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湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校2016届高三3月联考数学(文)试卷


湖北省 2016 届高三第二次联考 数学试题(文科)
命题学校:黄冈中学 命题人:蔡 盛 审题人:刘

华师一附中 襄阳四中

黄冈中学 襄阳五中

黄石二中 孝感高中

荆州中学 鄂南高中

八校



考试时间:2016 年 3 月 29 日 下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必先将自己的姓 名、准考证号码填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A= x 2 x ? 2 , B ? y y ? x ,则 A ? B =( A. ? 0,1? B.

?

?

?

?



? 0, 2 ?

+? ? C. ?1,

+? ? D. ? 0,
开始

2.已知复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? ?i ,则 z =( A.
1 2

) D.
2

a ? 2, i ? 1

B.

2 2

C. 1

是 )
输出 a

i ≥ 2016?

a ?1? 1 a

3.在等比数列 ?an ? 中, a2 a3 a4 ? 8 , a7 ? 8 ,则 a1 = ( A. 1 B. ?1 C. 2 4.如图所示的程序框图的运行结果为( A. ?1 B.
1 2

D. ?2 ) D. 2

结束

i ? i ?1

C. 1

(第 4 题图) )

5.在区间 ? 0, 4? 上随机取两个实数 x, y ,使得 x ? 2 y ≤ 8 的概率为( A.

1 4

B.

3 16

C.

9 16

D.

3 4

6.在平行四边形 ABCD 中,AB ? 4, AD ? 3, ?DAB ?

?

3 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 点 E , F 分别在 BC , DC 边上,且 BE ? 2 EC , DF ? FC ,



D

F E

C

A (第 6 题图)
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B

??? ? ??? ? 则 AE ? BF =(
A. ?

) B. ?1
2

8 3

C. 2

D.

10 3

7.已知圆 C 方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? ,若 p :1 ≤ r ≤ 3 ; q :圆 C 上至多有 3 个点到直 线 x ? 3 y +3 ? 0 的距离为 1,则 p 是 q 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 )

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

2 ? ? x ? 2 x, x ≤ 0 8.已知函数 f ? x ? ? ? ,则函数 g ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1 的零点个数为( lg x , x ? 0 ? ?

A.1 B.2 C. 3 D.4 9.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外 接球的表面积是( ) A. 36? B. 52? C. 72? D. 100?

4
2 2 2 2

4 正视图 4 4
俯视图

侧视图

(第 9 题图)

10. 若 f ? x ? ? 2cos ? 2 x +? ??? ? 0 ? 的 图 像 关 于 直 线 x ?

?
3

对称,且当 ? 取最小值时,

? ?? ?x0 ? ? 0, ? ,使得 f ? x0 ? ? a ,则 a 的取值范围是( ? 2?
A.

) D. ? ?2,1?

? ?1, 2?

B. ? ?2, ?1?

C.

? ?1,1?

11.已知 F 是抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点, P 为抛物线上的动点,且 A 的坐标为 ? 0, ?1? ,则
PF PA

的最小值是(



A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

12.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? b ? e x ,当 b ? 1 时,函数 f ( x) 在 ? ??, ?2 ? , ?1, +? ? 上均为增函数, 则
a?b 的取值范围是( a?2



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2? ? A. ? ?2, ? 3? ?

? 1 ? B. ? ? , 2 ? ? 3 ?

2? ? C. ? ??, ? 3? ?

? 2 ? D. ? ? , 2 ? ? 3 ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

? 2? 13.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? =log 2 x ? 1 ,则 f ? ?? 2 ? ?= ? ?
14.若 2 ? 4 ? 4 ,则 x ? 2 y 的最大值是
x y

.

.

15.已知 l1 , l2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线,且右焦点关于 l1 的对称点在 a 2 b2
.

l2 上,则双曲线的离心率为

16.数列 ?an ? 满足 a1 =1 , nan ?1 = ? n ? 1? an ? n ? n ? 1? ,且 bn =an cos

2n? ,记 S n 为数列 ?bn ? 的前 3

n 项和,则 S120 =

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.( 本小题满分 12 分 ) 如图,在平面四边形 ABCD 中, AB ? AD , AB ? 1 , AC ? 7 , 2? ? C , ?ACD ? . ?ABC ?
3 3

(Ⅰ)求 sin ?BAC ; (Ⅱ)求 DC 的长.

