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高中数学选修2-2课后习题答案


高中数学选修 2-2 课后习题答案
一、选择题(12×5′=60′) 1.一物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t , 其中 s 单位是米, 单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 ( t 5 米/秒 8 米/秒 A 7 米/秒 B 6 米/秒 C D 2.复数 a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数的充分必要条件是 ( )。
2
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) 。

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b a 2 2 C D a ?b ? 0 ?0 ?0 b a 3.某同学类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,推出正四面体的下列性质:
A
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ab ? 0

B

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①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成 的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 你认为正确的是( A.① )。 B.①② C.①②③ D.③ )。

4.按照导数的几何意义,可以求得函数 y ? A. ? 3 B. ?

4 ? x 2 在 x ? 1 处的导数是 (
C. ?
3 3

3 3

D. )。 D
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3

5. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A
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19 3

B

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16 3

C

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13 3

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10 3

6.与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的抛物线 y ? x2 的切线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0
4

)。 D. 2 x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0 )。 D
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7.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为( A
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72

B

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36

C

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12

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0
)。

8.由直线 x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 y ? x3 以及 x 轴围成的图形的面积为(

4 5 B. 3 4 3 9.函数 y = x + x 的递增区间是(
A. A
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C. )。 C
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5 6

D.

3 4

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(0,??)

B

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(??,1)

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(??,??)

D

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(1,??)

10.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? an ? an?1 ? 1 ? 0 ,则 a2009 ? ( A. ?2
2

)。 D.1 )。

B. ?1

C. ?0.5

11.设函数 f ( x) ? ax ? c(a ? 0) ,若 A. 12.
3 3

?

1

0

f ( x)dx ? f ( x0 ) , 0 ≤ x0 ≤1 ,则 x0 的值为(
C.
3 3

B. a ? c 3

D.

3

?

1? i 1? i

?2 = (

)。 B. -1 C. i D. - i

A. 1

二、填空题(6×5′=30′)
1

13. 若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 14
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计算定积分

?

2

1

1 (2 x 2 ? ) dx 结果为_________; x

15. 函数 y ?

sin x 的导数为_________________; x

16. 下面四个命题:① 0 比 ?i 大; ②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数; ③ x ? yi ? 1 ? i 的 充要条件为 x ? y ? 1 ; ④复平面内实轴与虚轴没有公共点;⑤设 a, b ? R ,若 a ? b, 则a ? i ? b ? i 。 其中正确的命题是____________ ; 17. 若 z ?

2 100 50 ,那么 z ? z ? 1 的值是 1? i



18. 若数列{ a n }是等差数列,则有数列 b n =

a1 ? a2 ? ? ? an * (n∈N )也是等差数列,类比上述性质,相 n

应地:若数列{C n }是等比数列,且 C n >0,则有 d n =_______________________ 也是等比数列。 三、解答题(6×10′=60′) 19. 已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 的值。 2z 1? y 1? x ? 2, ? 2 中至少有一个成立。 x y
C M

P

20. 设 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,求证:

21. 如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面 PAB , M 是 PC 的 中点, N 是 AB 上的点, AN ? 3NB 。求证: MN ? AB 。
n?2 2 n ?1 22. 求证:对于整数 n ? 0 时, 11 ? 12 能被 133 整除。

A N

B

23. 已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 .(1)求 a , b 的值;(2)求函数 y 的极小值。 24. 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (km/h)的函数解析式可以表 示为 y ?

1 3 x3 ? x ? 8 (0 ? x ? 120) ,已知甲、乙两地相距 100km。 128000 80

(1)当汽车以 40km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

2

高二数学《选修 2-2》试题答案
一、选择题(12×5′=60′) C B C B D A D D C C A B 二、填空题(6×5′=30′) 13.

?1

14

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14 ? ln 2 3

15.

x cos x ? sin x x2

16.③④

17. i

18.

n

c1 ·2 ?cn c

三、解答题(6×10′=60′) 19. 解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) , ??????????????? 1′ 而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a2 ? b2 ?1 ? 3i ? a ? bi ? 0 ?????
2 ? 2 ?a ? ?4 则 ? a ? b ? a ?1 ? 0 ? ? , z ? ?4 ? 3i ? ?b ? 3 ?b ? 3 ? 0 ?

