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山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测 理科数学 Word版含答


高三数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一个符合 题目要求的选项. 1.已知集合 U ? R, 集合A={x | y ? 1 ? }, 则CU A = A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 0或x ? 1} C. {x | x ? 1}

1 x

( D. {x | x ? 0} (
2



2.下列有关命题的说法错误的是 A.命题“若 x ?1 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1, 则x ? 1 ? 0 ”
2
2 B. “x=1”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件



C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题
2 2 D.对于命题 p : ?x ? R使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0

3.设 a ? (2sin x, ), b ? ( , A.

? 6

3 2

1 1 cos x) ,且 a / / b ,则锐角 x 为 6 4
B.

? 3

C.

? 4

D.

5? 12

4.各项都是正数的等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且 a 2 , 的值为 A.

a ?a ?a 1 a 3 , a1 成等差数列,则 2 3 4 2 a3 ? a4 ? a5
( )

1? 5 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 5 ?1 或 2 2

5.在 ?ABC 中,已知 sin C ? 2 sin(B ? C ) cos B ,那么 ?ABC 一定是
1

A.等腰直角三角形 6.已知 f ( x) ? ? A .1

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等边三角形 ( )

?? cos?x ? f ( x ? 1) ? 1
B.2

x?0 4 4 ,则f ( ) ? f (? ) 的值等于 x?0 3 3
C.3 D.-2

7.给出下列三个等式: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,

f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,下列函数中不满足其中任何一个等式的是(
A. f ( x) ? x B. f ( x) ? log2 x C. f ( x) ? 3x



D. f ( x) ? sin x

8.函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示,则该函数的解析式是




5 ?) 6 5 B. y ? 2 sin( 2 x ? ? ) 6
A. y ? 2 sin( 2 x ? C. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?

?

?

6
6

)
)

, 将y ? f ( x)和y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正 9.设 f ?( x)是函数f ( x)的导函数
确的是( )

10.已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} , 若向区域 ? 上随 机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 A. ( )

2 9

B.

2 3
5 5

C.
3

1 3
2 2 3 2

D.
2

1 9

11.设 a,b 是两个实数,且 a≠b,① a ?b ? a b ? a b , ② a ? b ? 2(a ? b ? 1) ,③ 上述三个式子恒成立的有( )
2

a b ? ? 2。 b a

A .0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

12.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成立,若 f (1) ? 2 ,则 f (2014) 等于 A. 2014 D. ? 2

B. 2

C. 0

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
2 注意事项: , 1.用 0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案须填在题中横线上. ,3 13.已知直线 y ? 3x ? 1 与曲线 y ? x ? mx? n 相切于点 (1,4) ,则 m ? _____ 。 6 14.设 f ( x) 定义如下面数表, ?xn ? 满足 x0 ? 5 ,且对任意自然数 n 均有 xn?1 ? f ( xn ) ,则 x2014 的值为 __________________。

x
f ( x)

1 4

2 1

3 3

4 5

5 2

15.已知点 P(1,4) 在圆 C : x2 ? y 2 ? 2ax ? 4 y ? b ? 0 上,点 P 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 的对称点也在圆

C 上,则 a ? _____, b ? _____。
16.一次研究性课堂上,老师给出函数 f ( x) ? 别给出下列命题: 甲:函数 f ( x ) 为偶函数;

x ,甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分 1? | x |

(?1,1) ; 乙:函数 f ( x)的值域为
丙:若 x1 ? x 2 则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 你认为上述三个命题中正确的个数有 个 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 ( x ? R) . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的函数值的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动,抽奖规则是:抽奖盒中装有 10 个大小相同的小球,
3

分别印有“多彩十艺节”和“美丽泉城行”两种标志,摇匀后,参加者每次从盒中同时抽取两个小球, 若抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖. (I)活动开始后,一位参加者问:盒中有几个“多彩十艺节”球?主持人笑说:我只知道从盒中 同时抽两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是

2 ,求抽奖者获奖的概率; 3

(Ⅱ)上面条件下,现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,抽后放回,另一个人再抽,用 ? 表示获 奖的人数,求 ? 的分布列及 E? , D? . 19.(本题满分 12 分) 将边长为 4 的正方形 ABCD 和等腰直角三角形 ABE 按图 拼为新的几何图形, ?ABE 中, AB ? AE ,连结 DE , CE , 若 DE ? 4 2 , M 为 BE 中点 (Ⅰ)求 CM 与 DE 所成角的大小; E (Ⅱ)若 N 为 CE 中点,证明: MN // 平面 ADE ; (Ⅲ)证明:平面 CAM ? 平面 CBE

D

C

A

B

M
第 19 题图

20. (本题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a2 ? 1 , bn ? nSn ? (n ? 2)an ,数列 {bn } 是 公差为 d 的等差数列, n ? N .
*

(1) 求 d 的值; (2) 求数列 {an } 的通项公式; (3) 求证: (a1a2 ??? an ) ? ( S1S2 ??? Sn ) ?