B

A (第 17 题图)

D

18.(本小题满分 12 分)国内某知名大学有男生 14000 人,女生 10000 人.该校体育学院想了解 本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人,统计他们平 均每天运动的时间,如下表: (平均每天运动的时间单位:小时,该校学生平均每天运动的时 间范围是 ? 0,3? .) 男生平均每天运动的时间分布情况: 平均每天运 动的时间 人数 平均每天运 动的时间 人数

?0,0.5?
2

?0.5,1?
12

?1,1.5?
23

?1.5, 2 ? ? 2, 2.5?
18 10

? 2.5,3?
x

女生平均每天运动的时间分布情况:

?0,0.5?
5

?0.5,1?
12

?1,1.5?
18

?1.5, 2 ?
10

? 2, 2.5?
3

? 2.5,3?
y

(Ⅰ)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到 0.1 ) ; (Ⅱ)若规定平均每天运动的时间不少于 2 小时的学生为“运动达人” ,低于 2 小时的学生 为“非运动达人”.
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①请根据样本估算该校“运动达人”的数量; ②请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断能否在犯错 误的概率不超过 0.05 的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关?” 运动达人 男 女 总 参考公式: K 2 = 参考数据: 生 生 计
2

非运动达人





? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024

n ? ad ? bc ?

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

P ? K 2 ≥ k0 ?
k0

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , △ ABC 是 等 边 三 角 形 ,

BC ? CC1 ? 4 , D 是 A1C1 中点.
(Ⅰ)求证: A1 B ∥ 平面 B1CD ; (Ⅱ)当三棱锥 C ? B1C1 D 体积最大时,求点 B 到平面 B1CD 的距离.

A1
D

A

B1
C

B

C1

(第 19 题图)

20. (本小题满分 12 分)定义:在平面内,点 P 到曲线 ? 上的点的距离的最小值称为点 P 到曲 线 ? 的距离.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M : x ? 2

?

?

2

? y 2 ? 12 及点 A ? 2, 0 ,动点

?

?

P 到圆 M 的距离与到 A 点的距离相等,记 P 点的轨迹为曲线 W . (Ⅰ)求曲线 W 的方程; (Ⅱ) 过原点的直线 l( l 不与坐标轴重合) 与曲线 W 交于不同的两点 C , D , 点 E 在曲线 W 上,
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且 CE ? CD ,直线 DE 与 x 轴交于点 F ,设直线 DE , CF 的斜率分别为 k1 , k2 ,求

k1 . k2

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ? 4 ? a ? R ? . (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性;
k ? ?1 ? ? k (Ⅱ)当 a ? 2 时,若存在区间 ? m, n ? ? ? , ?? ? ,使 f ? x ? 在 ? m, n ? 上的值域是 ? , , 2 m ? 1 n ? 1? ? ? ? ? 求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)4-1 :几何证明选讲 如图,在锐角三角形 ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 另外的交点 分别为 D, E ,且 DF ? AC 于 F . C (Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线; (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长.

7 5

F D E O
?

B

A

(第 22 题图) 23. (本小题满分 10 分)4-4 :坐标系与参数方程
? x ? ?1 ? t cos ? 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数,0 ≤ ? ? ? ) ,以坐标原点 O 为极点, ? y ? 3 ? t sin ?

?? ? x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? ? ? ? . 4? ? ?? ? (Ⅰ)若极坐标为 ? 2, ? 的点 A 在曲线 C1 上,求曲线 C1 与曲线 C2 的交点坐标; 4? ?
(Ⅱ)若点 P 的坐标为 ? ?1,3? ,且曲线 C1 与曲线 C2 交于 B, D 两点,求 PB ? PD .

