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2013-2014学年高中数学 1.4 全称量词与存在量词知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1


2013-2014 学年高中数学 1.4 全称量词与存在量词知能演练 理 (含 解析)新人教 A 版选修 2-1

1.将 a2 +b2 +2ab=(a+b)2 改写成全称命题是( ) A.存在 a,b∈R,使 a2 +b2 +2ab=(a+b)2 2 2 2 B.存在 a<0,b>0,使 a +b +2ab=(a+b) 2 2 2 C.存在 a>0,b>0,有 a +b +2ab=(a+b) D.所有 a,b∈R,有 a2 +b2 +2ab=(a+b)2 解析:选 D.根据全称命题的一般形式为“所有 x,有 p(x)”.故全称命题是对所有 a, b∈R,有 a2 +b2 +2ab=(a+b)2 . 2.下列四个命题中的真命题为( ) A.? x∈R,x2 -1=0 B.? x∈Z,3x-1=0 C.? x∈R,x2 +1>0 D.? x∈Z,1<4x<3 1 2 解析:选 C.若 x -1=0,则 x±1,A 错误;若 3x-1=0,则 x= ?Z,B 错误;若 1< 3 1 3 4x<3,则 <x< ,D 错误;x2 +1≥1>0 恒成立,故选 C. 4 4 3.下列特称命题是假命题的是( ) A.存在 x∈Q,使 2x-x3 =0 B.存在 x∈R,使 x2 +x+1=0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 2 ? 1?2 3 解析:选 B.对于任意的 x∈R,x +x+1= x+ + >0 恒成立. ? 2? 4 4.(2012?高考辽宁卷)已知命题 p:? x1 ,x2 ∈R,(f(x2 )-f(x1 ))(x2 -x1 )≥0,则﹁p 是( ) A.? x1 ,x2 ∈R,(f(x2 )-f(x1 ))(x2 -x1 )≤0 B.? x1 ,x2 ∈R,(f(x2 )-f(x1 ))(x2 -x1 )≤0 C.? x1 ,x2 ∈R,(f(x2 )-f(x1 ))(x2 -x1 )<0 D.? x1 ,x2 ∈R,(f(x2 )-f(x1 ))(x2 -x1 )<0 解析:选 C.命题 p 是一个全称命题,其否定为特称命题,﹁p:? x1 ,x2 ∈R,(f(x2 )- f(x1 ))(x2 -x1 )<0,故选 C. 5.若存在 x0 ∈R,使 ax20+2x0 +a<0,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.-1<a<1 D.-1<a≤1 解析:选 A.当 a≤0 时,显然存在 x0 ∈R,使 ax2 +2x0 +a<0.当 a>0 时,需满足 Δ =4 0 -4a2 >0,得-1<a<1,故 0<a<1,综上所述,实数 a 的取值范围是 a<1. 6.命题“对任意一个实数 x,x2 +2x+1 都不小于零”用“? ”或“? ”符号表示为 ________. 答案:? x∈R,x2 +2x+1≥0 7.下列命题,是全称命题的是________;是特称命题的是________.

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①正方形的四条边相等; ②有两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于 0; ④至少有一个正整数是偶数. 解析:①③是全称命题,②④是特称命题. 答案:①③ ②④ 2 x 8.(2013?临汾质检)若? x∈R,f(x)=(a -1) 是单调减函数,则 a 的取值范围是 __________. ? 2 ?a<-1或a>1 ?a -1>0 2 解析:依题意有:0<a -1<1?? 2 ?? ?a -1<1 ? ?- 2<a< 2 ?- 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2) 9.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用量词符号“? ”、“? ”表示. (1)两个有理数之间,都有一个无理数; (2)有一个凸 n 边形,外角和等于 180°; (3)存在一个三棱锥,使得它的每个侧面都是直角三角形. 解:(1)全称命题:? 两个有理数之间,都有一个无理数. (2)特称命题:? 一个凸 n 边形,它的外角和等于 180°. (3)特称命题:? 一个三棱锥,它的每个侧面都是直角三角形. 2 10.若命题“? x∈[-1,+∞),x -2ax+2≥a”是真命题,求实数 a 的取值范围. 2 解:x -2ax+2≥a, 2 即 x -2ax+2-a≥0, 令 f(x)=x2 -2ax+2-a, 所以全称命题转化为? x∈[-1,+∞)时, f(x)≥0 恒成立,
2 ?Δ =4a -4? 2-a? >0 ? 所以 Δ ≤0 或?a<-1 ?f? -1? ≥0 ?



即-2≤a≤1 或-3≤a<-2. 所以-3≤a≤1. 综上,所求实数 a 的取值范围是[-3,1].

1.对下列命题的否定说法错误的是( ) A.p:能被 2 整除的数是偶数;﹁p:存在一个能被 2 整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;﹁p:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;﹁p 所有的三角形不都是正三角形 2 2 D.p:? x∈R,x +x+2≤0;﹁p:? x∈R,x +x+2>0 解析:选 C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题;所有的三角 形都不是正三角形,故选项 C 错误. 2.设命题 p:对一切 x∈R,都有 x2 +ax+2<0,若﹁p 为真,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:﹁p 为真,又﹁p:? x∈R,x2 +ax+2≥0,而函数 f(x)=x2 +ax+2 开口向上, 所以 a∈R. 答案:a∈R 3.写出下列命题的否定,并判断其真假.
2

(1)p:不论 m 取何实数,方程 x2 +x-m=0 必有实数根; (2)r:等圆的面积相等,周长相等; (3)s:对任意角 α ,都有 sin2 α +cos2 α =1. 解:(1)这一命题可以表述为 p:“对所有的实数 m,方程 x2 +x-m=0 有实数根”,其 否定形式是﹁p:“存在实数 m,使得 x2 +x-m=0 没有实数根”. 1 注意到当 Δ =1+4m<0 时,即 m<- 时,一元二次方程没有实数根,所以﹁p 是真命 4 题. (2)这一命题的否定形式是﹁r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平 面几何知识知﹁r 是一个假命题. (3)这一命题的否定形式是﹁s:“存在 α ∈R,有 sin2 α +cos2 α ≠1”.由于命题 s 是真命题,所以﹁s 是假命题. 4.已知函数 f(x)=x2 -2x+5. (1)是否存在实数 m0 ,使不等式 m0 +f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数 x0 ,使不等式 m-f(x0 )>0 成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)不等式 m0 +f(x)>0 可化为 m0 >-f(x), 即 m0 >-x2 +2x-5=-(x-1)2 -4. 要使 m0 >-(x-1)2 -4 对于任意 x∈R 恒成立,只需 m0 >-4 即可. 故存在实数 m0 使不等式 m0 +f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,此时需 m0 >-4. (2)不等式 m-f(x)>0 可化为 m>f(x),若存在一个实数 x0 使不等式 m>f(x0 )成立,只 需 m>f(x0 )min . 又 f(x0 )=(x0 -1)2 +4, 所以 f(x0 )min =4,所以 m>4. 所以所求实数 m 的取值范围是(4,+∞).

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