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2017届江西省新余市第一中学高三上学期调研考试(一)(开学考试)数学(理)试题(图片版,含解析)


高三调研考试(一) 理科数学参考答案
1.B 【解析】由题意可知 以

A?B ? A I (?R B) , A ? [?1, 2] ,B= (0, ??) ,故 ?R B ? (??,0] ,所

A?B ? A I (?R B) ? [?1,0] .
z? 1 a?i a 1 a 1 ? 2 ? 2 ? 2

i ( 2 , 2 ) a ? i a ? 1 a ? 1 a ? 1 ,其对应的点为 a ? 1 a ? 1 ,又该点位

2.D 【解析】

于直线 x ? 2 y ? 0 上,所以 a ? 2 ,

z?

2 1 1 ? i 5 5 ,其虚部为 5 .

3. A 【解析】依题意得 a ? 4 ? 2a ? 2 ? 0,? a ? 2 ,又 f ( x ) 为奇函数,故 b ? 2 ? 0 ,所以

b ? ?2 ,所以 f (a) ? f (b) ? f (?2) ? f (2) ? 0 .
4.B 【解析】由等比数列的性质可知
2 a2 ? a6 ? a4 ? 16 , 而 a2 , a4 , a6 同号 , 故 a4 ? 4 ,所以

a3a4a 5 ? a3 4 ? 64 .
5.C 【解析】 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,故 F (2,0) ,即 c ? 2 ,点 F 到一条
2 2

2

2

渐近线的距离为 b ,即 b ? 1 ,?a ?

c 2 ? b2 ? 3,? e ?

c 2 3 ? a 3 .

6.B 【解析】第一次, s=1,k=0, 进入循环 , 第一次循环后, s=2 ? 86 ,k=2, 第二次循环后, s=6 ? 86 ,k=4,第三次循环后,s=22 ? 86 ,k=6,第四次循环后,s=86,k=8,满足条件,应跳 出循环,所以判断框内应为“k>6”或“k>7” ,故选 B.
[来源:学#科#网

7.C【解析】分组的方案有 3、 4 和 2、 5 两类,第一类有

3 2 (C7 ?1) ? A2 ? 68 种;第二类有

2 2 2 (C7 ? C3 ) ? A2 ? 36 种,所以共有 N=68+36=104 种不同的方案.

? ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6 的图象向左平移 12 个单位得到 y ? 2sin 2 x 的图象,再 8.C 【解析】
将所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 g(x)=2sinx 的图象,所以函数 g(x)=2sinx 与
?

2 2sin xdx ? ?4cos x | ? 0 ?8 直线 x ? 0, x ? 2? ,x 轴所围成的图形面积为 S= ?0 .
9.A【解析】法一:
2 5

f ( x) ? loga ( x ?1) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的图象过定点(2,1),故 b ? 2 ,
2 5

所以 ( x ? 3x ? b) ? ( x ? 3x ? 2)

? ( x ? 2)5 ( x ? 1)5

0 5 1 4 4 5 5 0 5 1 4 4 5 ? (C5 x ? C5 2x4 ??? C5 2 x ? C5 2 )(C5 x ? C5 x ??? C5 x ? C5 )

∴展开式中 x 的系数为

4 5 5 4 C5 ? 24 ? (?C5 ) ? (?C5 ? 25 ) ? C5 ? ?240 .

法二: f ( x) ? loga ( x ?1) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的图象过定点(2,1),故 b=2, 所以 ( x ? 3x ? b) ? ( x ? 3x ? 2)
2 5 2 5



[]











x

























( x2 ? 3x ? b)5 ? ( x2 ? 3x ? 2)( x2 ? 3x ? 2)( x2 ? 3x ? 2)( x2 ? 3x ? 2)( x2 ? 3x ? 2) ,从上述 5
个 因 式 中 取 一 个 - 3x , 其 他 4 个 因 式 中 均 取 常 数 项 , 于 是 得 x 的 系 数 为
1 4 C5 (?3)C4 ? 24 ? ?240.