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24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x +1 ? 2 x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ≥ x ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ? x ? 的最大值是 m ,且 a, b, c 均为正数, a ? b ? c ? m ,求

b2 c2 a 2 的最小值. ? ? a b c

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湖北省 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 八校 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中 2016 届高三第二次联考 文科数学参考答案
一、选择题答案: 题号 1 2 答案 A B 二、填空题: 13. 3 A 4 A 15. 2 ; 5 D 16. 7280 6 C 7 A 8 C 9 B 10 D 11 C 12 A

3 ; 2

14. 2 ;

三、解答题: 17.(Ⅰ)在 ?ABC 中,由余弦定理得: AC 2 ? BC 2 ? BA2 ? 2 BC ? BA cos B , 即 BC 2 ? BC ? 6 ? 0 ,解得: BC ? 2 ,或 BC ? ?3 (舍) , ??????3 分 由正弦定理得:
BC AC BC sin B 21 ? ? sin ?BAC ? ? . sin ?BAC sin B AC 7

??????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)有: cos ?CAD ? sin ?BAC ? 所以 sin D ? sin ? ?CAD ?
? ?

21 3 2 7 , sin ?CAD ? 1 ? ? , 7 7 7

??

2 7 1 21 3 5 7 , ? ? ? ? ?? 3? 7 2 7 2 14

??????9 分
7? 2 7 7 ? 4 7 . ?????12 分 5 5 7 14

DC AC AC sin ?CAD 由正弦定理得: ? ? DC ? ? sin ?CAD sin D sin D

(其他方法相应给分) 18. (Ⅰ)由分层抽样得:男生抽取的人数为 120 ?
14000 =70 人,女生抽取人数为 14000+10000

120 ? 70 ? 50 人,故 x ? 5, y ? 2,
则该校男生平均每天运动的时间为:
0.25 ? 2 ? 0.75 ? 12 ? 1.25 ? 23 ? 1.75 ? 18 ? 2.25 ? 10 ? 2.75 ? 5 ≈ 1.5 , 70

?????2 分

?????5 分

故该校男生平均每天运动的时间约为 1.5 小时; (Ⅱ)①样本中“运动达人”所占比例是
1 ? ?14000 ? 10000 ? ? 4000 人; 6 20 1 = ,故估计该校“运动达人”有 120 6

?????8 分

②由表格可知: 男 女 总 生 生 计 运动达人 15 5 20 非运动达人 55 45 100 总 计 70 50 120 ?????9 分

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故 K 的观测值 k ?
2

120 ?15 ? 45 ? 5 ? 55 ? 20 ? 100 ? 50 ? 70

2

=

96 ? 2.743 ? 3.841. 35

?????11 分

故在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. ?????12 分 19.(Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O ,连 DO .在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 BB1C1C 为平行 四边形, 则 BO ? OC1 ,又 D 是 A1C1 中点, ∴ DO ∥ A1B , 而 DO ? 平面 B1CD , A1 B ? 平面 B1CD , ∴ A1 B ∥ 平面 B1CD . ?????4 分

1 2 3 (Ⅱ)设点 C 到平面 A1 B1C1 的距离是 h ,则 VC ? B1C1D = S△ B1C1D h = h ,而 h ≤ CC1 ? 4 ,故 3 3
当三棱锥 C ? B1C1 D 体积最大时, h =CC1 ? 4 ,即 CC1 ? 平面 A1 B1C1 . ?????6 分

由(Ⅰ)知: BO ? OC1 ,所以 B 到平面 B1CD 的距离与 C1 到平面 B1CD 的距离相等. ∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 , B1 D ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? B1 D , ∵ △ ABC 是等边三角形, D 是 A1C1 中点,∴ A1C1 ? B1 D ,又 CC1 ? A1C1 =C1 , CC1 ? 平面

AA1C1C , A1C1 ? 平 面 AA1C1C , ∴ B1 D ? 平 面 AA1C1C , ∴ B1 D ? CD , 由 计 算 得 :

B1 D =2 3, CD ? 2 5 ,所以 S ?B1CD =2 15 ,
设 C1 到平面 B1CD 的距离为 h? ,由 VC ? B1C1D =VC1 ? B1CD 得:

