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高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第四章 圆与方程 4.1 圆的方程

一、学习任务 掌握确定圆的几何要素(圆心和半径、不在同一直线上的三个点等);掌握圆的标准方程与一般 方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标准方程与一般方程之间的关 系,会进行互化. 二、知识清单
圆的基本量与方程

r />三、知识讲解
1.圆的基本量与方程 描述: 圆的标准方程 在直角坐标系中,圆心A 的位置用坐标(a, b)表示,半径r 的大小等于圆上任意点M (x, y)与圆心 A(a, b)的距离,圆心为 A 半径为 r 的圆就是集合P = {M ||MA| = r}.由两点间的距离公式, 点M 的坐标适合的条件可以表示为√(x ? a)2 + (x ? b)2 = r ,两边同时平方,得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

(x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 ? ? ①,若点M (x, y)在圆上,有上述可知,点M 的坐标适合方程 ①;反之,若点M (x, y)的坐标适合方程①,这说明点M 与圆心A 的距离为r ,即点M 在圆心为 A 半径为 r 的圆上.我们把方程①称为以A(a, b)为圆心,以 r 为半径的圆的标准方程(standard
equation of circle).

圆的一般方程 将方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
2 2

? ? ②左边配方,并把常数项移到右边,得 D E D + E ? 4F . (x + )2 + (y + )2 = 2 2 4
1. 当D 2 + E 2 ? 4F > 0 时,比较方程②和圆的标准方程,可以看出②表示以(? 圆心,

1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? √? D 2 + E 2 ? 4F 为半径长的圆;

D E , ? )为 2 2

1 √D 2 + E 2 ? 4F 为半径长的圆; 2 D E 2. 当D 2 + E 2 ? 4F = 0 时,方程②只有实数解x = ? ,y = ? ,它表示一个点 2 2 D E (? , ? ); 2 2 3. 当D 2 + E 2 ? 4F < 0 时,方程②没有实数解,它不表示任何图形.
圆心,   因此,当D 2 + E 2 ? 4F > 0 时,方程②表示一个圆,此方程叫做圆的一般式方程(general equation of circle). 例题: 分别写出下列方程所表示的圆的圆心和半径. (1)(x ? 2)2 + (y ? 2)2 = 8; (2)(x + 4)2 + y 2 = 4; (3)(x + m)2 + (y ? n)2 = p 2 (p ≠ 0). 解:(1)原方程可化为 (x ? 2)2 + (y ? 2)2 = (2√2 )2 ,所以圆心 (2, 2),半径 r = 2√2 . (2)原方程可化为 [x ? (?4)] 2 + (y ? 0)2 = 2 2 ,所以圆心 (?4, 0) ,半径 r = 2. (3)原方程可化为 [x ? (?m)] 2 + (y ? n)2 = p 2 ,所以圆心 (?m, n),半径 r = |p|. 已知点 (5a + 1, 12a) 在圆 (x ? 1)2 + y 2 = 1 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.|a| < 1 解:D.

1 B.a < 13

1 C.|a| < 5

1 D.|a| < 13



由题意得 (5a + 1 ? 1)2 + (12a)2 < 1,所以 |a| <

1 . 13

已知点 (1, 1) 在圆 (x ? a)2 + (y + a)2 = 4 的外部,则 a 的取值范围为______. 解:(?∞, ?1) ∪ (1, +∞). 由题意知 (1 ? a)2 + (1 + a)2 > 4,所以 a > 1 或 a < ?1 . 判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0; (2)x 2 + y 2 + 2ay ? 1 = 0 ; (3)x 2 + y 2 + 20x + 121 = 0 ; (4)x 2 + y 2 + 2ax = 0. 解:(1)原方程可化为 (x + 1)2 + y 2 = 0,它表示点 (?1, 0) ,不表示圆. ? ? ? ? ? (2)原方程可化为 x 2 + (y + a)2 = a2 + 1,它表示圆心在 (0, ?a),半径为 √a2 + 1 的圆, ? ? ? ? ? 标准方程为 x 2 + (y + a)2 = (√a2 + 1)2 . (3)原方程可化为 (x + 10)2 + y 2 = ?21 < 0 ,此方程不表示任何曲线,故不表示圆. (4)原方程可化为 (x + a)2 + y 2 = a2 . ①当 a = 0 时,方程表示点 (0, 0),不表示圆; ②当 a ≠ 0 时,方程表示以 (?a, 0) 为圆心,以 |a| 为半径的圆,标准方程为 ( x + a) 2 + y 2 = a2 . 若方程 x 2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a ? 1 = 0 表示圆,则 a 的取值范围为______. 解:?2 < a < 配方得 (x +