10.D 【解析】命题“ ?a ? R, 方程 ax ? 2 x ? a ? 0 有正实根”的否定是“ ?a ? R, 方程
2

2 ax 2 ? 2 x ? a ? 0 无 正 实 根 ”, 故 A 错 ; 由 P( X ? 1 ? 3a) ? P( X ? a ?7) , 得

1? 3 a ? a2? 7 ? 6 , a=1 或 2,故 a=2 是 P( X ? 1 ? 3a) ? P( X ? a 2 ?7) 成立的一个充分不 解得 ? 必要条件,B 错;若 f(x)在 R 上是减函数,则 f ( x)=-x ? 4 x ? m ? 0 在 R 上恒成立,则
2

? ? 16 ? 16m ? 0, 解得 m ? 4 ,C 错;D 正确.
11.C【解析】如图,

以 点 A 为 原 点 , AB 、 AD 所 在 直 线 分 别 为 x,y 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 xOy, 则 A(0,0),B(4,0),C(4,1),D(0,1), 设 P(x,0),则 0 ? x ? 4 , (1) 当 x=0 时 ,

t a ?CPD n ?

CD ?CAD t a? n ? AD





4 x=4





t a ?CPD n ?

CD ?CBD t a ? n ? ,此时 ?CPD 4 为锐角. BC

tan ?APD ?
(2)当 0<x<4 时,

1 1 , tan ?BPC ? x 4? x , tan ?APD ? tan ?BPC 1 ? tan ?APD ? tan ?BPC

tan ?CPD ? tan(? ? ?APD ? ?BPC ) ? ?
所以

1 1 ? 4 4 ? x 4? x ? 2 ? 4 1 1 x ? 4 x ? 1 ( x ? 2)2 ? 3 tan ?CPD ? ? 1? ? 3 ,此时 ?CPD 最 x 4? x ,当 x=2 时,
大,即所求线段 AP 的长为 2. 12.C【解析】由 g (3 ? x) ? g (3 ? x) ,知即 g ( x) 的图象关于直线 x ? 3 对称,由

g ( x) ? g ( x ? 2) 知, g ( x) 的一个周期 T=2.结合 g ( x) ? ?2x2 ? 4x ? 2 ( x ?[1, 2]) ,作出 g(x)的
图象与函数 y ? log a ( x ? 1)( x ? 0) 的图象,则方程 g ( x) ? log a ( x ? 1) 在 [0, ??) 上至少有 5 个不等的实根等价于函数 g(x)的图象与函数 y ? log a ( x ? 1) (x>0)的图象至少有 5 个交点,如 图所示,则 ?

?0 ? a ? 1, 5 . , 所以 0 ? a ? 5 ?log a (4 ? 1) ? log a 5 ? ?2

13.

5













|OF|=1, .

| PF |? 2

,



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OF ? PF |?| FO ? FP |?| OP |? | OF |2 ? | FP |2 ? 5

x ? y ?1 14. 2 【解析】 表示的平面区域为正方形 ABCD 内部及其边界,设 P (2, 2) ,由
k 图可知 z 的最大值为 PA . 易知
k PA ? 2?0 ?2 2 ?1 .

112? 3 【解析】由斜二测画法易知,该几何体的俯视图是一个边长为 4 的等边三角形, 15.
再结合正视图和侧视图可知, 该几何体是如下图所示的高为 4 的三棱锥 D-ABC, 将其补形

为三棱柱 ABC-EDF,设球心为 O,?EDF 的中心为

O1 ,则

O1 E ?

2 DE sin60 3

?

?

4 3 3 ,所以

该几何体的外接球的半径

R ? OE ? OO12 ? O1E 2 ? 22 ? (

4 3 2 28 ) ? 3 3 , 其表面积为

S ? 4? R 2 ?

112? 3 .