?????9 分

2 3 1 4 5 ,所以 ? 4= S△ B1CD h? ? h? ? 3 3 5
?????12 分

B 到平面 B1CD 的距离是

4 5 . 5
(其他方法相应给分)

20.(Ⅰ)由分析知:点 P 在圆内且不为圆心,故 PA ? PM ? 2 3 ? 2 2 ? AM , 所以 P 点的轨迹为以 A 、 M 为焦点的椭圆, 设椭圆方程为 ?????2 分

? 2a ? 2 3 ? x2 y 2 ? ?a ? 3 , ?? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,则 ? 2 a b ?2c ? 2 2 ? ? ?c ? 2

所以 b 2 ? 1 ,故曲线 W 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

?????5 分

(Ⅱ)设 C ( x1 , y1 )( x1 y1 ? 0), E ( x2 , y2 ) , 则 D (? x1 , ? y1 ) , 则直线 CD 的斜率为 kCD ?

y1 ,又 x1

CE ? CD , 所以直线 CE 的斜率是 kCE ? ?

x1 x , 记? 1 ? k , 设直线 CE 的方程为 y ? kx ? m , y1 y1

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? y ? kx ? m ? 由 题 意 知 k ? 0, m ? 0 , 由 ? x 2 得 : ?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 6mkx ? 3m2 ? 3 ? 0 . ∴ 2 ? ? y ?1 ?3
x1 ? x2 ? ?
所以 k1 ?

6mk 2m ,∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ,由题意知, x1 ? x2 , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
?????9 分

y1 ? y2 y 1 ?? ? 1 , x1 ? x2 3k 3x1

所以直线 DE 的方程为 y ? y1 ?

y1 ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 ,得 x ? 2 x1 ,即 F (2 x1 , 0) . 3 x1
?????11 分

可得 k2 ? ?

y1 . x1
1 3

所以 k1 ? ? k2 ,即

k1 1 =? . k2 3
(其他方法相应给分)

?????12 分

21.(Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域是 ? 0, +? ? , f ? ? x ? ?

ax ? 1 , x
?????2 分

当 a ≤ 0 时, f ? ? x ? ≤ 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, +? ? 上为减函数, 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ?

1 ? 1? ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数, a ? a?
?????4 分

+? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数, 当 x ?? , ? ?

?1 ?a

? ?

∴当 a ≤ 0 时, f ? x ? 在 ? 0, +? ? 上为减函数;当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 上为减函数,在

1? a?

?1 ? +? ? 上为增函数. ? , a ? ? ?1 ?2

?????5 分

+? ? 上为增函数,而 (Ⅱ)当 a ? 2 时, f ? x ? ? 2 x ? ln x ? 4 ,由(Ⅰ)知: f ? x ? 在 ? ,

? ?

? m, n? ? ? ?
f ? m? ?

1 k ? ? ? k , ?? ? , , ∴ f ? x ? 在 ? m, n ? 上为增函数, 结合 f ? x ? 在 ? m, n ? 上的值域是 ? 知: 2 m ? 1 n ? 1? ? ? ? ?

k k 1 , f ?n? ? ,其中 ≤ m ? n , m ?1 n ?1 2

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k ?1 ? 在 ? , ?? ? 上至少有两个不同的实数根, 2 x ?1 ? ? k 由 f ? x? ? 得 k =2x 2 ? 2 x ? ? x ? 1? ln x ? 4 , x ?1
则 f ? x? ?

?????7 分

1 ?1 ? 记 ? ? x ? =2x 2 ? 2 x ? ? x ? 1? ln x ? 4 , x ? ? , ?? ? ,则 ? ? ? x ? =4x ? ? ln x ? 3 , x ?2 ?
记 F ? x ? ? ? ? ? x ? =4x ?

1 4 x 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 1? ? 3 x ? ln x ? 3 ,则 F ? ? x ? ? ? ? 0, x x2 x2
2

?1 ? ?1 ? ∴ F ? x ? 在 ? , ?? ? 上为增函数,即 ? ? ? x ? 在 ? , ?? ? 上为增函数, 2 2 ? ? ? ?