3′

????? 6′

(1 ? i)2 (3 ? 4i)2 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i
20. 证明:假设命题不成立,即

???? 10′

1? y 1? x ? 2, ? 2 都不成立, x y

那么

1? y 1? x ? 2, ? 2 都成立。??????????????? 3′ x y

两式可化为 1 ? y ? 2 x, 1 ? x ? 2 y ,于是可得 2 ? x ? y ? 2( x ? y) , 整理即得 x ? y ? 2 . 这与题设 x ? y ? 2 矛盾。 因此,假设错误。故命题成立。 ??????????????? 7′ ??????????????? 9′ ??????????????? 10′

21. 证明:取 PB 的中点 Q ,连结 MQ, NQ , ???????????? 2′ ∵ M 是 PC 的中点,∴ MQ // BC ,??????????????? 4′ ∵ CB ? 平面 PAB ,∴ MQ ? 平面 PAB ,∴MQ⊥AB, ????? 6′ 取 AB 的中点 D ,连结 QD,则 QD∥PA, ∵ PA ? PB, ∴QD=QB,又 AN ? 3NB ,∴ BN ? ND , ????? 8′ ∴ QN ? AB ,∴AB⊥平面 QMN,∴ MN ? AB ????????? 10′
2 22. 证明:① n ? 0 时,原式= 11 ? 12 ? 133 能被 133 整除; ?????? 3′
k ?2 2 k ?1 ② 设 n ? k 时, 11 ? 12 能被 133 整除。

?????? 5′

那么,当 n ? k ? 1 时,

3

原式= 11k ?3 ? 122k ?3 ? 11(11k ?2 ? 122k ?1 ) ? 11? 122k ?1 ? 122k ?3 = 11(11k ?2 ? 122k ?1 ) ? 122k ?1 ? 133 能被 133 整除。 ??? 9′
n?2 2 n ?1 由①②得,对于整数 n ? 0 , 11 ? 12 能被 133 整除。

???? 10′

23. 解:(1) y ' ? 3ax2 ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 , ?? 3′ 即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2

??????????????? 5′

(2) y ? ?6x ? 9x , y ? ?18x ? 18x , 令 y' ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

??????????????? 7′

? y极小值 ? y |x?0 ? 0 ???????????? 10′
100 ? 2.5 h, ??????? 1′ 40
????????? 3′

24. 解:(1)当 x ? 40 km/h 时,汽车从甲地到乙地行驶了

1 3 要耗油 ( ? 40 3 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17 .5 (升) 128000 80
(2)当速度为 x km/h,汽车从甲地到乙地行驶了

100 h,设耗油量为 f (x) 升,依题意得 x
?????? 5′

1 3 100 1 800 15 f ( x) ? ( x3 ? ? 8) ? ? x2 ? ? 128000 80 2 1280 x 4

f ' ( x) ?

x 800 x 3 ? 803 ? 2 ? (0 ? x ? 120) 640 x 640x 2

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 80 ?? 6′

当 x ? (0, 80) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 是减函数

, 当 x ? (80 120) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 是增函数
∴当 x ? 80 时, f (x) 取得极小值:

??????????? 8′

1 3 5 45 f (80) ? ( ? 80 3 ? ? 80 ? 8) ? ? ? 11.25 (升) 128000 80 4 4

??????? 9′

因此,当汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量少,最少为 11.25 升。 ? 10′

4

知识点与分值分布统计表
知识考察点



合情推理

点 归纳推理 类比推理 综合法分析法 反证法 数学归纳法 小计 平均与瞬时 概念 计算 速度 切线 函数单调性 极值 最值 实际应用 计算 应用 小计 复数概念 基本运算 小计 合计

基础类 题号 分值

分值 中等类 题号 分值 10 5

较高类 题号 分值

备注

3、18 21 20 22 5 13、15 1 6 9 23 7 14 8 2、16 12 19

10 10 10 10 40 5 5

推理 与 证明

演绎推 理

变化率 导数

4
10 5 5 5 10 5 5 5 55 10 5 10 25 120

5

导数 与 积分

导数应 用

定积分

24 11

10 5 15 5

复数

概念 运算 应用

17

5 5 25 5

其中,1~12 为选择题,13~18 为填空题,19~24 为解答题。 命题人:西关中学 牛占林 检测人:张先智

5


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