22 n?1 . (n ? 1)(n ? 2)

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(III)过点 A(?e ,0) 作函数 y ? f ( x) 图像的切线,求切线方程

?2

x2 y2 3 1 22. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e ? 。 2 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,椭圆的右顶点
4

为 D,且满足 DA ? DB ? 0 ,试判断直线 l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说 明理由。

高三数学试题(理科) 参考答案
一、选择题 ACCCB CDDDA BC 二、填空题 2 13.0 14.1 15. a ? ?1, b ? 1 , 16.2 4 三、解答题 , 3 1 17.解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? cos6 2 x ???????????????????????4 分

2

2

5

? sin(2 x ? ) ?????????????????????????6 分 6 故 f ( x ) 的最小正周期为 ? ??????????????????8 分
(2)当 x ? [0,

?

?
4

] 时, 2 x ?

?
6

? [?

? ?

, ] ????????????????10 分 6 3

故所求的值域为 [? ,

1 3 ] ????????????????????12 分 2 2

18. (本题满分 12 分) 解:I)设印有“美丽泉城行”标志的球有 n 个,不都是“美丽泉城行”标志为事件 A , 则都是“美丽泉城行”标志的概率是 P( A) ?
2 2 Cn 2 Cn 1 , ? ? 2 2 C10 3 C10 3 2 Cn ,由对立事件的概率: 2 C10

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

得 n ? 6 ,故“多彩十艺节”标志卡共有 4 张
2 C4 2 ∴抽奖者获奖的概率为 P ? 2 ? ????????????6 分 C10 15

Ⅱ) ? ~ B ( 4,

2 k 2 k 13 4 ? k ) , ? 的分布列为 p(? ? k ) ? C4 ( ) ( ) (k ? 0,1, 2,3, 4) 或 15 15 15
0 1 2
2 2 2 13 2 C4 ( ) ( ) 15 15

?

3
3 2 3 13 1 C4 ( ) ( ) 15 15

4

p
∴ E? ? 4 ?

13 ( )4 15

2 13 C ? ? ( )3 15 15
1 4

(

2 4 ) 15

2 8 ? 15 15 2 2 104 D? ? 4 ? ? (1 ? ) ? ??????????12 分 15 15 225

19. (本题满分 12 分) Ⅰ)解:∵ AE ? AD ? 4 , DE ? 4 2 , ∴ DA ? AE ,又 DA ? AB

AB AE ? A ∴ DA ? 面 BAE ?ABE 为等腰直角三角形且 AB ? AE
∴ ?BAE ? 90
6

z
D

C

A

B y

AE , AB, AD 两两垂直
分别以 AE , AB, AD 所在直线为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系如图: 则 E (4, 0, 0), D(0, 0, 4) ,

DE ? (4,0, ?4)
M (2, 2, 0) , C (0, 4, 4)
∴ CM ? (2, ?2, ?4) ∴ cos ? CM , DE ??

CM ? DE (2, ?2, ?4) ? (4,0, ?4) ? | CM | .| DE | 24.4 2

?

3 2

∴ CM 与 DE 所成角的大小为

? ???????????4 分 6

Ⅱ) ∵ E (4,0,0), C (0, 4, 4) , N 为 CE 中点 ∴ N (2, 2, 2) ,而 M (2, 2, 0) ∴ MN ? (2, 2, 2) ? (2, 2,0) ? (0,0, 2)

AD ? (0,0, 4)
∴ MN 与 AD 共线, MN // AD

AD ? 面 ADE , MN ? 面 ADE ∴ MN // 平面 ADE ?????????????8 分 Ⅲ) DA ? 面 BAE AM ? 面 BAE ∴ DA ? AM

BC // DA ∴ AM ? BC 又 ?ABE 为等腰直角三角形且 M 为斜边 BE 中点 ∴ AM ? BE
7

BE BC ? B ∴ AM ? 面 BCE 又 AM ? 面 CAM ∴平面 CAM ? 平面 CBE ??????????12 分

20.解: a1 ? a2 ? 1,bn ? nS n ? (n ? 2)an ? b1 ? S1 ? (1 ? 2)a1 ? 4a1 ? 4 b2 ? 2S2 ? (2 ? 2)a2 ? 2a1 ? 6a2 ? 8 ? d ? b2 ? b1 ? 4
??????????????????????3 分

??????????????????8 分

8

??????????????????12 分 21.(Ⅰ)

f '( x) ? ln x ? 1 ? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1
1 1 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e 6 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x

2分 4分

?0 ? x ?
(Ⅱ)

设 g ( x) ? ln x ? x ?

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 则 g '( x) ? x x2 x2

6分

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ? 实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ;
(Ⅲ)设切点 T ( x0 , y0 ) 则 k AT ? f '( x0 ) ?

7分

x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 即 e2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 1 x0 ? 2 e
10 分

设 h( x) ? e x ? ln x ? 1 ,当 x ? 0 时 h '( x) ? 0 ? h( x) 是单调递增函数
2

? h( x) ? 0 最多只有一个根,又 h(

1 1 1 1 ) ? e2 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 2 e e e e 1 由 f '( x0 ) ? ?1 得切线方程是 x ? y ? 2 ? 0 . 12 分 e 1 。 2

22(Ⅰ)由题意椭圆的离心率 e ?

9

?

c 1 ? a 2

? a ? 2c

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2

∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ??2 分 4c 2 3c 2

又点 (1, ) 在椭圆上

3 2

3 ( )2 1 ? 2 ? 2 2 ?1 4c 3c
?c2 ? 1
∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ??4 分 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ? ? 1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ? . 3 ? 4k 2

DA ? DB ? 0
所以 k AD ? kBD ? ?1 ,又椭圆的右顶点 D(2,0),

?

y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得
10

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2 2k 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ?

11


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