而 ? ? ?1? =0 ,∴当 x ? ? ,1? 时, ? ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, ? ? ? x ? ? 0 ,

?1 ? ?2 ?

∴ ? ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数,

?1 ? ?2 ?

?????10 分

而? ? ? ?

?1? ?2?

3ln 2 ? 9 , ? ?1? = ? 4 ,当 x ? ?? 时, ? ? x ? ? ?? ,故结合图像得: 2 ?1? ? ? 3ln 2 ? 9 3ln 2 ? 9 ? ? ,∴ k 的取值范围是 ? ?4, ? . ?????12 分 2 2 ? ?
?????2 分

? ?1? ? k ≤ ? ? ? ? ?4 ? k ≤ 2

(其他方法相应给分) 22.(Ⅰ)连结 AD, OD. 则 AD ? BC, 又 AB ? AC ,∴ D 为 BC 的中点,

而 O 为 AB 中点,∴ OD ∥ AC ,又 DF ? AC ,∴ OD ? DF , 而 OD 是半径,∴ DF 是 ⊙O 的切线. ?????5 分 (Ⅱ)连 DE ,则 ?CED ? ?B ? ?C ,则 △DCF ≌△DEF ,∴ CF ? FE ,????7 分 设 CF ? FE ? x ,则 DF 2 ? 9 ? x 2 ,由切割线定理得: DF 2 ? FE ? FA ,即 9 ? x 2 ? x ? x + ? , 解得: x1 = ,x2 ? ? (舍) ,∴ AB ? AC ? 5. (其他方法相应给分) 23.(Ⅰ)点 ? 2,

? ?

7? 5?

9 5

5 2

?????10 分

? ?

??

? 对应的直角坐标为 ?1,1? , 4?

?????1 分

由曲线 C1 的参数方程知:曲线 C1 是过点 ? ?1,3? 的直线,故曲线 C1 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , ?????2 分

? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 而曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,联立得 ? ,解得: ?x ? y ? 2 ? 0
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? x1 ? 2 ? x2 ? 0 , ,故交点坐标分别为 ? 2,0 ? , ? 0, 2 ? . ? ? ? y1 ? 0 ? y2 ? 2

?????5 分

? x ? ?1+t cos ? (Ⅱ)由判断知: P 在直线 C1 上,将 ? 代入方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 得: y ? 3 ? t sin ? ?

t 2 ? 4 ? cos ? ? sin ? ? t ? 6 ? 0 ,设点 B, D 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 PB ? t1 , PD ? t2 , 而
t1t2 ? 6 ,所以 PB ? PD ? t1 ? t2 = t1t2 =6.
(其他方法相应给分) ?????10 分

? x ? ?1 ??1 ≤ x ≤ 1 ?x ? 1 24.(Ⅰ) ? ,或 ? ,或 ? ,解得: 0 ≤ x ≤ 2 ? x ? 3≥ x ? 1 ?3 x ? 1≥ x ? 1 ?? x ? 3 ≥ x ? 1
故不等式的解集为 ? 0, 2? ; ?????5 分

? x ? 3,   x ? ?1 ? (Ⅱ) f ? x ? ? ?3 x ? 1,   ? 1 ≤ x ≤ 1 ,显然当 x = 1 时, f ? x ? 有大值, m ? f ?1? ? 2. ?? x ? 3,   x ? 1 ?
∴a?b?c ?2, 而 ?a ? b ? c??
? b2 c2 a 2 ? ? ? ? ?= ? c ? ? ? a b ? ?? ? a? ?? b? ?? c? ? ? ? ??
2 2 2

?????7 分
? b ?2 ? c ?2 ? a ?2 ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ≥ ?a ? b ? c? a b c ? ? ? ? ? ? ? ?

? a b c ? b = c = a 2 b c a ? ∴ ? ? ≥ a ? b ? c ? 2 ,当且仅当 ? ,即 a ? b ? c ? 时取等号,故 3 a b c b c ? a ? ?a ? b ? c ? 2
2 2 2

b2 c2 a 2 ? ? 的最小值是 2. a b c
(其他方法相应给分)

?????10 分

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