F O1 E O C

D

A
3?
16.

B

?1? 1 1 1 1 1 2n ? 3 ?2 ? ?1 ? 2 ?2 ? 2? 2 2 2 an?1 an?1 an a a 2n 【解析】由 an 得 ,且 1 ,所以数列 ? n ? 构

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 2 a n 成以 1 为首项,2 为公差的等差数列,所以 ,从而得到
2 an ?

2n ? 1 1 bn ? 2n , 2n ? 1 ,则

所以

Sn ?

1 3 2n ? 1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ?? ? n Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 2 2 2 ,2 2 2 2n 2 ,

两式相减,得

1 1 1 1 1 2n ? 1 Sn ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
Sn ? 3 ? 2n ? 3 2n .

?

1 1 2n ? 1 3 2n ? 3 ? 1 ? n?1 ? n?1 ? ? n?1 2 2 2 2 2

所以

17.解析:(1)因为 b tan A, c tan B, b tan B 成等差数列, 所以

b tan ? ? ? 2c ? b ? tan ?.
sin ? ? sin ? sin ? ? ? 2sin C ? sin ? ? ? cos ? cos ? ,

由正弦定理得

又因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 , 所以 sin ? cos ? ? 2sin C cos ? ? cos ? sin ? , 即

sin ? ?? ?? ? 2sin Ccos ?

,所以 sin C ? 2 sin C cos A ,

又因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以

cos ? ?

1 ? ?? 3 .(6 分) 2 ,而 0 ? ? ? ? ,所以

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos
(2)由余弦定理得 所以 4 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc,
2 2

?
3,

当且仅当 b=c 时取等号. 即当 b=c=2 时,bc 取得最大值. 此时 ? ABC 为等边三角形.(12 分) 18.解:(1)证明: 在等腰直角三角形 ABC 中, AC= BC ,点 D 为 AC 的中点, ? CD? AB , (1 分) 又在直三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, AA ? 平面 ABC ,CD ? 平面 ABC , 1

? AA 1 ?CD, (3 分) 又

AA1 ? AB ? A,? CD ?平面 ABB1 A1 , (4 分) B1E ? 平面 ABB1 A1
, ? CD ? B1E . (6 分)

又不论 ? 取何值时,

C1 z

B1

A1 C E A
ABB1 A1 ,

B y D

x

(2)法一:由(1)知,CD ?平面 ? DE ? CD, AD ? CD .

即 ? ADE 为二面角 E-CD-A 的平面角.(8 分)

?

??

1 3 , ?AE=1.

AD ?


1 AB ? 2 2 ,

? DE ? AD2 ? AE2 ? 3 .
? cos ?ADE ? AD 6 ? . DE 3 (11 分)

6 ? 平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值大小为 3 .(12 分)
法二: 分别以 CA, CB, CC 1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 C —xyz, 则 C (0,0,0),

??? ? ??? ? B (0, 2,3), C (0,0,3) CD ? (1,1,0), CE ? (2,0,1) , 1 1 D (1,1,0), E (2,0,1), ,?
设平面 CDE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

??? ? ? ?n ? CD ? x ? y ? 0, ? ? ??? n ? CE ? 2 x ? z ? 0, x ? 1, n ? (1, ?1, ?2). ? ? 则 令 得 (9 分) ???? ? CC1 ? (0,0,3). 平面 ABC 的一个法向量为
???? ? ???? ? | n ? CC1 | 6 6 ???? ? ? ?| cos ? n, CC1 ?|? ? 2 2 2 3 | n || CC1 | 3 ? 1 ? (?1) ? (?2)



6 ? 平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值大小为 3 .(12 分)
19.解: (1)由列联表可得

n(ad ? bc)2 100(16 ? 26 ?14 ? 44) 2 ? ? 0.7937 ? 2.706 30 ? 70 ? 60 ? 40 K2= (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) .(3 分)
所以没有 90%的把握认为 “支持全面二孩”与“性别”有关. (4 分)

16 ?4 (2) 依题意可知,所抽取的 15 位市民中 , 男性市民有 15 60 ( 人 ) ,女性市民有 ?

