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3.1.2 两角和与差的正切公式


鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2014 年( )月( )日 班级 姓名 3.1.2 学习 目标 重点 难点 两角和与差的正切公式 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用. 灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征, 联想具有类似特征的相关公式.然后经过适当变形、拼凑,再正用或逆用公式 解题. 【两角和与差的正切公式的推导】 sin α 问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α= ,从两角和与差的正弦、余弦公 cos α 式出发,推导出用任意角 α,β 的正切值表示 tan(α+β),tan(α-β)的公式吗?试一试. sin?α+β? sin αcos β+cos αsin β 当 cos(α+β)≠0 时,tan(α+β)= = . cos?α+β? cos αcos β-sin αsin β 当 cos αcos β≠0 时,分子分母同除以 tan(α+β)= . ,得 根据 α,β 的任意性,在上面式子中,以-β 代替 β 得 tan α+tan?-β? tan(α-β)= = 1-tan αtan?-β? 问题 2 . 在两角和与差的正切公式中,α,β,α± β 的取值是任意的吗? (k∈Z). 【注意】在公式 T(α+β),T(α-β)中 α,β,α± β 都不能等于 【两角和与差的正切公式的变形公式】 两角和与差的正切公式变形形式较多,例如: tan α± tan β= , tan αtan β=1- = -1. 这些变式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完 成以下练习. 1 鸡西市第十九中学高一数学组 练习 1:直接写出下列式子的结果: tan 12° +tan 33° (1) =________; 1-tan 12° tan 33° 1-tan 15° (3) =________. 1+tan 15° (2)tan 75° =________; 练习 2:求值:tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° . 例 1 求下列各式的值: 3+tan 15° (1) ; 1- 3tan 15° (2)tan 15° +tan 30° +tan 15° tan 30° . 小结 公式 T(α+β),T(α-β)是变形较多的两个公式,公式中有 tan αtan β,tan α+tan β (或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))三者知二可表示或求出第三个. 训练 1 求下列各式的值: cos 75° -sin 75° (1) ; (2)tan 36° +tan 84° - 3tan 36° tan 84° . cos 75° +sin 75° 例2 若 α,β 均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,求 α+β. 小结 此类题是给值求角题,解题步骤如下:①求所求角的某一个三角函数值,②确定 所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小, 2 鸡西市第十九中学高一数学组 会使求出的角不合题意或者漏解. 训练 2 π π π π 已知 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,且- <α< ,- <β< , 2 2 2 2 求角 α+β. 例3 已知△ABC 中,tan B+tan C+ 3

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