 1 ? 3 ? 7 ? 1 ? a ? 3 a , ( 2 ) a ? 2 a , (3) a , ( 4 ) ? a 2 2 2 2

.

问题 1:观察、比较(1)与(3),(2)与(4)的结果,你有什么发现?

归纳: 同向的两个向量相加,和向量的方向取同向,长度取和; 反向的两个向量相加,和向量的方向同较长向量,长度取差(正) 相反向量的和向量为零向量. 问题 2:实数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,实数与向量相乘 有类似的运算律吗? 归纳: 一般地,如果 m , n 是非零实数, a 是非零向量,那么 ( m ? n ) a 这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律. 例题
? 2、如图,已经知非零向量 a
?

? m a ? na



? b 、


-3-

(1)等式

? ? ? ? ? 3 ( a ? b ) ? 3 a ? 3b

——打造课外辅导第一品牌 成立吗?作图验证所得的结论;
? ? k (a ? b )

(2)设实数 k ? 0
? a

指出对算式
? b

去括号的法则.

[说明]本题为了探讨实数与向量相乘对于向量加法的运算律而设计, 从特殊到一般 分层递进. 问题
? ? ? ? k ? 0 ,那么等式 k ( a ? b ) ? k a ? k b 3:若实数
?

还成立吗?
?

归纳:一般地,对于任意实数 k 和非零向量 a 、 b ,总有
? ? ? ? k (a ? b ) ? k a ? k b ,

这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律. 问题 4: 2 ( 3 a ) =?
? ? ( 2 ? 3) a

=? ( ? 2 )( ? 3 a ) =?
? 和非零向量 a

?

? ? ( ? 2) ? 3) a =?它们与 6 a (
? ? m ( n a ) ? ( mn ) a

有什么关系?

归纳:任意的非零实数

m, n

,总有

这是实数与向量相乘的结合律. 概括: 设 m , n 为实数,则 (1) m ( n a ) ? (2) ( m ? n ) a (3)
? ? ? ( mn ) a

; ; .

? ? ? ma ? ma

? ? ? ? m (a ? b ) ? m a ? nb

例题 3 计算
-4-

——打造课外辅导第一品牌 (1)
? ? 3( a ? 5b )



(2) (3)

?

? 3 ? 3 ? a ? (a ? b ) 2 2

; .

? ? ? ? ? ? ( a ? b ? 3 c ) ? 2 ( a ? 3b ? c )

(三)课堂练习
? 1 ? ? 1 ? 3 ? 2 ? 3( a ? b ? 2 c ) ? 8( a ? b ) ? 6 ? c 3 4 4 3 1、计算:

. ,试用向量
? ? a,b

2、如果向量

? ? ? a,b, x

满足关系式

? ? ? ? 3( a ? b ) ? 5 (b ? x )

表示向量 x .

?

3、计算下列各式: (1)、 5 ( a ? 2 b ) ;(2)、 ( a ? 2 b ) ?
? ?
? ?

1 2

?

a

;(3)、 ( a ? 2 b ?

?

?

?

c ) ? (2 a ? 3 c ) .

?

?

(四)、反思小结
1、这节课你学会了什么? 2、你还有什么疑惑吗?

(一) 新课引入
问题 设
? 1: (1)若 a

? ? b ? ma 是一个非零向量,

? ,那么向量 a

? b 与向量

有什么关系?(2)若

? ? AE ? a , BF ? b ,

则直线 BF 与直线 AE 有什么关系?
? b 与 ? ? b 同向, ?

答:(1)若 m

? 是正数,则 a

∥a ;
?

?

若 m 是负数,则 a 与 b 反向, b ∥ a ; (2)直线 BF 与直线 AE 重合或平行 .且 BF=∣ m ∣AE [说明]利用“实数与向量相乘”的意义来研究几何中的两直线平行及线段长度问题, 这是一种新思路 .
-5-

?