15 ?

44 ? 11 60 (人).(6 分) 60 3 ? (3)(i)由 2 ? 2 列联表可知,抽到持“支持”态度的市民的频率为 100 5 ,将频率

3 视为概率,即从 A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为 5 .(7 分)
由 于 总 体 容 量 很 大 , 故 X 可 视 作 服 从 二 项 分 布 , 即 X : B (3, ) , 所 以

3 5

3 2 P( X ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k (k ? 0,1, 2,3) 5 5 .(8 分)
从而 X 的分布列为: X 0 1 2 3

P

8 125

36 125

54 125

27 125
(10 分)

3 9 3 2 18 3? ? 3? ? ? 5 5 ;D(X)=np(1-p)= 5 5 25 . (ii)E(X)=np=
20.解:(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

(12 分)

?xp ? x ? 2 ? y ? yp ? 3 ? 由已知得 ,
x2 y 2 2 3 2 ? ?1 ( y) 3 ∵点 P 在圆上,∴x2+ 3 =4,即 4 , x2 y 2 ? ?1 3 ∴点 M 的轨迹方程为 4 .(4 分)

[]

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 ? 3 (2)证明:由 ? 4 得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0,
如图,设点 Q 的坐标为
2 2 2

( x0 , y0 ) ,依题意 m ? 0, 且 ? ? 0 ,
2

则 ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0, 整理得 4k ? 3 ? m ,(6 分)
2 2

此时

x0 ? ?

4k 3 4km 4k 4k 2 3 ? ? , y ? kx ? m ? ? ? m ? , ? Q(? , ) 0 0 2 m m , 4k ? 3 m m m

? y ? kx ? m ? x ? ?4 由? 解得 y ? ?4k ? m, ? R(?4, ?4k ? m), (9 分) uuu r r 4k 3 uuu QF ? ( ? 1, ? ), RF ? (3, 4k ? m), m m 由 F(-1,0),
uuu r uuu r 4k 3 ? QF ? RF ? 3( ? 1) ? (4k ? m) ? m m 0,

? QF ? RF . ? 以 QR 为直径的圆过定点 F. (12 分)
21.解析: (1)由题可知 f ( x) ? kx ? ln x ,
2

定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ? 2kx ?
所以

1 2kx 2 ? 1 ? x x , (1 分)

? 若 k ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减.(2 分)

若k ? 0,

f ?( x) ? 2kx ?

1 2kx ? 1 ? ? x x
2

2k ( x 2 ?

1 1 1 )( x ? ) ) 2k ( x ? 2k 2k 2k ? x x , (3 分)

x ? (0,


1 ) 2k 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, (4 分)

x?(


1 , ??) ? 2k 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增. (5 分)
kx 2 ? ln x ? k ? ln x x2 ,

(2)令 f ( x) ? 0 ,则错误!未找到引用源。

? ( x) ?


ln x ln x 1 ? 2 ln x ? ?( x) ? ( 2 )? ? 2 x ,由于 x x 3 ,令 ? ?( x) ? 0 得 x ? e ,

? 当 x ? (0, e ) 时, ? ( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, ? 当 x ? ( e , ??) 时, ? ( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减

所以

? ( x) max ? ? ( e ) ?
k ?[

1 2e ,

所以当

1 ln x ln x 1 , ?? ) k? 2 ? ( x ? 2) 2 x ? (0, ?? ) 2e x x 2e 时, 对 恒成立,即 ,

ln x 1 1 ? ? 2 ( x ? 2) 4 2e x 从而 x , (9 分) ln n 1 1 ? ? 2 (n ? 2) 4 2e n 从而得到 n ,对 n 依次取值 2,3, ???, n 可得

