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沈阳市交联体高三期中考试试题及答案 (1)


2013—2014 学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题 数学(理)
考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分 命题人:沈阳市第三十中学 王宁 第Ⅰ卷 (共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1. 设集合 A ? ? x

? x ?1 ? 则“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的 ( ? 0 ? ,B ? x x ? 1 ? a , ? x ?1 ?

?

?



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 ( )

0 2.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 则 a ? 2b ?

A. 3

B. 2 3

C. 4

D. 12

3.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos A=
A. 4.要得到 y ? B. C. D.

2

,则 (



3 cos2 x ? sin x cos x 的图象,只需把 y ? sin 2 x 的图象上所有点 (



A.向左平移

3 ? 个单位,再向上移动 个单位 2 6 3 ? 个单位,再向上移动 个单位 2 3 3 ? 个单位,再向上移动 个单位 2 6 3 ? 个单位,再向上移动 个单位 2 3

B.向左平移

C.向右平移

D.向右平移

5.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可 得这个几何体的体积是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.12

6.若第一象限内的点 A( x, y ) ,落在经过点 (6, ?2) 且具有方向向量 a ? (3, ?2) 的直线 l 上, 则 log 3 y ? log 2 x 有
2 3

?

( C. 最小值



A. 最大值

3 2

B. 最大值 1

3 2

D. 最小值 1

7. 已知函数
分)如图所示,则 的解析式是

) 的图象 (部 ( )

A.

B.

C.

D.

8. 关于χ 的实系数方程
的最大值为 A.3 B.5 C.8

的一根在区间[0, 1]上, 另一根在[1, 2]上, 2a+3b 则 ( D.9 )

9.已知正项等比数列 的最小值为

满足

,若存在两项 (

使 )

A.

B.

C.

D.不存在

10.已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ) 单调增加,则满足 f (2x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围 ( A.( )

1 3

1 2 , ) 3 3

B.[

1 2 , ) 3 3

C.(

1 2 , ) 2 3

D.[

1 2 , ) 2 3

11.已知

是定义在

上的奇函数,且当

时不等式

成立,若

, 系是 A.a >b > c B.c >a > b C.b >a > c D. a > c > b

,则 (

大小关 )

12.设 f ( x ) ? ? 值范围是

?3 ? x ? f ( x ? 1)

( x ? 0) ( x ? 0)

, 若 f ( x) ? x ? a 有且仅有三个解,则实数 a 的取 ( )

A. (??,1)

B. (??,1]

C. (??,2]

D. (??,2)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案写在题中横线上。

? x2 (0 ? x ? 1) 2 13.设 f ( x ) ? ? 则 ? 0 f ( x ) dx = ? 2 ? x (1 ? x ? 2)
14.下列选项叙述正确的是___________;



①命题“若 x ? 1 , x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 3x ? 2 ? 0 , x ? 1” 则 则
2 2

② 若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

③若对

函数 f(x)满足

,则 4 是该函数的一个周期。

④“a<2”是函数“
1 1 2 , ? , 3 3 2

无零点”的充分不必要条件;
1 2 3 1 2 3 9 ,?,那么数 ? ? ,?, ? ? ? ? ? 4 4 4 10 10 10 10

15.已知数列 {a n } : 列 {bn } = ?
?

1 ? ? 的前 n 项和 S n =___________; ? a n a n ?1 ?

16. 已 知 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的

6

个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若

AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的表面积为___________
三、解答题:本大题共 6 大题,共 70 分。解答应写出文字说明、演算过程和证明步骤。 17.(本小题满分 12 分)

已知向量

,函数



(Ⅰ)求函数

的最小正周期

;

(Ⅱ)已知 、 、 分别为 且 ,求 和

内角 的面积 .





的对边, 其中

为锐角,

,

18.(本小题满分 12 分)

已知数列

是等差数列,

; 数列

的前 n 项和是

, 且



(Ⅰ) 求数列

的通项公式;

(Ⅱ) 求证:数列

是等比数列;

(Ⅲ) 记

,求

的前 n 项和



19. (本小题满分 12 分) 已知如图几何体,正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂 直, AF ? 2 AB ? 2 AD =2, M 为 AF 的中点, BN ? CE 。

F

E

M (Ⅰ)求证: CF // 平面BDM ; (Ⅱ)求二面角 M ? BD ? N 的大小。 A N B C

D

20.(本小题满分 12 分) 已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且 f ? x ? 在 ?0,?? ? 上是增函数, 是否存在实数 m 使得

? ?? f ?cos 2? ? 3? ? f ?4m ? 2m cos? ? ? f ?0? , 对一切 ? ? ?0, ? 都成立?若存在,求出实数 ? 2?

