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2015安徽数学理


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至 第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上 所粘

贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。 2. 答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清 .... 晰。作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描 ... 清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在答题卷、草 .................... 稿纸上答题无效 。 ....... 4. 考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式:

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的。 (1)设 i 是虚数单位,则复数

2i 在复平面内所对应的点位于 1? i

(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 (2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 (A) y ? cos x (B) y ? sin x (C) y ? l n x (D) y ? x2 ? 1 (3)设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成立的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 4、下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( ) ( A) x ?
2

y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4

(C)

y2 ? x2 ? 1 4

(D)

x2 ?1 4 5、已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( y2 ?



(A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 6、若样本数据 x1 , x2 , ??? , x10 的标准差为 8 ,则数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1的标准差为 ( ) (B) 15 (B) 2 ? 3 (D) 2 2 (C) 16 ) (D) 32 (A) 8 (A) 1 ? 3 (C) 1 ? 2 2

7、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(

8 、 ??? C 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b 满足 ?? ? 2a ,

?C ? 2a ? b ,则下列结论正确的是(
(A ) b ? 1 (B) a ? b

) (C) a ? b ? 1 (D)

? 4a ? b ? ? ? C
9、函数 f ? x ? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图象如图所示,则下列结论成立的是(



(A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

10、已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? ,? ,? 均为正的常数)的最小正

(B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

2? 时, 函数 f ? x ? 取得最小值, 则下列结论正确的是 ( ) 3 (A) f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 0? (B) f ? 0? ? f ? 2? ? f ? ?2?
周期为 ? , 当x? (C) f ? ?2? ? f ? 0? ? f ? 2? 第二卷 二.填空题 11. ( x ?
3

(D) f ? 2? ? f ? 0? ? f ? ?2?

1 7 ) 的展开式中 x5 的系数是 x

(用数字填写答案)

12.在极坐标系中,圆 ? ? 8sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R ) 距离的最大值是

13.执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的 n 为

14.已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 n 项和等于 15. 设 x ? ax ? b ? 0 , 其 中 a , b 均 为 实 数 , 下 列 条 件 中 , 使 得 该 三 次 方 程 仅 有 一 个 实 根 的 是 (写出所有正确条件的编号) (1)a ? ?3, b ? ?3 ; (2)a ? ?3, b ? 2 ; (3)a ? ?3, b ? 2 ; (4)a ? 0, b ? 2 ; (5)a ? 1, b ? 2 . 三.解答题
3

16.在 ?ABC 中, ?A ?

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的长。 4

17.已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后 不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时 所需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值(数学期望) (18) (本小题 12 分)

2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标, 设 n ? N , xn 是曲线 y ? x2n?3 ? 1 在点 (1,
*

(1)求数列 {xn } 的通项公式;
2 2 (2)记 Tn ? x1 x2 2 T ? x2 n?1 ,证明 n

1 . 4n

E 19.如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA 中,四边形 AA 1B 1B , ADD 1 1A 1 , ABCD 均为正方形, 为 B1 D
的中点,过 A 1 , D, E 的平面交 CD 1于 F (1)证明: EF / / B1C1 (2)求二面角 E ? A1D ? B1 余弦值.

(20)(本小题 13 分)

设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? ,点 B 的坐标为 a 2 b2 5 . b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 OM 的斜率为 ? 0, 10
7 , 2

(I)求 E 的离心率 e; (II)设点 C 的坐标为 ? 0, ? b? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 求 E 的方程.

21.设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b . ? ? (1)讨论函数 f (sin x )在(- , ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2 ? ? (2)记 f0 ( x) ? x2 ? a0 x ? b0 , 求函数 f (sin x) ? f0 (sin x) 在(- , )上的最大值 D; 2 2 a (3)在(2)中,取 a0 ? b0 ? 0, 求z ? b ? 2 满足D ? 1时的最大值。 4


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