ln n 1 1 ln 2 1 1 ln 3 1 1 ln 4 1 1 ? ? 2 (n ? 2, n ? N ? ) ? ? 2, 4 ? ? 2, 4 ? ? 2, 4 4 2 2e 2 3 2e 3 4 2e 4 ?, n 2e n ,
对上述不等式两边依次相加得到:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 1 1 1 1 ? 4 ? 4 ? ??? ? 4 ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? ? 2 )(n ? 2, n ? N ? ) 4 2 3 4 n 2e 2 3 4 n , (10 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? ? ??? ? , (n ? 2, n ? N ? ) 2 3 4 n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n ? 1)n 又因为 2 ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? L ? ( ? ) ? 1? 1 ? 1 (n ? 1)n 2 2 3 n ?1 n n 而 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ,
1 1 1 1 1 1 ( 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ) ? (n ? 2, n ? N ? ) 3 4 n 2e 所以 2e 2 , ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? 4 ? 4 ? ??? ? 4 ? (n ? 2, n ? N ? ). 4 3 4 n 2e 所以 2 (12 分)

22.解:(1)证明:? BE 与圆 O 相切于点 B,

? ?CBE ? ?BAC .① ? BE ? DE
? ? ?BCE ? 90 ? ?CBE ②

? AC 是圆 O 的直径,
? ? ?BCA ? 90 ? ?BAC ③

由①②③得 ?BCA ? ?BCE , 即 CB 平分 ?ACE .(5 分) (2)由(1)知 ?ABC ? ?BEC ,

? AB ? 6, BE ? 3,
? BC BE 1 1 ? ? , sin ?CAB ? , AC AB 2 即 2

??CBE ? ?CAB ? 30? , 故 AC= 4 3, CB ? 2 3 , CE ? 3 .
由切割线定理得 EB ? EC ? ED ? 3 ? 3ED ? ED ? 3 3 ,
2 2

?CD ? 2 3,? AD ? 6 .(10 分)

23.解:(1)直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 , (1 分)

? ? ? 4 2 sin(? ? ) ? 4 sin ? ? 4 cos ?
4
2 2

,所以 ? ? 4? sin ? ? 4? cos? .
2 2 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 (或写成 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ) ..(5 分)

? ?x ? 2 ? ? ? ? y ? 1? ? (2)点 P(2,1)在直线 l 上,且在圆 C 内,把 ?

2 t 2 2 t 2 2 2 代入 x ? y ? 4x ? 4 y ? 0 ,

2 t ,t t ? t ? 2, t1t2 ? ?7 ? 0 ,即 t1 , t2 异号. 得 t ? 2t ? 7 ? 0 ,设两个实根为 1 2 ,则 1 2

所以

| PA | ? | PB | ? | t1 | ? | t2 | ?| t1 ? t2 |? 2

.(10 分)

24.解:(1)不等式 f ( x) ? x ? 1 化为 | x ? 2 | ? | x ? 1| ? x ? 1 ? 0 . 设函数 y ?| x ? 2 | ? | x ? 1| ? x ? 1,



? 2 ? 3 x, x ? 1 ? y ? ? ? x,1 ≤ x ≤ 2 ? x ? 4, x ? 2 ?
{x |

2 ?x?4 y ? 0 ,令 ,解得 3 . 2 ? x ? 4} 3 .

∴原不等式的解集是

(5 分)

(2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 1, 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, 即 1 ? x ? 2 时取等号,故 k ? 1 .(7 分) 假设存在符合条件的正数 a , b ,则 2a ? b ? 1,

1 2 1 2 b 4a b 4a ? ? ( ? )(2a ? b) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8, a b a b ?a b a b
b 4a 1 2 1 1 ? , 2a ? b ? 1 a ? , b ? ? b 4 2 时取等号,? a b 的最小值为 8, 当且仅当 a ,即
1 2 ? ?4 即a b ,

1 2 ? ?4 ? 不存在正数 a,b,使 2a ? b ? 1, a b 同时成立.(10 分)


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