m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a 。 x
2

(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 2 x ln x ? 2mx ? 1 在 [1, e] 恒成立,求 m 的取值范围。

22.(本小题满分 10 分) 解关于 x 的不等式 ax ? (2 ? a) x ? 2 ? 0 ( a ? R )
2

2013—2014 学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题数学(理)答案
一.选择题 ABDAB 填空题 BADAA CD

5 13. 6

14.①③

4n 15. n ? 1

16. 169π

三、解答题(如有其他解法,可以酌情给分) 17.解: (Ⅰ)

????????????????2 分

?????4 分

因为

,所以

????????????????6 分

(Ⅱ)

因为

,所以



?????8 分

则 则

,所以 ????????????????10 分

,即

从而 18.解:(Ⅰ)设 的公差为 ,则:

?????????12 分 , ,

∵ ∴



,∴ .



∴ ??????3 分



(Ⅱ)当

时,

,由

,得





时,







,即

. ∴





是以

为首项,

为公比的等比数列.

????????8 分

(Ⅲ)由(2)可知:



∴ ∴













????????12 分

19. (I)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM 因为 M 为 AF 中点, O 为 AC 中点, 又因为 MO ? 平面MBD , 所以 FC // 平面MBD ; (II)因为正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直, 所以 AF ? 平面ABCD ???????4 分 所以 FC // MO ,

以 A 为原点,以 AD, AB, AF 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系。

C (1,1,0) , M (0,0,1) , B(0,1,0) , D(1,0,0) ,
设平面 BDM 的法向量为 p = (x ,y , z ),

4 2 N ( ,1, ) 5 5

z F E

? ? p ? BD ? 0 ? ? p ? BM ? 0 ?

M

p ? (1,1,1)

??6 分 A N B C y

设平面 BDN 的法向量为 q = (x ,y , z ),

? q ? BD ? 0 ? ? ?q ? BN ? 0 ?

x

D

q ? (1,1,?2)
???????8 分

p与q的夹角为?
cos? ? p?q | p |?| q | ?0

所以二面角 M ? BD ? N 的大小为 90? 。 20.? 奇函数 f ? x ? 的定义域为 R

???????12 分

? f ?0? ? 0
???????2 分

? f ?cos 2? ? 3? ? f ?2m cos? ? 4m? 恒成立
又? f ? x ? 在 R 上单调递增 ? cos 2? ? 3 ? 2m cos? ? 4m

? 2 cos2 ? ? 4 ? 2m cos? ? 4m
设 t ? cos? , t ? ?0,1?

f ?t ? ? t 2 ? mt ? 2m ? 2

???????4 分

m ?0 f ?t ?min ? f ?0? ? 2m ? 2 ? 0 ? m ? 1 (1)当 2 即m ? 0时 (舍) m ?1 f ?t ?min ? f ?1? ? m ? 1 ? 0 ? m ? 2 (2)当 2 即m ? 2时

0?
⑶ 当

m ?1 2



0?m?2



?m? f ?t ?min ? f ? ? ? ?m 2 ? 8m ? 8 ? 0 ?2?
???????10 分 ???????12 分

?4 ? 2 2 ? m ? 4 ? 2 2 ?4 ? 2 2 ? m ? 2
综上 m ? 4 ? 2 2

f ?( x) ?
21. (Ⅰ)

1 a x?a ? 2 ? 2 ( x ? 0) x x x

? 当 a ? 0 时, x ? (0,?a), f ( x) ? 0, f ( x) 单调递减, x ? (?a,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。 ? 当 a ? 0 时, x ? (0,??), f ( x) ? 0, f ( x) 单调递增。
ln x 1 ? 2 ?m 2x (Ⅱ) 2 x ln x ? 2mx ? 1 ,得到 x
2

???????4 分

g ( x) ?
令已知函数

ln x 1 ? 2 x 2x

g ?( x) ?

1 ? ln x ? x2

1 x

a ? ?1时,f ( x) ? ln x ?

1 x

x ? (0,1), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减, x ? (1,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增。

f ( x) ? f (1) ? 1,即

ln x ?

1 ? 1 g ?( x) ? x ,

1 ? ln x ? x2

1 x ?0

g (x) 在 x ? (0,??), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递减,

在 [1, e] ,

g ( x) ? g (1) ?

1 ln x 1 1 m? ? 2 ?m 2 。???????12 分 2 ,若 x 2x 恒成立,则

2 ( ? ,1) 22.当 a ? ?2 时, a ;--------2 分
当 a ? ?2 时, ? ;--------4 分

2 (1, ? ) a ;--------6 分 当 ?2 ? a ? 0 时,
当 a ? 0 时, (1, ??) ;--------8 分

2 (??, ? ) ? (1, ??) a 当 a ? 0 时, -------10 分


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