——打造课外辅导第一品牌

(二)探索新知
1

例题 1 如图,EF 是 ? ABC 的中位线,则如何证明 EF∥BC,且 EF= 2 BC
A

D B

E C

[说明]用向量方法证明三角形中位线只是为了激发学生学习向量的兴趣, 无须进一步 展开说明. 例题 2 梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 是梯形的中位线,AD=2,BC=3,设 AD 能将向量 BC , EF 用 a 表示出来吗?
E B
? ?
? ? a



A

D F C

问题 2:已知 a 是一个非零向量,如果 b ∥ a ,那么 b 能用 a 表示出来吗? 概括:1.平行向量定理:
? 如果向量 b

?

?

?

?

? ? ? a 平行,那么存在唯一的实数 m , 使 b ? m a . 与非零向量
? b ? ? m a

[说明]定理中

,关于 m 的符号,由 b 和 a 同向还是反向来确定
? .设 e

?

?

2.单位向量:我们把长度为 1 的向量叫做单位向量 任意非零向量 a ,与它同方向的单位向量记作 ,则
?
?

为单位向量,则

? e ?1

.对于

?

? a0

? ? ? ? 1 ? a ? a a0 , a0 ? ? a a

[说明]在实数中 1 和 0 是特殊的数;在向量中 e 和 0 是特殊的向量 .
-6-

——打造课外辅导第一品牌 例题 3 如果
? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 c , a ? b ? 3c

,那么

? ? a,b

是平行向量吗?

[说明]解这样的向量方程组的方法,与解二元一次方程组的方法类似 .

(三)巩固练习
1、设向量 a , b 且 2 ( a ? b ) ? 2、已知 a
? ? ?

?

?

?

?

?

?

a? b

,试判断向量
? ? a,b

? ? a,b

是否平行?

? 5 c,b ? ?

1 3

?

c

,试判断向量

是否同向或反向?

3、如图:梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 是梯形的中位线
A D F C

(1)化简: EA (2)化简: EA

? AD ? DF

, EB

? BC ? CF

E
? AD ? DF ? EB ? BC ? CF

B

(四)反思小结
1、这节课你学会了什么? 2、你还有什么疑惑吗?

(一) 新课导入
我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道,向量的 减法可以转化为加法运算;向量加法以及实数与向量相乘,有类似于实数加法和乘法 的运算律.这些运算还可以组合起来,如果没有括号,那么运算的顺序是先将实数与向 量相乘,再进行向量的加减.

(二)探索新知

例题 1 已知两个不平行的向量 a , b . 求作: 3 a ? 2 b , a ? 2 b .
-7-

——打造课外辅导第一品牌 解:略
?

a
?

b
D _ E _

B _ O _ A _ C _

例题 2 已知两个不平行的向量 a , b .
?

求作: ( a ? b ) ? (

7 2

a
a ? 2 b ).
?

b

揭示概念 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如
3a ? 2b

, a ? 2 b 、 3 ( a ? 5 b ) 等,都是向量的线性运算.
yb

如果 a , b . 是两个不平行的向量,x 、 y 是实数,那么 x a ? 两个不平行的向量,向量 OE
? 3 a ? 2 b , ,这时就说 OE

叫做 a , b . 线性组合.如 a , b .

可由 a , b . 的线性组合表示.
C

例题 3 如图,点 M 是△CAB 的边 AB 的中点.设 CA = a , CB ? b ,试用 a , b . 的线性组合表示向量 CM

A M

B

教学过程设计

(一) 复习引入
想一想
-8-

——打造课外辅导第一品牌 在图一中,任取一点 Z 作向量 OZ , 能用 a , b . 的线性组合表示 OZ , 吗?
? b
? a

图一

根据向量加法的意义,
? ?

? ? a?b ?

所得的和向量是向量
m

? a

与 b 的合成,如果
? c ?