3a 2 3a2 2 a 2 ? a + 1,由 ? ? a + 1 > 0 得 ?2 < a < . ) + ( y + a) 2 = ? 4 4 3 2

2 . 3

△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(?1, 5) 、B(?2, ?2)、C (5, 5) ,求其外接圆方程. 解:设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,由题设得方程组 ? ? ? ? ? ?

? ?D + 5E + F + 26 = 0, ? D = ?4, ? ?2D ? 2E + F + 8 = 0, 解得 ? E = ?2, ? ? 5D + 5E + F + 50 = 0, F = ?20.
所以 △ABC 的外接圆方程为 x 2 + y 2 ? 4x ? 2y ? 20 = 0 . 光线从点 A(?1, 1) 发出,经过 x 轴反射到圆 C :(x ? 2)2 + (y ? 3)2 = 1 上,则光线经过的 最短路程是______. 解:4 . 点 A(?1, 1) 关于 x 轴的对称点为 A ′ (?1, ?1) ,圆 C :(x ? 2)2 + (y ? 3)2 = 1 的圆心为 C (2, 3) ,半径为 1 ,所以光线经过的最短路程为

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |A ′ C | ? 1 = √[2 ? (?1)] 2 + [3 ? (?1)] 2 ? 1 = 4 .
解:AB 的垂直平分线为 y + 1 = ?

已知一个圆关于直线 2x + 3y ? 6 = 0 对称,且经过点 A(3, 2),B(1, ?4) ,求圆的方程. 因为圆心在弦 AB 的垂直平分线上,也在对称轴上,则

3?1 (x ? 2),即 x + 3y + 1 = 0. 2+4

? x = 7, { 2x + 3y ? 6 = 0, 得 ? ?y = ? 8 . x + 3y + 1 = 0, 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 8 340 8 2 即圆心为 (7, ? ) ,又半径为 r = √(7 ? 3) + (? ? 2) = √ . 3 9 3
所以圆的方程为 (x ? 7)2 + (y +

340 8 2 . ) = 9 3

四、课后作业

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1. 若直线 3x + y + a = 0 过圆 x 2 + y 2 + 2x ? 4y = 0 的圆心,则 a 的值为 ( A.?1
答案: B 解析: 圆

)

B.1

C.3

D.?3

x2 + y 2 + 2x ? 4y = 0 化为标准方程为 (x + 1)2 + (y ? 2)2 = 5 ,所以圆心为 (?1, 2) ,代 入直线 3x + y + a = 0 得 a = 1. )
D.m > 20

2. 方程 x2 + y 2 + 2x ? 4y + m = 0 表示圆的条件是 ( A.m > 5
答案: C

B.m < 20

C.m < 5

3. 过点 A (1, ?1) , B (?1, 1) 且圆心在直线 x + y ? 2 = 0 上的圆的方程是 ( A.(x ? 3)2 + (y + 1)2 = 4
答案: C

)

C.(x ? 1)2 + (y ? 1)2 = 4

B.(x + 3)2 + (y ? 1)2 = 4

D.(x + 1)2 + (y + 1)2 = 4

4. 若曲线 C : x 2 + y 2 + 2ax ? 4ay + 5a2 ? 4 = 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为

(

)
B.(?∞, ?1) C.(1, +∞) D.(2, +∞)

A.(?∞, ?2)
答案: D 解析: 曲线

C 的方程可化为 (x + a)2 + (y ? 2a)2 = 4 ,则该方程表示圆心为 (?a, 2a) ,半径等于 2 的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以 a > 2.

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