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例说差分法在高中数列中的应用


论 坛   2 0 1 5年 第 3 2期 ( 总第 2 7 2期 )   例说 差分 法在 高 中数列 中的应用  简 玉 中  ( 贵 州省 习水县 第一 中学 , 贵州   遵义 自 变量取值为正整数 的函数 f ( n ) 称为离散函数, 称 函数 h (  f   ( n + l 卜f ( n ) 为函数  的一阶差分  h ( n + 1 卜h ( n ) 为函数  的二阶差  为 a n = ( 2 n - 1 ) d 2 .   5 6 4 6 0 0 )   评注 ( 1 ) 题设 中关于数列 的前 n项和 S   的恒等式是差分法  的基  u 用 s n 与通 项 a n 的 关 系  =   2 ) 对关   的  分. 等差数列f a} 的通项 a   是前 n 项和s   的一阶差分, 公差是通项 a   的一阶差分是前 n项和 S   的二阶差分. 差分是微分 即导数的离散  形式, 导数是研究函数单调性和最值 胜的重要工具有 时需要多次求  导用到一阶导数 、二阶导数研究函数,同样差分是研究数列与前 n   项和 s   有关的问题的重要方法洧 时需要多次作差要用到一阶差分  二阶差分本 文举晚 蹴 明差分法在解决与前 n 项和 S   有关的数歹   证  明、 求数列通项和最值项等问题。   一 恒等式通过一 次作 差或多次作差,直 到能从所 得关系 中得 出某  个数列是等差数列 或等 比数列时差分法就算 是完成任务; ( 2 ) 运  用差分法时, 要特别注意下标变量范 围的变化与 限制, 用等差 、 等  比数列 定义时要 指明该数 列从第 几项起 是等差 ( 比) 数列 , 往 往  因起始项 出错而使得分大打折扣 。   三、 用 差 分 法 求 数 列 最 值 项  、 用差 分 法 证 明有 关 数 列 问题  例1 我们知道: 若数列{ a} 是等差数列, 则其前 n 项和 S n =   型 ( n ≥1 ) 反之, 若数列{ a n } 的 前n 项和s   = 二  型( n ≥ 1 ) , 试判   . 例5 设数列 { a | I } 的前 n 项和为 s   若对任意 的 n  N   , 有a   > I 0   且S n = Va   + a t +   + . . ? + a : 成 立. ( I ) 求a l , a 2 的 值 ; ( Ⅱ ) 求 证: 数 列   { a} 是等差数列, 并写出其通项公式; ( I I I ) 令T   =  , 若对一切整  2   断数列f   a} 是否为等差数列?若是请 证明者 不是, 请说明理由。   解: 由s l l =   型 得2 Sn ( a   + a   ①, 由①得 2 S  = ( n + 1 ) ( a , + a   - - . 数 n , 总有 T   ≤1 1 l , 求 m 的取值范 围。   解: (I)求 得  = 1 , a 2 = 2( 过程略 ) ; ( I I ) ( 用差分法 )由 s   :   ) ②. ②一 ①整 理得, n a n = ( n - 1 ) a   + 。 + a 。 ③, 由③( n + 1 ) a  = n  + 2 + a 。 得  ④. ④一 ③整理得, a n + a n + 2 = 2 a n + 。 , 故数列f   a l l } 是等差数列.   二、 用差分法求数列通项  例 2数列 { a} 的前 n 项和为

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