?

a , b. 是

两个不平行的向量, c ? m a ? n b ( 成.用 向量
? c ? a , b . 的线性组合表示向量 c

、 n 是实数) ,那么向量
?

就是向量 m a 与 n b 的合
? ?

?

,也可以说是对向量 c 分解,这时,向量 m a 与 n b 是
? ? ? c

分别在 a , b . 方向上的分向量, m a ? n b 是向量

关于

a , b . 的分解式.

(二)探索新知
例题 4 如图二:已知平行四边形 ABCD,点 E、F 在边 AB 上,AE=EF=FB,点 P 是

边 AD 的中点;直线 EG、FH 都与 AD 平行,分别交 DC 于点 G、H;直线 PQ 与 AB 平行, 分别交 EG、FH、BC 于点 O、M、Q.设 OM
OD

? a , OG ? b

试用 a , b . 的线性组合表示向量:OC 、

、 OA 、 OB 、 OQ .
D P O A E F M B Q G H C

图二

解:略 「说明」如例题 4 中, 的分解式是 2 a ? b . 思考 给定两个不平行的向量 a , b . , 对于平面内任意一个向量 c , 都可以确定它关于 a , b . 的
-9-

??? ? OB

分别在

? a , b . 方向上的分向量是 2 a



? ?b



??? ? OB

关于

a , b.

?

?

?

——打造课外辅导第一品牌 分解式吗?

N

C

B 0 A

M
图三

如图三,在平面内取一点 O,作

??? ? ? OA ? a

,OB

??? ?

? ???? ? ? b ,OC ? c

;再作直线 OA、OB .

设点 C 不在直线 OA 和 OB 上, 过点 C 分别作直线 OA、 的平行线, OB 由于向量 a , b . 不平行,可知所作两直线分别与直线 OB、OA 有唯一的交点,记为 N、M. 作向量 O M 、
???? ON ???? ?

. 因为 O M 因为 O N
???? ???? ? ? / /a ? / /b

,所以存在唯一的实数

x
y

,使 ,使

???? ? ? OM ? xa
???? ? ON ? yb

; .

,所以存在唯一的实数

而四边形 OMCN 是平行四边形,因此 O C 即
? ? ? c ? xa ? yb

????

???? ???? ? ? ? ? OM ? ON ? xa ? yb

如果点 C 在直线 OA 或 OB 上,那么 c / / a , 或 c / / b .这时得
? ? ? ? c ? x a ? x a ? 0b ? ? ?

?

?

?

?

或c ?

?

? ? ? yb ? 0a ? yb

所以 c 关于 a 、 b 的分解式总是确定的. 「说明」由此可知,平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向 上分解.用上面的方法画图, 可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分 向量.

- 10 -

——打造课外辅导第一品牌 例题 5 和 p 、q
OB 求作: (1)向量 p 分别在 OA、 方向

如图四,已知向量 OA ; OB
?? p

B

? q

上的分向量;
OB (2)向量 q 分别在 OA、 方向上

O 图四 O

A

的分向量.

A

例题 6 如图五,已知平行四边形 ABCD,点 M、N 分别是边 DC、BC 的中点,射线 AM 与 BC 相交于点 E.设 AB
? a

, AD
E

? b

,分别求向量 AM 、 AN 、 AE 关于 a , b . 的分解式.

D

M C N

A

B

图五

(三)巩固练习
1.如图六,已知平行四边形 ABCD,点 M、N 是边 DC、BC 的中点,设 A B 别求向量 M N 、 B N 关于 a 、 b 的分解式.
???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? a

,A D

????

? ?b



- 11 -

——打造课外辅导第一品牌
D M C N B
图六
??? ? ?? OA ? a,

A

2. 如图七, 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 设 分别求向量 O C 、 O D 、 A B 、 B C 关于 a 、 b 的分解式.
D O A B C
???? ????
??? ?

??? ? ? OB ? b ,

????

?

?

图七

学习情况

课后作业

- 12 -


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